Hola:
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Otra cosa que me podrias decir es porque la frontera es \( A \) union el punto \( p \) mi respuesta sera porque lo saque del dibujo, pero eso no es una prueba...
En primer lugar he de corregir algo que te puse en el mensaje anterior; y es que escribí que la sucesión \( A \) es constante o semiconstante es equivalente a decir que \( A=\{p\}\cup F \) para algún \( F\subset A \) con \( F \) finito, y no es exactamente cierto, pues puede ocurrir, por ejemplo, que sea \( A=\{x_1,p,x_1,p,x_1,p\ldots \} \) con \( x_1\neq p \) y así es \( A=\{p\}\cup F \) con \( F=\{x_1\}\subset A \) y, sin embargo, la sucesión no es constante ni semiconstante. Tenía que haberlo expresado diciendo que existe \( n_0\in\mathbb{N} \) tal que \( \forall\,n\geq n_0 \) es \( x_n=p \).
Respecto a tu pregunta, ten en cuenta que \( \forall\,n\in\mathbb{N} \) es \( x_n\in A\subset \overline{A} \) y por otro lado \( \forall\,\varepsilon>0 \) se cumple \( B(x_n,\varepsilon)\textcolor{red}{\cap} (\mathbb{R}^2\setminus A)\neq \emptyset \) luego \( x_n\in\overline{\mathbb{R}^2\setminus A} \) y así \( x_n\in \partial(A),\,\forall\,n\in\mathbb{N} \).
Además, \( p\in\overline{A} \) ya que existe una sucesión en \( A \) (ella misma) que converge a \( p \), y por otra parte, \( \forall\,\varepsilon>0,\, \,B(p,\varepsilon)\cap (\mathbb{R}^2\setminus A)\neq \emptyset \), luego \( p\in\overline{A}\cap \overline{\mathbb{R}^2\setminus A}=\partial(A) \). En definitiva, \( \partial(A)=A\cup\{p\} \).
Saludos
No se, me parece raro usar la clausura y la clausura de \( \mathbb{R^2}-A \), no seria que hay que probar esto:
\( A\cup{\left\{{p}\right\}}\subset{dA} \)
Intentare algo, tal vez es cualquiera, pero lo que siempre hacia es tomar un elemento de el conjunto de la izquierda y ver si esta en el de la derecha
Sea \( a\in{A\cup{\left\{{p}\right\}}} \) luego 1) \( a=x_k \) o 2) \( a=p \)
1) \( a\in{dA\Leftrightarrow{\forall{r>0,B(a,r)\cap{A\neq}}}}\emptyset,B(a,r)\cap{A^c}\neq \emptyset \)
No se como probarlo, pero por ejemplo si suponemos que \( B(a,r)\cap{A}=\emptyset \) es absurdo pues el centro de la bola pertenece a A, es decir la bola y el conjunto A tienen elementos en común entonces no puede ser vació esa intersección
Si \( B(a,r)\cap{A^c}=\emptyset \) aca no se como probar que es absurdo, apelaría a como es el conjunto... osea en un dibujo puedes ver que para cierto radio, habra una bola que no toque elementos de \( A \), pero si de \( A^c \), bueno en realidad para cada bola, no se que tan formal sea esto
2) prácticamente lo mismo
¿Esta bien o hice cualquier cosa?
PD: lo que mas me molesta es por ejemplo que no se como probar exactamente al 100% que un punto por ejemplo es frontera, se la definición pero no me ayuda en nada, es mas en plan "mira el dibujo y date cuenta que cumple la definición" y eso no se si es tan formal...
