[Jorge-V]

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{Im(n+e^{n*i})^{\displaystyle\frac{1}{2}}} \)

[Fernando Revilla]

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{Im(n+e^{n*i})^{\displaystyle\frac{1}{2}}} \)

Una serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}z_n \) de números complejos \( z_n=\operatorname{Re}z_n+i\operatorname{Im}z_n \) es convergente sí y sólo si lo son las series \( \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\operatorname{Re}z_n \) y \( \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\operatorname{Im}z_n \). Comprueba en nuestro caso que \( \displaystyle\lim_{n\to{+}\infty}{z_n} \) no es nulo con lo cual \( \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\operatorname{Im}z_n \) es divergente.

[Luis Fuentes]

Hola

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{Im(n+e^{n*i})^{\displaystyle\frac{1}{2}}} \)

Además de lo que dice Fernando, la notación que has escogida es confusa y sospecho esconde erratas en la escritura de lo que realmente querías poner. Has puesto "imagen" (y que he sustituido por "im") que uno entiende que se refiere a la parte imaginaria de un número complejo; eso hace pensar que el \( i \) de la exponencial es la \( i=\sqrt{-1} \) compleja. No obstante también usas \( i \) como índice de la sumatoria. Tampoco queda claro si las \( n \)s de los sumandos en realidad querían ser valores que aumentan con el índice de la suma o un valor fijo (que sería lo que al pie de la letra has puesto).

Saludos.

[Jorge-V]

Gracias, pero aún no me ha quedado claro, disculpad por mi falta de claridad.

El caso es que en el programa me da una oscilación en torno al cero al hacer plot con t. Edito: y el sumatorio da alrededor de 0.45 variando dependiendo de la oscilación.

He puesto esta fórmula:

w=(1: 1: 1000);

t= imag((w+exp(1i*w)).^(1/2));

Edito2:

He calculado el límite: \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{imagen((x+e^{x*i})^{\displaystyle\frac{1}{2}})}=0 \)

A mí de da convergente, según el programa.

[Jorge-V]

Es verdad, la notación fue errónea qué torpeza, me líe con el i imaginario y el de la sumatoria.

Este es el sumatorio:

\( \displaystyle\sum_{x=1}^\infty{{Im((x+e^{x\cdot i})^{\displaystyle\frac{1}{2}})}} \)

[Jorge-V]

Por hacer este hilo más interesante.

He podido calcular el limite para:

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{Im((x+e^{x\cdot i})^{\frac{1}{x}})}=0 \)

y

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{Im((x+x^{x\cdot i})^{\frac{1}{2}})}=0 \)

Ahora os pregunto, se cumpliría también esta expresión: (El ordenador no puede calcularlo).

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{Im((x+x^{x\cdot  i})^{\frac{1}{x}})}=0 \)

 Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias, pero aún no me ha quedado claro, disculpad por mi falta de claridad.

El caso es que en el programa me da una oscilación en torno al cero al hacer plot con t. Edito: y el sumatorio da alrededor de 0.45 variando dependiendo de la oscilación.

He puesto esta fórmula:

w=(1: 1: 1000);

t= imag((w+exp(1i*w)).^(1/2));

Edito2:

He calculado el límite: \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{imagen((x+e^{x*i})^{\displaystyle\frac{1}{2}})}=0 \)

A mí de da convergente, según el programa.

Vale es que tu te referías en realidad a la serie:

\( \sum_{n=1}^\infty Im(n+e^{in})^{1/2} \)

Fíjate que:

\( n+e^{in}=(n+cos(n))+i\,sin(n) \)

El módulo es \( m_n=\sqrt{(n+cos(n))^2+sin^2(n)} \)

El argumento es \( a_n=arctan\left(\dfrac{sin(n)}{n+cos(n)}\right) \)

Y el argumento de la raíz cuadrada es \( a_n/2 \). La parte compleja de esa raíz cuadrada es:

\( \sqrt{m_n}sin(a_n/2) \)

Como \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\dfrac{m_n}{n}=1 \) equivale a estudiar la convergencia de la serie:

\(  \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\sqrt{n} sin(a_n/2)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\dfrac{\sqrt{n}sin(a_n/2)}{n} \)

Y (tengo que pensar los detalles con más calma) por el criterio de Dirichlet, si no me equivoco se prueba la convergencia de la serie.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{Im((x+x^{x\cdot  i})^{\frac{1}{x}})}=0 \)

Si. Ese límite es cero:

\( x^{x\cdot i}=cos(x\,ln(x))+i\,sin(x\,ln(x)) \)

y

\( a(x)=Arg(x+x^{x\cdot i})=arctan\dfrac{sin(xln(x))}{x+cos(xln(x))} \)

Entonces se trata de hallar:

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}sin(a(x)/x)|x+cos(x\,ln(x))+i\,sin(x\,ln(x))|^{1/x} \)

Pero es inmediato ver que \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}a(x)=0 \) y \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}|x+cos(x\,ln(x))+i\,sin(x\,ln(x))|^{1/x}=1 \) y de ahí el límite es cero.

Saludos.

[Jorge-V]

Ok, entonces, para precisar en este hilo, si calculamos la convergencia de la serie:

\( \displaystyle\sum_{x=1}^∞{Im(x+x^{x*i})^{\displaystyle\frac{1}{x}}}  \)

Tendría que ser un número trascendente.

Con una precisión de 0.268153 para x=10000.

Si parece que fuese un número trascendente, ¿en qué clasificación entraría? He buscado por la red y parece que no hay registro de este número.

[Jorge-V]

Respecto a la fórmula anterior, quizá tuviera algún interés si la variable x recogiera a los números primos.

¿Sería  convergente este sumatorio en ese caso?
Según el ordenador parece que sí, se comporta igual, con una precisión de 0.380965 para los 1229 primeros primos.

Bueno, ahí dejo la cuestión, saludos.

Edito:

Mejor tendría que formularse de la forma:

\( \displaystyle\sum_{x=p_1}^{p_∞}{Im(x+x^{x*i})^{\displaystyle\frac{1}{2}}}  \)

En este caso usando x como los números primos, la convergencia no es tan clara.