[petras]

En un cuadrilátero ABC, si se tiene ∠CAD = 2∠BAC, y BC = CD, ∠CAD = 28° y ∠ACD = 48°. Calcular ∠BCA.

Spoiler

Gabarito: \( 16^o \)

[cerrar]

[ani_pascual]

Hola:

En un cuadrilátero ABC, si se tiene ∠CAD = 2∠BAC, y BC = CD, ∠CAD = 28° y ∠ACD = 48°. Calcular ∠BCA.

Spoiler

Gabarito: \( 16^o \)

[cerrar]

...

Una forma, si no me he equivocado...

Spoiler

Prolongando los segmentos \( AB \) y \( DC \) hasta su corte en \( E \), se comprueba que \( \widehat{ECD}=132^{\circ}-x=2\left(66^{\circ}-\dfrac{x}{2}\right)=2\widehat{CDB} \) luego \( E,B,D \) son puntos de la circunferencia con centro en \( C \) y radio \( BC=CD=CE \). Así, se tiene que \( \widehat{BED}+\widehat{EDB}=90^{\circ}\Longleftrightarrow 34^{\circ}+66^{\circ}-\dfrac{x}{2}=90^{\circ} \) de donde \( \boxed{x=20^{\circ}} \)

[cerrar]

Había un paso en falso ...  CORREGIDA la redacción. Intento fallido  Gracias petras. Habrá que buscar mi error...
Saludos

[petras]

Hola:

En un cuadrilátero ABC, si se tiene ∠CAD = 2∠BAC, y BC = CD, ∠CAD = 28° y ∠ACD = 48°. Calcular ∠BCA.

Spoiler

Gabarito: \( 16^o \)

[cerrar]

...

Una forma, si no me he equivocado...

Spoiler

Prolongando los segmentos \( AB \) y \( DC \) hasta su corte en \( E \), se comprueba que \( \widehat{ECD}=132^{\circ}-x=2\left(66^{\circ}-\dfrac{x}{2}\right)=2\widehat{CDB} \) luego \( E,B,D \) son puntos de la circunferencia con centro en \( C \) y radio \( BC=CD=CE \). Así, se tiene que \( \widehat{BED}+\widehat{EDB}=90^{\circ}\Longleftrightarrow 34^{\circ}+66^{\circ}-\dfrac{x}{2}=90^{\circ} \) de donde \( \boxed{x=20^{\circ}} \)

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Había un paso en falso ...  CORREGIDA la redacción.
Saludos

 extraño... mi GeoGebra llega a la solución correcta.
 \( AB \cap CD = E  \) no pertenece a la circunferencia."

[petras]

Hola:

En un cuadrilátero ABC, si se tiene ∠CAD = 2∠BAC, y BC = CD, ∠CAD = 28° y ∠ACD = 48°. Calcular ∠BCA.

Spoiler

Gabarito: \( 16^o \)

[cerrar]

...

Una forma, si no me he equivocado...

Spoiler

Prolongando los segmentos \( AB \) y \( DC \) hasta su corte en \( E \), se comprueba que \( \widehat{ECD}=132^{\circ}-x=2\left(66^{\circ}-\dfrac{x}{2}\right)=2\widehat{CDB} \) luego \( E,B,D \) son puntos de la circunferencia con centro en \( C \) y radio \( BC=CD=CE \). Así, se tiene que \( \widehat{BED}+\widehat{EDB}=90^{\circ}\Longleftrightarrow 34^{\circ}+66^{\circ}-\dfrac{x}{2}=90^{\circ} \) de donde \( \boxed{x=20^{\circ}} \)

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Había un paso en falso ...  CORREGIDA la redacción.
Saludos

Intenté utilizar la bisectriz pero no consigo demostrar que el \( \angle  FDE=30^o \)."

