Buenas noches estimados: Gracias por todas las respuestas! hice un planteo que se me ocurrio y quiero saber si es valido:
1. Si mcd(p,q)=1 por enunciado.
2. 1=px+qy con x,y enteros.
3. Analizando 2. se tiene que: 1=px y 0=qy
Eso que te acaban de decir es importante, ponte ejemplos sencillos con números; un ejemplo muy simple: sea por caso \( p=5 \) y \( q=2 \), que son coprimos, no tienen factores comunes; entonces existen \( x=1,y=-2 \) tal que
\( 5\cdot1+2(-2)=1 \); es una identidad de Bézout \( p\cdot x+q\cdot y=mcd(p,q) \), y no hay ningún cero ahí.
Para entender la cuestión un poco más (demostraciones y formalizaciones aparte) mejor que usar esa indentidad, puedes hacer
\( p=ad \), \( q=bd \) donde “d” es el mcd. Y entonces \( mcd(a,b)=1 \), evidentemente, porque todos los factores comunes son de “d”, no están en “a” y en “b”, que son necesariamente coprimos.
De este modo, tienes
\( mcd(p,q)=mcd(ad,bd)=d \) (al ser copirmos a,b)
y
\( mcd(p^{n},q^{n})=mcd(a^{n}d^{n},b^{n}d^{n})=d^{n} \) (pues aunque los eleves a la potencia que sea, no pueden aparecer factores comunes). Como en tu caso \( d=1 \), al ser 1 idempotente, pues ocurre que \( d^{n}=d \).
esta idea básica te puede ayudar a verlo mejor.
Saludos.
