[Norges Grey Pérez]

Hola.
Saludos cordiales a todos.
Mira a ver cuantos primos logras encontrar con estas operaciones.

Toma 3 números sucesivos enteros \( a, b \) y \( c \) positivos y eleva cada uno a cada uno de los valores de \( a, b \) y \( c \). Me refiero a que cada valor se eleve a los tres valores. Por ejemplo: \( a^a+b^a+c^a+a^b+b^b+c^b+a^c+b^c+c^c. \)
Al resultado le añades la suma de \( a, b \) y \( c \); luego suma o resta la unidad y obtendrás infinitos números primos.
Mensaje corregido desde la administración.

[Richard R Richard]

Mira a ver cuantos primos logras encontrar con estas operaciones.

Toma 3 números sucesivos enteros \( a, b \) y \( c \) positivos y eleva cada uno a cada uno de los valores de \( a, b \) y \( c \). Me refiero a que cada valor se eleve a los tres valores. Por ejemplo: \( a^a+b^a+c^a+a^b+b^b+c^b+a^c+b^c+c^c. \)
Al resultado le añades la suma de \( a, b \) y \( c \); luego suma o resta la unidad y obtendrás infinitos números primos.

O sea sino me equivoco es $$b=a+1$$ y $$c=a+2$$

el primo se calcula como

$$x=\dfrac{a^3-1}{a-1}(\sum\limits_{k=0}^{a}a^{a-k}\cdot(\sum\limits_{i=0}^{2}i^k))+3a+\color{blue}3\pm1\color{black}$$corregido por este lado buena pinta para demostrar no tiene
La fórmula esta mal , no devuelve los mismos valores
Solo con $$a=2$$ resulta $$x=491$$ que es primo, el resto son compuestos.

He probado con $$a$$ hasta 2000 y sigue siendo el único primo , da la sensación que si para las primeras 1000 ternas solo hay un caso de primos, como te ha surgido la idea de que pudiese haber  infinitos

La máquina se pone lenta para número tan grandes prontamente imagina que si llega a $$a=2000$$  tienes que evaluar números del orden $$2000^{2000}$$ números de cientos o mas cifras , aun así mi programa no desanima pero no halla primos

Código: [Seleccionar]

import math as m
import sympy as s
primos=0
for a in range(1,2000):
   v=a**a+a**(a+1)+a**(a+2)+(a+1)**a+(a+1)**(a+1)+(a+1)**(a+2)+(a+2)**a+(a+2)**(a+1)+(a+2)**(a+2)+3*a+4
   print (a,v)
   if s.isprime(v):
      primos=primos+1
      print ("con ",a," entonces ",v," es primo") 
Puedes preguntar quizá si ese será el único primo y no si habrá infinitos.

Saludos

[Norges Grey Pérez]

Hola Richard.
Tal vez no has comprendido bien, o el código que usaste está incorrecto.
Pues para para a=1 también da un primo.

Vamos a analizar el enunciado utilizando \( a=1 \) y tomando los números sucesivos \( b=2 \) y \( c=3 \). Siguiendo el procedimiento que has descrito, procederemos paso a paso.

### Paso 1: Definir los números

\( a=1,\quad b=2,\quad c=3 \)

### Paso 2: Calcular las potencias

Ahora, calculamos las potencias de cada número elevado a los otros:

\( 1^1=1,\quad 1^2=1,\quad 1^3=1,\quad 2^1=2,\quad 2^2=4,\quad 2^3=8,\quad 3^1=3,\quad 3^2=9,\quad 3^3=27 \)

### Paso 3: Sumar todos los resultados

Sumamos todos estos resultados:
\[
1 + 1 + 1 + 2 + 4 + 8 + 3 + 9 + 27 = 56
\]

### Paso 4: Sumar \( a+b+c \)

Ahora sumamos \( a+b+c \):

[\( 1 + 2 + 3 = 6 \)

### Paso 5: Sumar el resultado anterior con la suma de \( a,b,c \)

\[
56 + 6 = 62
\]

### Paso 6: Sumar o restar 1

Finalmente, sumamos o restamos 1:

- \( 62 + 1 = 63  \)(no es primo)
- \( 62 - 1 = 61 \) (es primo)

Conjeturo que siempre aparecerán nuevos primos de este tipo. Y si siempre aparecerán nuevos primos pues deben ser infinitos.

