Hola:
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No acabo de ver de donde sacas esa congruencia, así sin más datos diria que lo único que se puede asegurar es que \( PN = ND \) (también que \( EN = BN = NF \), aunque esto no parece que pueda servir de mucho para deducir \( PN \) 
)
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Al parecer, hemos nombrado de forma distinta los vértices del rectángulo y quizás eso influya..., no sé. He dibujado un rectángulo arbitrario con Geogebra y tras trazar las rectas del enunciado, he observado que girando \( 90^{\circ} \) en sentido antihorario en torno al punto \( D \) el triángulo isósceles \( \triangle{AOD} \) se obtiene el triángulo \( \triangle{PND} \).
Lo único que veo que hemos hecho distinto es que en mi dibujo \( P \) intercepta el lado (no la recta) \( CD \). Pero diria que eso no tiene nada que ver en que los triángulos tengan que ser congruentes. ¿Estás seguro que tienen exactamente lo mismos lados? (en tu dibujo no parece que \( DP \) sea exactamente igual a \( AD \)) ¿Has probado con más rectángulos?
Es que diría que eso solo puede pasar para un rectángulo en concreto..
PD: De todos modos girar una figura en geogebra y ver que pasa esto o lo otro no me parece argumento suficiente para sacar conclusiones (se que en este caso no importa porque ni tenemos los datos suficientes
), a lo mejor le puede servir a uno para estar "seguro" del resultado que quiere probar, pero usar esas cosas así sin más me parece un poco tramposo..
Saludos.
