[JesusMM]

 Había una errata en el signo del exponente de \( 3 \) en el coeficiente de \( a \). Lo he corregido.

 Además considero exponentes reales (no necesariamente enteros). Cualquiera en el intervalo \( p\in [3,4] \).
 
 Luego amplio la respuesta.

Saludos.

  ahora si se verifica en todo el intervalo.

[JesusMM]

  Me parece que al menos ya debemos ser cuatro en el club, pues a Richard R Richard también se le ha visto por ahí...
Saludos

No, no, a mí no me cuenten entre los aspirantes, yo soy socio vitalicio, pues no todavía no veo definida $$f(x)$$ por ningún lado... jaja

Este problema tiene una solución por cada tipo de función que propongas, polinomicas, exponencial, continua a trozos, trigonometrica etc,

una pregunta interesante es ¿cual es la que la corta con la menor longitud de curva?

Solo quedaría por resolver, ¿cuál es la que la corta con la menor longitud de curva?, pero sería otro problema.

[Luis Fuentes]

Hola

Solo quedaría por resolver, ¿cuál es la que la corta con la menor longitud de curva?, pero sería otro problema.

Si no me equivoco en principio fijada el área que queda entre la hipotenusa y la cuerda, la curva de menor longitud que la cierra con ese área fija sería un arco de circunferencia (este es un problema clásico).

El inconveniente aquí es que en ese caso ese arco cortaría a uno de los otros lados del triángulo rectángulo y por tanto ese arco no vale. Eso complica algo el asunto.

Sería un problema de cálculo variacional.

Saludos.

[Richard R Richard]

Hola, que era una circunferencia lo presuponía, no pude ayer relacionar las coordenadas del centro, con el ángulo del arco.Ahora me doy cuenta que esta en una recta que es perpendicular  a la hipotenusa, por lo que tengo algo más por donde tirar.
Sumado que con ese radio dos circunferencias centrada en los extremos de la hipotenusa se cortan en el centro de la circunferencia que quiero hallar...


Más tarde lo sigo.

[Pie]

Hola, que era una circunferencia lo presuponía, no pude ayer relacionar las coordenadas del centro, con el ángulo del arco.Ahora me doy cuenta que esta en una recta que es perpendicular  a la hipotenusa, por lo que tengo algo más por donde tirar.
Sumado que con ese radio dos circunferencias centrada en los extremos de la hipotenusa se cortan en el centro de la circunferencia que quiero hallar...


Más tarde lo sigo.

En concreto tiene que estar en la mediatriz de la hipotenusa (para que el triángulo formado con sus extremos sea isósceles). El problema es que para que el arco quede dentro del triángulo rectángulo el ángulo marcado en verde debe ser igual o superior a \( 90^o \), pero entonces el área bajo la curva ya parece ser mayor a la mitad del triángulo.. 



Saludos.

[ani_pascual]

Hola:
En efecto, si se buscan extremales del funcional \( {\cal F}(y)=\displaystyle\int_0^3\sqrt{1+[y'(x)]^2}\,dx \) con dominio \( D({\cal F})=\{y\in {\cal C}^1[0,3]\,|\,y(0)=0,y(3)=4,y(x)\geq 0,\,\forall\,x\in [0,3]\} \) con la condición de ligadura \( \displaystyle\int_0^3y(x)\,dx=3 \) o equivalentemente \( {\cal G}(y)=0 \) siendo \( {\cal G}(y)=\displaystyle\int_0^3y(x)-1\,dx \), tras aplicar el método de los multiplicadores de Lagrange, y si no me he equivocado, me parece que se llega a la ecuación
\( \left(x+\dfrac{C_1}{\lambda}\right)^2+(y-C_2)^2=\dfrac{1}{\lambda^2} \), que es una circunferencia centrada en \( \left(\dfrac{-C_1}{\lambda},C_2\right) \) y radio \( \dfrac{1}{|\lambda|} \) siendo \( C_1,C_2,\lambda \) parámetros a determinar usando la condición de ligadura y que \( y(0)=0, y(3)=4 \). No sé cómo serán los cálculos...
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola:
En efecto, si se buscan extremales del funcional \( {\cal F}(y)=\displaystyle\int_0^3\sqrt{1+[y'(x)]^2}\,dx \) con dominio \( D({\cal F})=\{y\in {\cal C}^1[0,3]\,|\,y(0)=0,y(3)=4,y(x)\geq 0,\,\forall\,x\in [0,3]\} \) con la condición de ligadura \( \displaystyle\int_0^3y(x)\,dx=3 \) o equivalentemente \( {\cal G}(y)=0 \) siendo \( {\cal G}(y)=\displaystyle\int_0^3y(x)-1\,dx \), tras aplicar el método de los multiplicadores de Lagrange, y si no me he equivocado, me parece que se llega a la ecuación
\( \left(x+\dfrac{C_1}{\lambda}\right)^2+(y-C_2)^2=\dfrac{1}{\lambda^2} \), que es una circunferencia centrada en \( \left(\dfrac{-C_1}{\lambda},C_2\right) \) y radio \( \dfrac{1}{|\lambda|} \) siendo \( C_1,C_2,\lambda \) parámetros a determinar usando la condición de ligadura y que \( y(0)=0, y(3)=4 \). No sé cómo serán los cálculos...
Saludos

