[pablo.chanduj]

                Buenas noches estimados: Tengo el siguiente ejercicio: Sean p y q enteros. Muestre que si mcd(p,q)=1, entonces \( mcd(p^n,q^n)=1 \) para todo natural n.

                Lo que se me ocurre es lo siguiente:
1. Si mcd(p,q)=1 entonces se puede expresar como 1=px+qy con x,y enteros.
2. p|q=1 entonces p=q.

                 Me pueden orientar como puedo seguir para completar el ejercicio? que propiedad puedo aplicar?
                 Saludos cordiales!

[Juan Pablo Sancho]

No podemos suponer que \( p=1 \) o \( q=1 \), si \( mcd(p,q) = 1  \)entonces no tienes primos comunes.
Sea \( d = mcd(p^n,q^n)  \) si \( d > 1 \) entonces existe \( t \) primo con \( t|d \) entonces \( t|p^n \) y \( t|q^n \) al ser \( t \) primo tenemos que \( t|p \) y \( t|q \) llegando a una contradicción.
Pero usando el argumento inicial:
\( p= \displaystyle \prod_{j=1}^m p_j^{\alpha_j}  \) y \( q = \displaystyle \prod_{k=1}^r q_k^{\beta_k}  \) donde \( p_j \neq q_k  \) para todo \( j \) y \( k \) luego \( p^n = \displaystyle \prod_{j=1}^m p_j^{ n \cdot \alpha_j}  \) y \( q =\displaystyle \prod_{k=1}^r q_k^{n \cdot \beta_k}  \).
Que siguen sin compartir primos.

[ani_pascual]

Hola:
Me parece que se podría expresar de forma equivalente también así:
Si la descomposición en factores primos es \( p=\pm p_1^{\alpha_1}\cdots p_r^{\alpha_r},\,\,q=\pm q_1^{\beta_1}\cdots q_s^{\beta_s} \) con los  \( \alpha_i,\beta_j\in\mathbb{N} \), y es \( d=mcd(p^n,q^n) \), se tiene que \( \left\{\begin{array}{l}d|p^n\\d|q^n\end{array}\right.\Longrightarrow  \exists\, i\in\{1,\ldots,r\},\exists\,j\in\{1,\ldots,s\} \) tales que \( d|p_i,\,\,d|q_j \), luego \( d|p\wedge d|q\Longrightarrow d|mcd (p,q)\Longleftrightarrow d|1 \), con lo que es \( d=1 \)
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

                Buenas noches estimados: Tengo el siguiente ejercicio: Sean p y q enteros. Muestre que si mcd(p,q)=1, entonces \( mcd(p^n,q^n)=1 \) para todo natural n.

                Lo que se me ocurre es lo siguiente:
1. Si mcd(p,q)=1 entonces se puede expresar como 1=px+qy con x,y enteros.
2. p|q=1 entonces p=q.

 Las pruebas anteriores se basan en el Teorema fundamental de la aritmética.

 Oras opciones

 I. Basada en el Lema de Euclides.

Dado un primo \( t \), si \( t|p^n \) entonces \( t|p \).

Spoiler

Esto se prueba usando a su vez que dado \( t \) primo, si \( t|ab \) entonces \( t|a \) ó \( t|b \).

[cerrar]

 Entonces si \( t \) es un divisor común de \( p^n \) y \( q^n \) es también un divisor común de \( p \) y \( q \). Y por tanto si \( mcd(p,q)=1 \) entonces \( t=1 \).

 2. Basado en la identidad de Bezout.

 Se cumple que \( mcd(a,b)=1 \) si y sólo si existen enteros \( x,y \) tales que \( ax+by=1 \).
 
 Entonces veamos que \( mcc(p,q)=1 \) implica que \( mcd(p^n,q)=1 \).

 Si \( mcd(p,q)=1 \), \( px+py=1 \) para enteros \( x,y \).

 Elevando a \( n \).

\(  (px+qy)^n=1 \)

\(  p^nx^n+\underbrace{\binom{n}{1}qp^{n-1}+\binom{n}{2}q^2p^{n-1}+\ldots+q^n}_{\text{multiplos de $q$}}=1 \)

\(  p^nx^n+qz=1 \) y por tanto \( mcd(p^n,q)=1 \).

 Por la misma propiedad:

 \( mcd(p,q)=1\quad \Rightarrow\quad mcd(p^n,q)=1\quad \Rightarrow\quad mcd(p^n,q^n)=1 \).

Saludos.

[feriva]

                Buenas noches estimados: Tengo el siguiente ejercicio: Sean p y q enteros. Muestre que si mcd(p,q)=1, entonces \( mcd(p^n,q^n)=1 \) para todo natural n.

Lo ya dicho, pero explicado con otras palabras.

Por reducción al absurdo también puedes hacerlo, usando el TFA.

Todo número natural se puede factorizar de forma única como producto de primos a,b,c...

Tendremos \( P=a\cdot b\cdot c\cdot... \), donde puede ocurrir, \( p_{i}=p_{j} \) ó \( p_{i}\neq p_{j} \) (es decir, pueden ser distintos o iguales; esto lo defino así para evitar la escritura con potencias, la cual usaré después).

Por tanto, digamos que \( P^{n}=a^{n}\cdot b^{n}\cdot c^{n}... \) y \( Q^{n}=e^{n}\cdot f^{n}\cdot g^{n}... \).