Gracias.

Nota: No estaré con uds hasta dentro de 24 horas.
Mensaje corregido desde la administración.

[Richard R Richard]

Hola, no me percate que tambien podias restar, con la suma halle 1 en 2000
y con la resta

Código: [Seleccionar]

con  1  entonces  61  es primo
con  3  entonces  5581  es primo
con  5  entonces  1389259  es primo
con  7  entonces  635284249  es primo
con  43  entonces  378861863988760089765385439662491117571909511170131576496073067952732317061  es primo
con  473  entonces  404692230353982103388941088456657536299501038305882663760389705414970561061422548772586589885906382394913092258892940926176156100191579512964906984327577345567865891051065102834443808522188929082453149199957204304168150633527418985282923517139897660185428208130783505780838522189050733533915231318993839599861838544493717130631455378432557924547311661569483347577063146255722515401356012855242822740572061569430336609127571769840858189506807117809145173941059684633091493792583547840484551267302223256278128583243171768190499119648623181141133720412749457349457212579400326191058553397227668390932078347058844664653694024535112682762054017077362102126136486267385423775324347999644325132860809791181651630868552566031528160982566866452469915984721780429169362502486026206584078653134435520917685032687399220587940987639306416226650693021119308042725836105455781156822727621371894075668880575860238704328867891884684104310067503734974518863243146839734943491634518192373618981695604033559157028368183218772255295214002873536166191938118977275867059562892021688953546132215409332918703325477424609645928051125575210736731907772269532771255375747040599067427535243415470223948929974144328662206591706303266420177395508217905526606210949269382004099187688580617330288085418519  es primo
Hallar ejemplos tiene una dificultad técnica importante para números relativamente muy pequeños.
La demostración será  difícil claro.

Hasta el 2000, no hay mas que 7 casos

[Luis Fuentes]

Hola

O sea sino me equivoco es $$b=a+1$$ y $$c=a+2$$

el primo se calcula como

$$x=\dfrac{a^3-1}{a-1}(\sum\limits_{k=0}^{a}a^{a-k}\cdot(\sum\limits_{i=0}^{2}i^k))+3a+\color{blue}3\pm1\color{black}$$corregido por este lado buena pinta para demostrar no tiene

 Creo que hay alguna errata ahí, porque si NO me equivoco esa fórmula no equivale a:

\( a^a+a^{a+1}+a^{a+2}+(a+1)^a+(a+1)^{a+1}+(a+1)^{a+2}+(a+2)^a+(a+2)^{a+1}+\color{red}(a+2)^{a+2}\color{blac}+3a+3\pm 1 \)

 No tienen demasiada importancia porque luego en el programa has puesto la expresión correcta.

 Por lo demás poco que decir de esta conjetura. Digo lo mismo que en otras análogas:

En realidad este tipo de conjeturas son muy fáciles (de enunciar... de demostrar no...  ).

Casi te diría que uno puede escoger polinomios de grado \( 2 \) al azar, probar hasta \( n=1000 \) si aparecen primos (con el ordenador, incluso sin saber nada te lo hace una IA) ya tenemos la conjetura.

Si queremos hilar más fino tomar un polinomio irreducible de grado dos (que no tenga soluciones racionales, que aparezcan raíces en sus soluciones) y con coeficientes coprimos y es muy probable que funcione.

Por concretar toma \( f(n)=a(n+k)^2+1 \), varía \( a,k \) como te de la gana y ¡viva! puedes enunciar una conjetura de este estilo al día durante toda tu vida.

Hay que tener en cuenta que ciertas conjeturas son famosas porque fueron de alguna manera pioneras, en esa familia de conjeturas; y también porque hace un siglo el poder de computación no era ni la millonésima parte del que es ahora y por eso se trabajaba más "a ciegas".

La más famosa y la primera que cogió renombre es la de Landau (1912) en la que afirmaba que había infinitos primos de la forma \( n^2+1 \).

Pero hoy en día, el problema de calcular polinomios de grado \( 2 \) que generan infinitos primos y las conjeturas al respecto están generalizados en la conjetura de Buniakovski.

