[franma]

Buenas a todos,

¡Otro ejercicio de forcing! Aquí vamos:

Se llama átomo a todo conjunto \( x \) que es su propio conjunto unitario: \( x=\{x\} \). El objetivo de este ejercicio es demostrar la independencia de la formula «existe un átomo» con respecto a \( \text{ZF}^{-} \). Para ello, se considera una relación binaria \( \Phi(x,y) \) que realiza una biyección de \( \mathscr{U} \) sobre \( \mathscr{U} \) (en \( \text{ZF} \)) en el sentido en que:

\( \forall x \exists ! y \Phi(x,y) \land \forall y \exists ! x \Phi(x,y) \)

y se nota \( \in' \) a la relación binaria sobre \( \mathscr{U} \) definida por: \( y\in' x \) sii \( y\in \Phi(x) \) (\( x,y\in\mathscr{U} \))
(1) Demostrar en \( \text{ZF} \) que \( (\mathscr{U},\in') \models \text{ZF}^{-} \)
(2) Demostrar en \( \text{ZFC} \) que \( (\mathscr{U},\in') \models \text{AC} \)
Se considera ahora la biyección \( \Phi : \mathscr{U}\to \mathscr{U} \) definida por:

\( \Phi(x,y) : \equiv (x=0 \land y=1) \lor (x=1 \land y=0) \lor (x\not\in \{0,1\} \land y=x) \)

(3) Demostrar en \( \text{ZF} \) (con el \( \Phi \) anterior) que \( (\mathscr{U},\in')\models \) «existe un átomo» (Sugerencia: considerar el conjunto \( 0=\emptyset \) en el modelo \( (\mathscr{U},\in') \))
(4) Concluir que la formula «existe un átomo» es independiente de \( \text{ZF}^{-} \)
(5) Modificar la biyección \( \Phi \) para que el modelo \( (\mathscr{U},\in') \) satisfaga (en \( \text{ZF} \)) la fórmula: «la clase de los átomos es un conjunto numerable», es decir:

\( \exists A[\forall x (x\in A \Leftrightarrow x=\{x\} ) \land (\exists f\in A^\omega) f\text{ biyectiva}] \)

Aquí tenemos la "pertenencia" cambiada así que todas esas geniales simplificaciones de las relativizaciones de axiomas a clases transitivas las tenemos que tirar por la ventana . Así que no queda otra opción más que relativizar cada axioma y ver que se cumple, ya que solo estamos cambiando la pertenencia escribiré \( \phi' \) para la relativización de una fórmula \( \phi \). Comencemos:

(extensionalidad) La relativización queda: \( [\forall a\forall b(\forall x(x\in a \Leftrightarrow x\in b) \Rightarrow a=b)]' \equiv \forall a\forall b(\forall x(x\in' a \Leftrightarrow x\in' b) \Rightarrow a=b) \equiv \forall a\forall b(\forall x(x\in \Phi(a) \Leftrightarrow x\in \Phi(b)) \Rightarrow a=b) \)
- Observar que entonces lo que tenemos como hipótesis es \( \Phi(a)=\Phi(b) \) (por extensionalidad de toda la vida) y luego \( a=b \) pues \( \Phi \) es biyectiva.

(par) La relativización queda: \( [\forall a\forall b \exists c \forall x (x\in c \Leftrightarrow x=a \lor x=b)]' \equiv \forall a\forall b \exists c \forall x (x\in' c \Leftrightarrow x=a \lor x=b) \equiv \forall a\forall b \exists c \forall x (x\in \Phi(c) \Leftrightarrow x=a \lor x=b) \)
- Observar que si tomamos \( c := \Phi^{-1}(\{a,b\}) \) se cumple lo pedido.

(comprensión) La relativización queda: \( [\forall \vec{z} \forall a \exists b \forall x(x\in b \Leftrightarrow x\in a \land \phi(x,\vec{z}))]' \equiv \forall \vec{z} \forall a \exists b \forall x(x\in' b \Leftrightarrow x\in' a \land \phi'(x,\vec{z})) \equiv \forall \vec{z} \forall a \exists b \forall x(x\in \Phi(b) \Leftrightarrow x\in \Phi(a) \land \phi'(x,\vec{z})) \)
- Apliquemos comprensión a la fórmula \( \phi'(x,\vec{z}) \) y al conjunto \( \Phi(a) \), luego obtenemos un conjunto \( d \) tal que \( \forall x(x\in d \Leftrightarrow x\in \Phi(a) \land \phi'(x,\vec{z})) \), ahora simplemente observemos que si tomamos \( b:= \Phi^{-1}(d) \) tenemos que cumple lo pedido.