[petras]

Encontrei

\( \angle EAB = 14^o \implies \angle BEA \cong  \angle DEF = 74^o \\
\therefore \angle FDA = 30^o  \implies \angle CDB \cong \angle DBC = 58^ o\\
\therefore x = 180 - 116-48 = 16^o   \)

[petras]

Traçar a bissetriz AJ (J em CD)
\( \mathtt{
DF \perp AJ (F \in CD)\\
\triangle AFD_{(isosc)} \implies \angle ADF \cong \angle AFD = 76^o \\
\angle ACJ = 180^o - (48^o +14^o ) = 118^o \implies \angle JDK = 28^o \\
\angle BAC  =14^o \implies \angle A = 42 \therefore \angle ABD = 92^o \implies \angle BEA \cong \angle FED = 74^o \\
\therefore  \angle FDE  = 30^o \implies \angle BDC = 58^o \cong \angle BDC\\
\therefore x+48^o  = 180^0 -(58^o .2) \implies \boxed{x =16^o }} \)

[ani_pascual]

Hola:

Traçar a bissetriz AJ (J em CD)
\( \mathtt{
DF \perp AJ (F \in A\textcolor{red}{J})\\
\triangle AFD_{(isosc)} \implies \angle ADF \cong \angle AFD = 76^o \\
\angle A\textcolor{red}{CJ} = 180^o - (48^o +\textcolor{red}{28^o} ) = 118^o \implies \angle JDK = 28^o \\
\angle BAC  =14^o \implies \angle A = 42 \therefore \angle ABD = 92^o \implies \angle BEA \cong \angle FED = 74^o \\
\therefore  \angle FDE  = 30^o \implies \angle BDC = 58^o \cong \angle BDC\\
\therefore x+48^o  = 180^0 -(58^o .2) \implies \boxed{x =16^o }} \)

Creo que hay algunas erratas.  ¿Cómo deduces que \( \angle BEA=74^{\circ} \)?
¿No estará mal el resultado? 
A ver si nos ilustra Pie 
Saludos

[petras]

Hola:

Traçar a bissetriz AJ (J em CD)
\( \mathtt{
DF \perp AJ (F \in A\textcolor{red}{J})\\
\triangle AFD_{(isosc)} \implies \angle ADF \cong \angle AFD = 76^o \\
\angle A\textcolor{red}{CJ} = 180^o - (48^o +\textcolor{red}{28^o} ) = 118^o \implies \angle JDK = 28^o \\
\angle BAC  =14^o \implies \angle A = 42 \therefore \angle ABD = 92^o \implies \angle BEA \cong \angle FED = 74^o \\
\therefore  \angle FDE  = 30^o \implies \angle BDC = 58^o \cong \angle BDC\\
\therefore x+48^o  = 180^0 -(58^o .2) \implies \boxed{x =16^o }} \)

Creo que hay algunas erratas.  ¿Cómo deduces que \( \angle BEA=74^{\circ} \)?
¿No estará mal el resultado? 
A ver si nos ilustra Pie 
Saludos

"Realmente faltó demostrar que el ángulo vale 74... Por lo tanto, la cuestión sigue abierta. Gracias por la advertencia."
Hice las otras correcciones..

[Richard R Richard]

Si este grafico esta correcto

$$\angle BCA=\alpha$$
 $$\alpha +\angle ACD +\angle CDB+\angle DBC$$
$$\alpha+48+58+58=180$$

$$\alpha =16$$

el tema es cómo dedujeron el ángulo 58°?

[Pie]

Casi me cuesta un riñón este..

Spoiler

Si prolongamos \( AD \) hasta formar un triángulo isósceles de ángulo desigual de \( 28^o \):



Tenemos que \( \triangle{DCE}\sim \triangle{CAE} \), y por tanto \( CE = CD = CB \). Construyendo ahora otro triángulo isósceles congruente con el anterior, por ser \( AB \) bisectriz se tiene que \( FB = BC \), y por tanto el triángulo \( \triangle{FBC} \) es equilátero, de donde:

\(  \angle BCA = 76^o-60^o = 16^o \)

[cerrar]

Saludos.