Por cierto sobre esto ya hablé aquí:

En general saber si una función \( f(x) \) produce infinitos primos es un problema difícil y hay numerosos resultados y conjeturas para diferentes tipos de funciones; por ejemplo para \( f(x) \) polinomio de grado uno (bajo condiciones razonables) si está demostrado que se producen infinitos primos (Teorema de Dirichlet); pero para otras funciones la cosa se complica y el problema permanece abierto (véase por ejemplo la conjetura de Bunyakovsky).

A estas alturas de la película lo que sería interesante es DEMOSTRAR que efectivamente uno de esos polinomios genera infinitos primos.

 Entonces se podrían estar poniendo decenas de conjeturas de este estilo cada día en el foro; pero a no ser que tengan alguna característica especial, algún avance en el hecho de generar primos o no, no aportan absolutamente nada. Está bien poner alguna si uno no sabe su alcance; pero a estas altura sería mejor profundizar en ellas, darles contexto, antes de poner sin más una colección de ellas.

Saludos.

CORREGIDO (gracias Richard R Richard)

[Richard R Richard]

Hola

O sea sino me equivoco es $$b=a+1$$ y $$c=a+2$$

el primo se calcula como

$$x=\dfrac{a^3-1}{a-1}(\sum\limits_{k=0}^{a}a^{a-k}\cdot(\sum\limits_{i=0}^{2}i^k))+3a+\color{blue}3\pm1\color{black}$$corregido por este lado buena pinta para demostrar no tiene

 Creo que hay alguna errata ahí, porque si NO me equivoco esa fórmula no equivale a:

\( a^a+a^{a+1}+a^{a+2}+(a+1)^a+(a+1)^{a+1}+(a+1)^{a+2}+(a+2)^a+(a+2)^{a+1}+(a+\color{red}3\color{black})^{a+\color{red}3\color{black}}+3a+3\pm 1 \)

 No tienen demasiada importancia porque luego en el programa has puesto la expresión correcta.

No la usé en el programa por que requerían mas código ( y si la puse  para que vean que use el coco un poco antes de programar) , y sí tiene que ser equivalente a eso si son tres números consecutivos, quise expresar todo en función del menor de ellos, Que haya gazapo talvez yo veo gazapo en donde te lo marco, quizá sea yo el que no veo el mío. Debería reflejar esto


\( a^a+a^{a+1}+a^{a+2}+(a+1)^a+(a+1)^{a+1}+(a+1)^{a+2}+(a+2)^a+(a+2)^{a+1}+(a+\color{blue}2\color{black})^{a+\color{blue}2\color{black}}+3a+3\pm 1 \)

[Norges Grey Pérez]

Hola.
Felicitaciones Richard, veo que has podido encontrar los primeros Primos de Grey 😃😃😃.
Bueno, lo de Grey es por mi apellido, es a modo de broma😃😃😃.

¿ Hablando es serio; te percataste que de los 7 valores de a para los que encontraste esos primos hay 5 que también lo son ? ( 2, 3, 5, 7 y 43 )

Por lo demás te puedo decir que no los entiendo.

Por un lado si planteamos una conjetura débil, es tribial.
Pero por el otro, si planteamos una con un grado de dificultad elevada, entonces tampoco sirve de nada😱😱😱😱😱.

Gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

No la usé en el programa por que requerían mas código ( y si la puse  para que vean que use el coco un poco antes de programar) , y sí tiene que ser equivalente a eso si son tres números consecutivos, quise expresar todo en función del menor de ellos, Que haya gazapo talvez yo veo gazapo en donde te lo marco, quizá sea yo el que no veo el mío. Debería reflejar esto


\( a^a+a^{a+1}+a^{a+2}+(a+1)^a+(a+1)^{a+1}+(a+1)^{a+2}+(a+2)^a+(a+2)^{a+1}+(a+\color{blue}2\color{black})^{a+\color{blue}2\color{black}}+3a+3\pm 1 \)

 Si, obvio que yo tenía una errata... ¡gracias!. Pero no es por eso por lo que digo que la tuya no está bien; sigue sin estarlo.

 No te marqué la errata en detalle porque no veo una forma sencilla de arreglarlo.

