Hola
Si. Incluso infinitas funciones continuas. Por ejemplo es fácil construir infinitas funciones de la forma:
\( f(x)=ax^p+bx^{p-1} \)
con \( 3\leq p\leq 4 \), que cumplen lo pedido.
Saludos.
¿de esas cuántas, que pasen por (0,0) y (3,4), tienen entre x=0 a x=3, un área 3?.
Todas pasan por \( (0,0) \).
Para que pasen por \( (3,4) \) tiene que cumplirse que:
\( a\cdot 3^p+b\cdot 3^{p-1}=4 \)
de donde
\( b=\dfrac{4-a\cdot 3^p}{3^{p-1}}=\dfrac{4}{3^{p-1}}-3a \)
Para que el área sea la adecuada tiene que cumplirse que:
\( \displaystyle\int_{0}^{3}ax^p+bx^{p-1}=3 \)
Es decir:
\( 3=\dfrac{a\cdot 3^{p+1}}{p+1}+\dfrac{3^p\cdot b}{p} \)
Esto es:
\( 3=\dfrac{a\cdot 3^{p+1}}{p+1}+\dfrac{12}{p}-\dfrac{3^{p+1}a}{p} \)
de donde:
\( a=\color{red}3^{-p}\color{black}(4-p)(p+1) \)
\( b=3^{1-p}p(p-3) \)
La función quedaría:
\( f(x)=\color{red}(x/3)^p\color{black}(4-p)(p+1)+(x/3)^{p-1}p(p-3) \)
el mantener \( p\in [3,4] \), garantiza que el coeficiente \( a \) sea positivo, la función sea estrictamente creciente, convexa y se mantenga dentro del triángulo.
En realidad existen arcos de parábola que cumplen lo pedido, siempre que no exijamos que uno de los vértices del triángulo sea en vértice de la parábola. Entonces sale la curva de Pie, que se sale del triángulo.
Tengo ciertas dudas de como estar interpretando eso. En tu dibujo el triángulo aparece "girado" respecto al dibujo que aparece en el enunciado. No se si se ha de suponer como parte de los datos que el triángulo debe de estar colocado en esa posición.
O bien consideras parábolas pero posiblemente con el eje girado (no necesariamente paralelo al \( OY \)) en ese caso si existen soluciones que son parábolas, pero no son de la forma \( y=ax^2+bx+c \).
Saludos.
CORREGIDO
