Autor Tema: Simplificación de expresiones

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10 Marzo, 2025, 10:35 pm
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hear

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Estimados, a continuación propongo un problema para encontrar su solución, es importante por que ayuda a simplificar de un modo significativo las expresiones a demás de desarrollar una técnica algebraica para ese cometido.
Saludos.
Ama a tu prójimo como a tí mismo!

13 Marzo, 2025, 12:30 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 No se me ocurre una forma sistemática de hacer esas simplifcaciones, más que remangarse desarrollar potencias y ver si eso ayuda en el proceso.

Saludos.

14 Marzo, 2025, 01:03 pm
Respuesta #2

Masacroso

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Añado, algo un poco de off-topic para dar un contexto general a la pregunta de hear: la simplificación de expresiones es un problema de complejidad computacional NP, es decir, es esencialmente irresoluble y la parte esencial de cualquier CAS (sistema de álgebra computacional). Mejor el CAS cuanto más potente sea su capacidad de simplificar expresiones o hallar representaciones útiles y variadas de alguna expresión.

Como dice Luis, en general (salvo contextos muy concretos) no hay trucos o reglas que uno pueda seguir que lleven siempre a una representación "simplificada" de alguna expresión. Esas expresiones con radicales son bastante feas, a veces algunas de estas expresiones se pueden simplificar utilizando algún teorema sobre anillos polinómicos y cuerpos.

24 Marzo, 2025, 07:29 pm
Respuesta #3

hear

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Añado, algo un poco de off-topic para dar un contexto general a la pregunta de hear: la simplificación de expresiones es un problema de complejidad computacional NP, es decir, es esencialmente irresoluble y la parte esencial de cualquier CAS (sistema de álgebra computacional). Mejor el CAS cuanto más potente sea su capacidad de simplificar expresiones o hallar representaciones útiles y variadas de alguna expresión.

Como dice Luis, en general (salvo contextos muy concretos) no hay trucos o reglas que uno pueda seguir que lleven siempre a una representación "simplificada" de alguna expresión. Esas expresiones con radicales son bastante feas, a veces algunas de estas expresiones se pueden simplificar utilizando algún teorema sobre anillos polinómicos y cuerpos.
Gracias por el dato.
Como han de suponer estas expresiones son el resultado de unas fórmulas que se han obtenido de una investigación que se viene realizando sobre la existencia de una "fórmula directa" para la solución de una ecuación de tercer grado en una variable (con las consecuencias que esto implica...) Ahora bien, con la teoría correspondiente el problema se ha transformado a verificar que las siguientes dos expresiones sean iguales. Si alguien lo puede resolver y dejar aquí la explicación sería importante y muy útil.

I)\( \displaystyle\frac{36106560\sqrt[ 3]{2}-52800\sqrt[ 3]{2}\sqrt[ 3]{45611^2}+878334\sqrt[ 3]{91222}}{(84(40\sqrt[ 3]{2}-\sqrt[ 3]{91222}))^2} \)

II)\( \displaystyle\frac{40\sqrt[ 3]{4}\left(\displaystyle\frac{120-\sqrt[ 3]{45611}}{84}\right)-21\left(\displaystyle\frac{120-\sqrt[ 3]{45611}}{84}\right)^2\sqrt[ 3]{4}-\displaystyle\frac{50}{3}\sqrt[ 3]{4}}{7} \)
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24 Marzo, 2025, 08:04 pm
Respuesta #4

Richard R Richard

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Añado, algo un poco de off-topic para dar un contexto general a la pregunta de hear: la simplificación de expresiones es un problema de complejidad computacional NP, es decir, es esencialmente irresoluble y la parte esencial de cualquier CAS (sistema de álgebra computacional). Mejor el CAS cuanto más potente sea su capacidad de simplificar expresiones o hallar representaciones útiles y variadas de alguna expresión.

Como dice Luis, en general (salvo contextos muy concretos) no hay trucos o reglas que uno pueda seguir que lleven siempre a una representación "simplificada" de alguna expresión. Esas expresiones con radicales son bastante feas, a veces algunas de estas expresiones se pueden simplificar utilizando algún teorema sobre anillos polinómicos y cuerpos.

Gracias por el dato.
Como han de suponer estas expresiones son el resultado de unas fórmulas que se han obtenido de una investigación que se viene realizando sobre la existencia de una "fórmula directa" para la solución de una ecuación de tercer grado en una variable (con las consecuencias que esto implica...) Ahora bien, con la teoría correspondiente el problema se ha transformado a verificar que las siguientes dos expresiones sean iguales. Si alguien lo puede resolver y dejar aquí la explicación sería importante y muy útil.