 Entiendo que el término:

\( \dfrac{a^3-1}{a-1}(\sum\limits_{k=0}^{a}a^{a-k}\cdot(\sum\limits_{i=0}^{2}i^k)) \)

 Debería de corresponder a (*):

\( a^a+a^{a+1}+a^{a+2}+(a+1)^a+(a+1)^{a+1}+(a+1)^{a+2}+(a+2)^a+(a+2)^{a+1}+(a+2)^{a+2} \)

 Pero:

 - Pones como factor común \( \dfrac{a^3-1}{a-1}=1+a+a^2 \). Pero yo no veo en (*) como obtener ese factor común. De hecho:

 para \( a=1 \), \( 1^1+1^2+1^3+2^1+2^2+2^3+3^1+3^2+3^3=56 \) que no es múltiplo de \( 1+1+1^2=3 \)
 para \( a=2 \), \( 2^2+2^3+2^4+3^2+3^3+3^4+4^2+4^3+4^4=481 \) que no es múltiplo de \( 1+2+2^2=7 \)

- Y el término \( (\sum\limits_{k=0}^{a}a^{a-k}\cdot(\sum\limits_{i=0}^{2}i^k)) \) tampoco sé a que viene.

 Ya es raro que para \( i=0 \), \( k=0 \) aparezca \( i^k=0^0 \) que supongo que asumes que le damos el valor \( 1 \) (pudiera haber ciertos convenios distintos al respecto dependiendo del contexto, pero en estas fórmulas numéricas suele tomarse \( 0^0=1 \)).

 Pero es que aun así no le veo relación con la suma (*). Por ejemplo para \( a=1 \) quedaría:

\( (\sum\limits_{k=0}^{1}1^{1-k}\cdot(\sum\limits_{i=0}^{2}i^k))=\sum\limits_{k=0}^{1}\sum\limits_{i=0}^{2}i^k)=\sum\limits_{i=0}^{2}i^0+\sum\limits_{i=0}^{2}i^1=0^0+1^0+2^0+0^1+1^1+2^1=6 \)

 que multiplicado por \( (a^3-1)/(a-1)=1+a+a^2=3 \) no da \( 56 \).

 Vamos: que NO está bien. No da. Y no le veo una reparación fácil, sobre todo con ese factor común que no acabo de ver.

 En lenguaje de sumatorios, esa parte de la expresión, se podría escribir:

\(  \displaystyle\sum_{k=0}^2{}\displaystyle\sum_{i=0}^2{}(a+k )^{a+i} \)

 Conste que todo esto no tiene demasiada importancia.

Por lo demás te puedo decir que no los entiendo.

Por un lado si planteamos una conjetura débil, es trivial.
Pero por el otro, si planteamos una con un grado de dificultad elevada, entonces tampoco sirve de nada😱😱😱😱😱.

Entenderías mejor si leyeses más sobre estos temas y si dedicases tiempo a analizar y reflexionar sobre las respuesta que te damos. Por ejemplo EJ en una de las respuestas a tus hilos apuntó una idea sobre esto:

La pregunta sobre cuando una conjetura se vuelve interesante no tiene respuesta sencilla.

La pregunta sobre cuando una conjetura se vuelve interesante no tiene respuesta sencilla.

Normalmente, aparecen relacionadas con trabajos de investigación en marcha, se dan respuestas parciales, y de esas respuestas parciales el lector experto puede entender la dificultad del problema general, y el por qué de la conjetura del autor. Muchas veces de demuestra una implicación y queda abierta la recíproca, si no se puede encontrar el contraejemplo, se puede conjeturar la validez y si algún matemático se interesa y lo resuelve se cita al autor de la conjetura. Pero todo aparece en un contexto de investigación, donde esa conjetura tiene interés para una parte de la comunidad matemática, que es muy amplia y con intereses muy variados.

Las conjeturas interesantes (con muchos inevitables matices) suelen tener interés cuando se formulan en la frontera del conocimiento del momento, en un contexto de una investigación donde uno pudo llegar "hasta aquí" y cuando intentó dar un paso más lo único que pudo es sospechar como se comportará aquello que está estudiando, pero sin llegar a demostrarlo con herramientas que si le habían funcionado en el paso anterior.

Saludos.