Pero no puede ser la solución un arco de circunferencia.

En ese caso la hipotenusa debería de ser su cuerda y el centro estar en la mediatriz de la misma.

Además el área del correspondiente segmento circular (véase dibujo) debería de ser exactamente \( 3 \).

Entonces la longitud de la cuerda \( 5 \) y el área determina completamente el radio del arco y por tanto cual sería tal arco. El radio cumpe

\( arcsin\left(\dfrac{5}{2r}\right)r^2-\dfrac{5}{2}\sqrt{r^2-(5/2)^2}=3 \)

Sale:

\( r=3.9958804036\ldots \)

El problema es que ese arco de circunferencia no está completamente contenido en el triángulo rectángulo (por poquito). "Se sale" por el lado derecho, cortando en dos puntos al cateto de longitud \( 4 \). Esto ya lo indicó Pie.



Saludos.

[Richard R Richard]

El problema es que ese arco de circunferencia no está completamente contenido en el triángulo rectángulo (por poquito). "Se sale" por el lado derecho, cortando en dos puntos al cateto de longitud \( 4 \). Esto ya lo indicó Pie.

Hola, sí, se ve claro,
¿el área de ese pequeño arco a la derecha de $$x=3$$ , suma o no, para la igualdad de las áreas?

Yo creo que si integras el área bajo la curva entre 0 y 3, no afecta.

El tema es que habría que sumar el segmento recto de x=3 entre la interseccion del arco y el punto(3,4) , sería que $$f(x)$$ es a trozos, ahora es suma de arco y segmento,  ¿sigue siendo mínima longitud?, porque si no sumamos ese segmento vertical, es mas corto cruzar con la recta $$y=\frac23x$$

[ani_pascual]

Hola:

...

Pero no puede ser la solución un arco de circunferencia.

En ese caso la hipotenusa debería de ser su cuerda y el centro estar en la mediatriz de la misma.

Además el área del correspondiente segmento circular (véase dibujo) debería de ser exactamente \( 3 \).

Entonces la longitud de la cuerda \( 5 \) y el área determina completamente el radio del arco y por tanto cual sería tal arco. El radio cumpe

\( arcsin\left(\dfrac{5}{2r}\right)r^2-\dfrac{5}{2}\sqrt{r^2-(5/2)^2}=3 \)

Sale:

\( r=3.9958804036\ldots \)

...

Si se busca el radio \( R \) para que la recta vertical \( x=3 \) sea tangente al arco de circunferencia en el punto \( (3,4) \) y llamando \( \alpha=\arctan\dfrac{3}{4} \) se ha de cumplir \( \dfrac{5/2}{R}=\sin\alpha=\dfrac{3}{5} \) de donde \( R=\dfrac{25}{6}\simeq 4,1666\ldots \). Pero entonces el área del segmento circular no es exactamente \( 3 \) sino \( \dfrac{R^2}{2}\left[2\alpha\cdot \dfrac{\pi}{180^{\circ}}-\sin (2\alpha)\right]\simeq 2,83856 \).

Entonces ¿cómo sería el planteamiento correcto usando cáculo variacional? 
Por cierto, ¿cómo has resuelto la ecuación \( r^2\arcsin\left(\dfrac{5}{2r}\right)-\dfrac{5}{2}\sqrt{r^2-(5/2)^2}=3 \)? 
Saludos

[Richard R Richard]

Por cierto, ¿cómo has resuelto la ecuación \( r^2\arcsin\left(\dfrac{5}{2r}\right)-\dfrac{5}{2}\sqrt{r^2-(5/2)^2}=3 \)? 
Saludos

Creo que sale del área entre cuerda y circunferencia  ,  $$S=\theta R^2/2-Base Altura/2$$   es el área de un sector circular menos el triángulo entre el centro y las cuerdas.