I)\( \displaystyle\frac{36106560\sqrt[ 3]{2}-52800\sqrt[ 3]{2}\sqrt[ 3]{45611^2}+878334\sqrt[ 3]{91222}}{(84(40\sqrt[ 3]{2}-\sqrt[ 3]{91222}))^2}=\color {blue}0, 52762200925209473356367205225518715776678455835941098429887357459176035217...\color {black} \)

II)\( \displaystyle\frac{40\sqrt[ 3]{4}\left(\displaystyle\frac{120-\sqrt[ 3]{45611}}{84}\right)-21\left(\displaystyle\frac{120-\sqrt[ 3]{45611}}{84}\right)^2\sqrt[ 3]{4}-\displaystyle\frac{50}{3}\sqrt[ 3]{4}}{7}=\color {blue}0, 52762200925209473356367205225518715776678455835941098429887357459176035217...\color {black} \)

Podrías haberlo verificado en Wolfram Alpha , hasta esos decimales las expresiones dan el mismo resultado.

https://www.wolframalpha.com/input?i=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B36106560%5Csqrt%5B+3%5D%7B2%7D-52800%5Csqrt%5B+3%5D%7B2%7D%5Csqrt%5B+3%5D%7B45611%5E2%7D%2B878334%5Csqrt%5B+3%5D%7B91222%7D%7D%7B%2884%2840%5Csqrt%5B+3%5D%7B2%7D-%5Csqrt%5B+3%5D%7B91222%7D%29%29%5E2%7D&lang=es

https://www.wolframalpha.com/input?i=%5Cfrac%7B40%5Csqrt%5B+3%5D%7B4%7D%28%5Cfrac%7B120-%5Csqrt%5B+3%5D%7B45611%7D%7D%7B84%7D%29-21%28%5Cfrac%7B120-%5Csqrt%5B+3%5D%7B45611%7D%7D%7B84%7D%29%5E2%5Csqrt%5B+3%5D%7B4%7D-%5Cfrac%7B50%7D%7B3%7D%5Csqrt%5B+3%5D%7B4%7D%7D%7B7%7D&lang=es

Entonces...
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

24 Marzo, 2025, 09:56 pm
Respuesta #5

hear

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25 Marzo, 2025, 06:06 pm
Respuesta #6

hear

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Siguiendo el criterio de Richard, con aproximación numérica podemos concluir de manera aritmética si se quiere de que las tres expresiones son iguales, sin embargo el álgebra empleada para establecer con rigor dicha conclusión estaría por verse. Adjunto imagen de verificación.



Saludos.
Ama a tu prójimo como a tí mismo!

25 Marzo, 2025, 11:21 pm
Respuesta #7

Richard R Richard

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Algún comentario adicional?

Si, tengo uno,  en los sucesivos mensajes que fuiste  posteando en el foro, vamos hilvanando que estas interesado en un método general para resolver expresiones polinómicas de grado mayor o igual a 3, creo que te  las arroja algún software, y lo que pretendes es un tratamiento algebraico, para lograr simplificar o bien hallar raíces o intersección entre los polinomios.

Te reitero que no estamos interesados en el trasfondo de tu estudio, teoría o lo que fuese, nadie aquí te robará una idea, pero si nos explicas un poco más de qué va la cosa quizá te podamos dar mejores tips o recomendaciones que un simple chequear el resultado y compararlo.

Ya te dijeron que los softwares solo pueden profundizar un poco, pero debido a la diversidad de formas de ecuaciones hace inviable se puedan contemplar todas en tiempos normales de máquina, por lo general los softwares mas comunes aplicaran 5 o 6 criterios y presentaran un resultado, como creo que usas máxima(otra cosa deduzco y no nos cuentas),sé  por experiencia que muchas veces es muy útil, yo lo usé mucho para relatividad general, pero a la vez entiendo que si la expresión resultante es más o menos simplificada solo obedece a un conteo de términos  y no a enseñar una regla general de simplificación de polinomios u otras expresiones.   