[Richard R Richard]

Hola lo que propone Norges  es

$$x=a^a+a^{a+1}+a^{a+2}+(a+1)^a+(a+1)^{a+1}+(a+1)^{a+2}+(a+2)^a+(a+2)^{a+1}+(a+2)^{a+2}+a+(a+1)+(a+2)\pm 1$$

 Planteo con errores

Lo que hice fue factorizar, lo vuelvo a hacer aqui aver si encuentro el gazapo que me dices Luis.
$$x=a^a+a^{a+1}+a^{a+2}+(a+1)^a+(a+1)^{a+1}+(a+1)^{a+2}+(a+2)^a+(a+2)^{a+1}+(a+2)^{a+2}+3a+3\pm 1$$


primero vi que podia hacer factor comun
$$x=a^a(1+a+a^2)+(a+1)^a(1+a+a^2)+(a+2)^a(1+a+a^2)+3a+3\pm 1$$


nuevamente factor comun $$1+a+a^2$$
$$x=(1+a+a^2)\cdot(a^a+(a+1)^a+(a+2)^a)+3a+3\pm 1$$

como $$1+a+a^2=\dfrac{a^3-1}{a-1}$$


$$x=\dfrac{a^3-1}{a-1}\cdot(a^a+(a+1)^a+(a+2)^a)+3a+3\pm 1$$


pero no vi nada para simplificar , así que decidí ver que se puede sacar del segundo factor

si $$(x+y)^m$$ se puede expandir como $$\sum\limits_{k=0}^m x^{m-k}y^k$$
y dado que el exponente de los tres numero sumados en el factor es el mismo, todos ese pueden expandir con el mismo número de sumandos

$$x=\dfrac{a^3-1}{a-1}\cdot(\sum\limits_{k=0}^a a^{a-k}0^k+\sum\limits_{k=0}^a a^{a-k}1^k+\sum\limits_{k=0}^a a^{a-k}2^k)+3a+3\pm 1$$

poniendo todo en un sumatorio anidado
$$x=\dfrac{a^3-1}{a-1}\cdot\left(\sum\limits_{k=0}^a a^{a-k}(0^k+1^k+2^k)\right)+3a+3\pm 1$$

$$x=\dfrac{a^3-1}{a-1}\cdot\left(\sum\limits_{k=0}^a a^{a-k}\left(\sum\limits_{i=0}^2 i^k\right)\right)+3a+3\pm 1$$

Si esto no coincide con lo que puse en el primer mensaje es porque hay gazapo

$$x=\dfrac{a^3-1}{a-1}(\sum\limits_{k=0}^{a}a^{a-k}\cdot(\sum\limits_{i=0}^{2}i^k))+3a+\color{blue}3\pm1\color{black}$$

Veo que si coincide, seguro, si hay gazapo esta en algun paso , y tropecé 2 veces con la misma piedra

[cerrar]

.


Pd, de ahí vi que no tengo nada que simplificar, es otra conjetura con un polinomio de grado variable  $$a+2$$ , de la difíciles de demostrar.
Y sí tome $$0^0=1$$
Es tema es que cae tan rápido la cantidad de primos respecto del aumento del exponente $$a$$ , que es difícil ver si habrá infinitos, como lo hace una conjetura polinomial de exponente constante.

[Norges Grey Pérez]

Hola.

Le pedí a la IA que demostrara esta conjetura y miren la parte final de su respuesta:

Conclusión del Intento de Demostración:

He intentado esbozar una línea de razonamiento basada en la comparación entre el crecimiento de S(n) y la densidad de los números primos. Aunque este argumento tiene cierta plausibilidad, está lleno de simplificaciones y no conduce a una demostración rigurosa.

Los principales obstáculos para una demostración formal son:

•  La dificultad de obtener cotas precisas para el crecimiento de S(n).
•  La irregularidad en la distribución de los números primos.
•  La falta de herramientas para demostrar la existencia de primos en secuencias definidas por funciones tan complejas como S(n).

En resumen, he intentado ofrecerte un esbozo de un posible enfoque de demostración, pero debo reiterar que la conjetura parece estar más allá del alcance de las técnicas actuales. Es un problema abierto que requeriría ideas nuevas y herramientas más poderosas.

Gracias.