[franma]

Buenas a todos,

Decimos que una fórmula \( T(x) \) (en el lenguaje de \( \mathsf{ZF} \)) es un predicado de verdad si:

\( T(\lceil \phi\rceil) \Leftrightarrow \phi \) para toda fórmula cerrada \( \phi \)

Tengo el siguiente teorema:
(Tarski) No existe ningún predicado de verdad en el lenguaje de \( \mathsf{ZF} \)

Cuya prueba es la siguiente:

Demostración

Supongamos dado un predicado de verdad \( T(x) \) en el lenguaje de \( \mathsf{ZF} \)

Internalizando la codificación \( \phi \mapsto \lceil \phi \rceil \) adentro de \( \mathsf{ZF} \), se puede definir en \( \mathsf{ZF} \) una función \( \delta: \text{Form}_1\to \text{Form}_0 \) tal que:

\( \delta(\lceil \phi(x) \rceil) = \lceil \phi(\lceil \phi(x) \rceil)) \) para toda fórmula externa \( \phi(x) \)

Ahora se considera la fórmula \( \psi(x) :\equiv \neg T(\delta(x)) \) y se observa que:

\( \psi(\lceil \psi(x) \rceil) \Leftrightarrow \neg T(\delta(\lceil \psi(x)\rceil)) \Leftrightarrow \neg T(\lceil \psi (\lceil\psi(x) \rceil)\rceil) \Leftrightarrow \neg \psi(\lceil \psi(x)\rceil) \)

Absurdo.

[cerrar]

No entiendo la parte en rojo, ¿Cómo exactamente se internaliza esa codificación?

Saludos,
Franco.

[Carlos Ivorra]

Pues es bastante laborioso. La idea de fondo es simple: si tienes una fórmula (externa) cualquiera \( \phi(x) \), con una variable libre, tienes definido el conjunto \( \lceil\phi\rceil \), que satisface la definición de fórmula interna, y a su vez eso te permite considerar la fórmula externa \( \phi(\lceil\phi\rceil) \).

Así pues, tienes una correspondencia \( \phi\mapsto \phi(\lceil\phi\rceil) \) que a cada fórmula externa le hace corresponder otra fórmula externa. Esta correspondencia puede calcularse explícitamente. Puedes programar a un ordenador para que si le das \( \phi(x) \) él te devuelva \( \phi(\lceil\phi\rceil) \) y, del mismo modo que puedes plasmar la asignación en forma de algoritmo, también puedes plasmarla como una definición en ZF de una función \( \delta \).

Ahora, escribir explícitamente esa función \( \delta \) requiere bastante trabajo.

[franma]

Hola Carlos

Estuve pensando un rato y me han surgido aun más dudas A ver:

Pues es bastante laborioso. La idea de fondo es simple: si tienes una fórmula (externa) cualquiera \( \phi(x) \), con una variable libre, tienes definido el conjunto \( \lceil\phi\rceil \), que satisface la definición de fórmula interna, y a su vez eso te permite considerar la fórmula externa \( \phi(\lceil\phi\rceil) \).

El lenguaje de \( \mathsf{ZF} \) es solamente el símbolo de relación \( \in \), y como no hay términos se sigue que no hay más que variables (libres y ligadas) en las fórmulas (las fórmulas externas). Y para estas fórmulas es que tenemos la codificación \( \phi \mapsto \lceil \phi \rceil \).
Ahora, supongo que debo entender \( \phi(\lceil \phi \rceil) \) como \( \phi(y)\land \Gamma_\phi(y) \) donde \( \Gamma_\phi(x) :\equiv \) \( ``x=\lceil \phi \rceil
 " \) lo que luego nos permitiría calcular \( \lceil \phi(\lceil \phi \rceil) \rceil \). ¿Esta interpretación es correcta?

Así pues, tienes una correspondencia \( \phi\mapsto \phi(\lceil\phi\rceil) \) que a cada fórmula externa le hace corresponder otra fórmula externa. Esta correspondencia puede calcularse explícitamente. Puedes programar a un ordenador para que si le das \( \phi(x) \) él te devuelva \( \phi(\lceil\phi\rceil) \) y, del mismo modo que puedes plasmar la asignación en forma de algoritmo, también puedes plasmarla como una definición en ZF de una función \( \delta \).

Ahora, escribir explícitamente esa función \( \delta \) requiere bastante trabajo.