Todo esto que escribo, "creo", "me parece", "deduzco", se puede evitar si nos cuentas, sencillas cosas, tus objetivos,  como salen esos polinomios(no me interesa para qué) ,  porque existen 2 o mas expresiones complicadas y porque dan,  deberían dar, o te gustaría resulten en lo mismo, y cuál sería la ventaja de llegar por medio de una serie de pasos algebraicos de una expresión a otra para checar la igualdad.
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

26 Marzo, 2025, 10:39 am
Respuesta #8

Luis Fuentes

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Hola

Si, tengo uno,  en los sucesivos mensajes que fuiste  posteando en el foro, vamos hilvanando que estas interesado en un método general para resolver expresiones polinómicas de grado mayor o igual a 3, creo que te  las arroja algún software, y lo que pretendes es un tratamiento algebraico, para lograr simplificar o bien hallar raíces o intersección entre los polinomios.

Te reitero que no estamos interesados en el trasfondo de tu estudio, teoría o lo que fuese, nadie aquí te robará una idea, pero si nos explicas un poco más de qué va la cosa quizá te podamos dar mejores tips o recomendaciones que un simple chequear el resultado y compararlo.

Ya te dijeron que los softwares solo pueden profundizar un poco, pero debido a la diversidad de formas de ecuaciones hace inviable se puedan contemplar todas en tiempos normales de máquina, por lo general los softwares mas comunes aplicaran 5 o 6 criterios y presentaran un resultado, como creo que usas máxima(otra cosa deduzco y no nos cuentas),sé  por experiencia que muchas veces es muy útil, yo lo usé mucho para relatividad general, pero a la vez entiendo que si la expresión resultante es más o menos simplificada solo obedece a un conteo de términos  y no a enseñar una regla general de simplificación de polinomios u otras expresiones.   

Todo esto que escribo, "creo", "me parece", "deduzco", se puede evitar si nos cuentas, sencillas cosas, tus objetivos,  como salen esos polinomios(no me interesa para qué) ,  porque existen 2 o mas expresiones complicadas y porque dan,  deberían dar, o te gustaría resulten en lo mismo, y cuál sería la ventaja de llegar por medio de una serie de pasos algebraicos de una expresión a otra para checar la igualdad.

 :aplauso: :aplauso: :aplauso:

Suscribo todo lo dicho por Richard R Richard.

Añado que si estás buscando un método, ejemplo, o resultado que contradiga este teorema que comentamos en este hilo:

Citar
Theorem. Suppose \( f \in \mathbb{Q}[x ] \) is an irreducible polynomial which splits over \( \mathbb{R} \). (In other words, its roots are all real.) If \( f \) has any root which is a real radical element, then the degree of \( f \) is a power of 2 and the Galois group of \( f \) over \( \mathbb{Q} \) is a 2-group.

Eso quiere decir entre otras cosas que las soluciones de un polinomio irreducible con todas sus raíces reales no pueden obtenerse mediante radicales a no ser que su grado sea una potencia de dos (en ese caso podrá hacerse o no; hay más condiciones).

estás perdiendo el tiempo.

Saludos.

26 Marzo, 2025, 11:36 am
Respuesta #9

hear

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Hola!

Sobre la consulta que hace Richard entre otras, le puedo resumir que lo que indica Luis es en resumen lo que versa mi investigación más específicamente, se busca una "fórmula directa" para la solución de la ecuación de tercer grado; con "fórmula directa" se entiende una que solucione el "casus irreducibilis" que es cuando no son "efectivas" las fórmulas por radicales de los Italianos es decir No dan "directamente" la expresión analítica real de la solución o raíz. Ahora bien, que este concepto se pudiera extender a otros polinomios de grado impar mayor a tres, es algo que no puedo afirmar obviamente por la complejidad del tema, sin embargo mi estudio con la de grado tres ciertamente abre una puerta para su análisis, ya que (sin saberlo inicialmente...) contradice un "cierto teorema" que afirma el "casus irreducibilis" (https://es.wikipedia.org/wiki/Casus_irreducibilis) para la ecuación de tercer grado.
Con mucha modestia puedo afirmar que mi estudio está concluido y doy gracias a Dios por ello (como en todo). Si desean pormenores del mismo no me niego a compartir cierta información por canales adecuados y disponibles que quieran o puedan proponer.
Para terminar, esas expresiones corresponden a un caso particular de una ecuación cúbica que necesitaba reducir para "comodidad" dentro del proceso para encontrar la forma de la solución o raíz por radicales dentro de los reales de una considerada perteneciente al "causus irreducibilis" concretamente la pueden encontrar en la parte final del mismo post que indica Luis:

...
Añado que si estás buscando un método, ejemplo, o resultado que contradiga este teorema que comentamos en este hilo:

...

Saludos.
Ama a tu prójimo como a tí mismo!