Ahora

\( mcd(P,Q)=1 \) implica que no existe un factor “k” (primo o compuesto) que sea factor de P y a la vez de Q.

Supongamos entonces que \( mcd(P^{n},Q^{n})=k^{n} \) con \( k\neq1 \), eso implica lo siguiente:

\( mcd[(a^{n}\cdot b^{n}\cdot c^{n}...),\,(e^{n}\cdot f^{n}\cdot g^{n}...)]=k^{n} \)

\( mcd[(a^{n}\cdot b^{n}\cdot c^{n}...k^{n})^{1/n},\,(e^{n}\cdot f^{n}\cdot g^{n}...)^{1/n}]=k \)

\( mcd[(a^{n}\cdot b^{n}\cdot c^{n}...k^{n})^{1/n},\,(e^{n}\cdot f^{n}\cdot g^{n}...)^{1/n}]=mcd(P,Q)=k \).

Pero no puede ser \( k\neq1 \) tal como se había supuesto, porque partimos de que \( mcd(P,Q)=1 \).

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

\( mcd[(a^{n}\cdot b^{n}\cdot c^{n}...),\,(e^{n}\cdot f^{n}\cdot g^{n}...)]=k^{n} \)

\( mcd[(a^{n}\cdot b^{n}\cdot c^{n}...k^{n})^{1/n},\,(e^{n}\cdot f^{n}\cdot g^{n}...)^{1/n}]=k \)

En ese paso estás dando por supuesto que \( mcd(p,q)=(mcd(p^n,q^n))^{1/n} \), lo cuál es cierto, pero es una propiedad más fuerte que la que quieres demostrar así que no tiene mucho sentido basar la demostración en ella. De hecho si das por hecho esa propiedad la demostración de lo que te piden sería directa:

\( mcd(p^n,q^n)=mcd(p,q)^n=1^n=1 \).

Saludos.

P.D. Antes también estás dando por hecho que \( mcd(p^n,q^n) \) ha de ser de la forma \( k^n \) lo cual de nuevo es cierto, pero habría que probarlo previamente. Y una vez más es una propiedad más fuerte que la inicial.

[feriva]

Hola

\( mcd[(a^{n}\cdot b^{n}\cdot c^{n}...),\,(e^{n}\cdot f^{n}\cdot g^{n}...)]=k^{n} \)

\( mcd[(a^{n}\cdot b^{n}\cdot c^{n}...k^{n})^{1/n},\,(e^{n}\cdot f^{n}\cdot g^{n}...)^{1/n}]=k \)

En ese paso estás dando por supuesto que \( mcd(p,q)=(mcd(p^n,q^n))^{1/n} \), lo cuál es cierto, pero es una propiedad más fuerte que la que quieres demostrar así que no tiene mucho sentido basar la demostración en ella. De hecho si das por hecho esa propiedad la demostración de lo que te piden sería directa:

\( mcd(p^n,q^n)=mcd(p,q)^n=1^n=1 \).

Saludos.

P.D. Antes también estás dando por hecho que \( mcd(p^n,q^n) \) ha de ser de la forma \( k^n \) lo cual de nuevo es cierto, pero habría que probarlo previamente. Y una vez más es una propiedad más fuerte que la inicial.

Hola, Luis. La verdad es que no estaba muy seguro de si se podía usar, pero como eso se aprende antes (acdémicamente) al estudiar álgebra básica, pensé que a lo mejor era admisible utilizarlo.

Muchas gracias, Luis.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, Luis. La verdad es que no estaba muy seguro de si se podía usar, pero como eso se aprende antes (acdémicamente) al estudiar álgebra básica, pensé que a lo mejor era admisible utilizarlo.

Pero lo que quiero decir es que si admites que eso ya lo sabes, la prueba de lo que piden en este hilo se hace en una línea. Por eso no me parece coherente tu enfoque.

Saludos.

[feriva]

Hola

Hola, Luis. La verdad es que no estaba muy seguro de si se podía usar, pero como eso se aprende antes (acdémicamente) al estudiar álgebra básica, pensé que a lo mejor era admisible utilizarlo.

Pero lo que quiero decir es que si admites que eso ya lo sabes, la prueba de lo que piden en este hilo se hace en una línea. Por eso no me parece coherente tu enfoque.

Saludos.

Sí, tienes razón, muhca palabra para algo que se ve casi de inmediato (era más que nad porque hacía mucho que no entraba, por contar algo ).

Saludos.

[pablo.chanduj]

                 Buenas noches estimados: Gracias por todas las respuestas! hice un planteo que se me ocurrio y quiero saber si es valido:
1. Si mcd(p,q)=1 por enunciado.
2. 1=px+qy con x,y enteros.
3. Analizando 2. se tiene que: 1=px y 0=qy. Luego aplinado n exponente en los terminos tenemos: \( 1^n=(px)^n=p^n x^n=1 \) pero \( x^n \) es entero. y se repite el razonamiento para 0=qy.
4. Luego nos queda \( 1=p^n a \) y \( 0=q^n b \) con a, b enteros
5. Luego sumamos miembro a miembro: \( 1+0=p^n a+q^n b=1 \) entonces concluimos que \( mcd(p^n,q^n)=1 \)

                 Este planteo es correcto? aguardo respuesta! gracias!