De acuerdo. Entonces me basta con saber que se puede hacer, tampoco es demasiado relevante para el resto del curso.

Ahora, en mis apuntes se dice que debido al teorema de Tarski (el de este hilo) no es posible que exista un conjunto \( X \) tal que la \( \in \)-estructura \( (X,\in) \) elementalmente equivalente al universo \( (V,\in) \) (aquí son modelos clase), quería saber si la siguiente prueba es correcta:
Supongamos que existe \( X \) tal que \( (X,\in) \) elementalmente equivalente a \( (V,\in) \), esto significa que para toda fórmula externa \( \phi(\vec{x}) \):

\( (\forall \vec{x}\in X)((X,\in) \models \phi(\vec{x}) \Leftrightarrow (V,\in) \models \phi(\vec{x})) \)

es decir:

\( (\forall \vec{x}\in X)(\phi^X(\vec{x}) \Leftrightarrow \phi(\vec{x})) \)

y usando que para conjuntos se tiene que relativizar coincide con la satisfacción del código tenemos:

\( (\forall \vec{x}\in X)((X,\in) \models \lceil \phi \rceil(\vec{x}) \Leftrightarrow \phi(\vec{x})) \)

Ahora, para toda fórmula cerrada tenemos:

\( ((X,\in) \models \lceil \phi \rceil ) \Leftrightarrow \phi \)

Es decir, si definiéramos \( T(x) :\equiv x\in Form \land (X,\in)\models x \) tenemos que \( T(x) \) es un predicado de verdad lo cual contradice el teorema de Tarski.
¿Es correcto?

Gracias.

Saludos,
Franco.

[Carlos Ivorra]

El lenguaje de \( \mathsf{ZF} \) es solamente el símbolo de relación \( \in \), y como no hay términos se sigue que no hay más que variables (libres y ligadas) en las fórmulas (las fórmulas externas). Y para estas fórmulas es que tenemos la codificación \( \phi \mapsto \lceil \phi \rceil \).
Ahora, supongo que debo entender \( \phi(\lceil \phi \rceil) \) como \( \phi(y)\land \Gamma_\phi(y) \) donde \( \Gamma_\phi(x) :\equiv \) \( ``x=\lceil \phi \rceil
 " \) lo que luego nos permitiría calcular \( \lceil \phi(\lceil \phi \rceil) \rceil \). ¿Esta interpretación es correcta?

Más bien \( \phi(\lceil \phi \rceil) \) es \( \exists y(\phi(y)\land \Gamma_\phi(y)) \).

[franma]

El lenguaje de \( \mathsf{ZF} \) es solamente el símbolo de relación \( \in \), y como no hay términos se sigue que no hay más que variables (libres y ligadas) en las fórmulas (las fórmulas externas). Y para estas fórmulas es que tenemos la codificación \( \phi \mapsto \lceil \phi \rceil \).
Ahora, supongo que debo entender \( \phi(\lceil \phi \rceil) \) como \( \phi(y)\land \Gamma_\phi(y) \) donde \( \Gamma_\phi(x) :\equiv \) \( ``x=\lceil \phi \rceil
 " \) lo que luego nos permitiría calcular \( \lceil \phi(\lceil \phi \rceil) \rceil \). ¿Esta interpretación es correcta?

Más bien \( \phi(\lceil \phi \rceil) \) es \( \exists y(\phi(y)\land \Gamma_\phi(y)) \).

Tienes razón. Además acabo de agregar algo a mi mensaje anterior. Lo siento.

Saludos,
Franco.

[Carlos Ivorra]

Ahora, en mis apuntes se dice que debido al teorema de Tarski (el de este hilo) no es posible que exista un conjunto \( X \) tal que la \( \in \)-estructura \( (X,\in) \) elementalmente equivalente al universo \( (V,\in) \) (aquí son modelos clase), quería saber si la siguiente prueba es correcta:
Supongamos que existe \( X \) tal que \( (X,\in) \) elementalmente equivalente a \( (V,\in) \), esto significa que para toda fórmula externa \( \phi(\vec{x}) \):

\( (\forall \vec{x}\in X)((X,\in) \models \phi(\vec{x}) \Leftrightarrow (V,\in) \models \phi(\vec{x})) \)

es decir:

\( (\forall \vec{x}\in X)(\phi^X(\vec{x}) \Leftrightarrow \phi(\vec{x})) \)

y usando que para conjuntos se tiene que relativizar coincide con la satisfacción del código tenemos:

\( (\forall \vec{x}\in X)((X,\in) \models \lceil \phi \rceil(\vec{x}) \Leftrightarrow \phi(\vec{x})) \)

Ahora, para toda fórmula cerrada tenemos:

\( ((X,\in) \models \lceil \phi \rceil ) \Leftrightarrow \phi \)

Es decir, si definiéramos \( T(x) :\equiv x\in Form \land (X,\in)\models x \) tenemos que \( T(x) \) es un predicado de verdad lo cual contradice el teorema de Tarski.
¿Es correcto?

Habría que precisar el enunciado que quieres probar, porque, en principio, "existe un conjunto \( X \) tal que para toda fórmula externa \( \phi \) bla, bla, bla... " no tiene sentido.

[franma]

Habría que precisar el enunciado que quieres probar, porque, en principio, "existe un conjunto \( X \) tal que para toda fórmula externa \( \phi \) bla, bla, bla... " no tiene sentido.

Buff pues la verdad que tienes razón. Es que aquí en la página 36 dice textualmente lo que escribí arriba. Lo que pasa es que tampoco definimos nunca que es que dos modelos clase sean elementalmente equivalentes... no se si se tendrá que entender como algo intuitivo y no un resultado "real".

Saludos,
Franco.

[Carlos Ivorra]

Buff pues la verdad que tienes razón. Es que aquí en la página 36 dice textualmente lo que escribí arriba. Lo que pasa es que tampoco definimos nunca que es que dos modelos clase sean elementalmente equivalentes... no se si se tendrá que entender como algo intuitivo y no un resultado "real".

Sin una precisión del enunciado, poco se puede decir. El asunto no es trivial. Un enunciado correcto no puede afirmar que no existen tales conjuntos, sino únicamente que no se pueda demostrar que existen (pero sigue faltando precisar de qué estamos hablando). Por ejemplo, si suponemos un axioma que se conoce como "existe \( 0^\sharp \)", sucede que existen cardinales \( \kappa \) tales que \( L_\kappa \) es un submodelo elemental de \( L \), luego (en ese caso) \( L \) es un modelo de ZFC en el que existe un \( X=L_\kappa\in L \) que es elementalmente equivalente a la clase universal \( V=L \), pero eso no se puede enunciar en términos de una fórmula relativizada a \( L \). Como digo es muy sutil. Dar detalles aquí sería complicado.

[franma]

Buff pues la verdad que tienes razón. Es que aquí en la página 36 dice textualmente lo que escribí arriba. Lo que pasa es que tampoco definimos nunca que es que dos modelos clase sean elementalmente equivalentes... no se si se tendrá que entender como algo intuitivo y no un resultado "real".

Sin una precisión del enunciado, poco se puede decir. El asunto no es trivial. Un enunciado correcto no puede afirmar que no existen tales conjuntos, sino únicamente que no se pueda demostrar que existen (pero sigue faltando precisar de qué estamos hablando). Por ejemplo, si suponemos un axioma que se conoce como "existe \( 0^\sharp \)", sucede que existen cardinales \( \kappa \) tales que \( L_\kappa \) es un submodelo elemental de \( L \), luego (en ese caso) \( L \) es un modelo de ZFC en el que existe un \( X=L_\kappa\in L \) que es elementalmente equivalente a la clase universal \( V=L \), pero eso no se puede enunciar en términos de una fórmula relativizada a \( L \). Como digo es muy sutil. Dar detalles aquí sería complicado.

Esta bien. De todas formas era solamente una motivación para el teorema de reflexión. Eso si, me queda la duda de como esta definido:

\( L_\kappa \) es un submodelo elemental de \( L \)

Sin hablar de "todas las fórmulas".

Saludos,
Franco.

[Carlos Ivorra]

Eso si, me queda la duda de como esta definido:

\( L_\kappa \) es un submodelo elemental de \( L \)

Sin hablar de "todas las fórmulas".

Ésa es la gracia del asunto, que si existe \( 0^\sharp \) entonces es posible definir \( L\vDash f \) para fórmulas internas, y no hay problema en hablar de "todas las fórmulas" (internas). En particular, la existencia de \( 0^\sharp \) implica que \( V\neq L \).