(unión) La relativización queda: \( [\forall a\exists b \forall x(x\in b \Leftrightarrow \exists y\in a\ x\in y)]' \equiv \forall a\exists b \forall x(x\in' b \Leftrightarrow \exists y\in' a\ x\in' y) \equiv \forall a\exists b \forall x(x\in \Phi(b) \Leftrightarrow \exists y\in \Phi(a) \ x\in \Phi(y)) \)
- Tomemos el conjunto \( d := \{\Phi(y) : y\in \Phi(a) \} \) luego si definimos \( b : = \Phi^{-1}\left( \bigcup d \right) \) cumple lo pedido.

(potencia) La relativización queda: \( [\forall a\exists b \forall x(x\in b \Leftrightarrow x\subset a)]' \equiv \forall a\exists b \forall x(x\in' b \Leftrightarrow x\subset' a)\equiv  a\exists b \forall x(x\in \Phi(b) \Leftrightarrow \forall y(y\in x \Rightarrow y\in a)') \equiv a\exists b \forall x(x\in \Phi(b) \Leftrightarrow \forall y(y\in \Phi(x) \Rightarrow y\in \Phi(a))) \)
- Este la verdad me complica y no se que hacer.

(infinitud) La relativización queda: \( \exists a(\exists x\in a \forall z (z \not\in x)\land \forall x\in a \exists y\in a \forall z(z\in y \Leftrightarrow z\in x\lor z=x))]' \equiv \exists a(\exists x\in' a \forall z (z \not\in' x)\land \forall x\in' a \exists y\in' a \forall z(z\in' y \Leftrightarrow z\in' x\lor z=x)) \equiv \exists a(\exists x\in \Phi(a) \forall z ( z \not\in \Phi(x))\land \forall x\in \Phi(a) \exists y\in \Phi(a) \forall z(z\in \Phi(y) \Leftrightarrow z\in \Phi(x)\lor z=x)) \)
- Este también me complica, quisiera tomar \( a := \Phi^{-1}(\omega) \) pero no veo que funcione.

(reemplazo) La relativización queda: \( [\forall \vec{z} \forall a(\forall x\in a \exists ! y \psi(x,y,\vec{z}) \Rightarrow \exists b \forall x\in a \exists y\in b\psi(x,y,\vec{z}))]' \equiv \forall \vec{z} \forall a(\forall x\in' a \exists ! y \psi'(x,y,\vec{z}) \Rightarrow \exists b \forall x\in' a \exists y\in' b\psi'(x,y,\vec{z})) \equiv \forall \vec{z} \forall a(\forall x\in \Phi(a) \exists ! y \psi'(x,y,\vec{z}) \Rightarrow \exists b \forall x\in \Phi(a) \exists y\in \Phi(b) \psi'(x,y,\vec{z})) \)
- Aplicamos reemplazo a la fórmula \( \psi'(x,y,\vec{z}) \) y al conjunto \( \Phi(a) \) para obtener un conjunto \( d \) que verifica \( \forall x\in \Phi(a) \exists y\in d \psi'(x,y,\vec{z}) \) luego tomando \( b:= \Phi^{-1}(d) \) se cumple lo pedido.

En algún momento en clase como sugerencia dijeron de considerar un cierto "mapa" \( \mathscr{U}\to \mathscr{U} \) que se podía definir por \( \in \)-recursión de forma que a cada \( x \) le asociemos un \( x' \) que era como aplicar recursivamente la \( \Phi \) (o algo así, no recuerdo con exactitud), tal vez por ahí puedan salir los dos axiomas que me faltan (asumiendo que lo demás esta correcto).

Cualquier ayuda es bienvenida.

Saludos,
Franco.

[Guli-Guli]

Para ello, se considera una relación binaria \( \Phi(x,y) \) que realiza una biyección de \( \mathscr{U} \) sobre \( \mathscr{U} \) (en \( \text{ZF} \)) en el sentido en que:

\( \forall x \exists ! y \Phi(x,y) \land \forall y \exists ! x \Phi(x,y) \)

y se nota \( \in' \) a la relación binaria sobre \( \mathscr{U} \) definida por: \( y\in' x \) sii \( y\in \Phi(x) \) (\( x,y\in\mathscr{U} \))

No entiendo por qué en el enunciado hacen este batiburrillo con las notaciones. Podrían llamar, no sé, \( \phi(x, y) \) a la relación binaria que realiza una biyección de \( \mathscr{U} \) en \( \mathscr{U} \), y luego llamar \( \Phi \colon \mathscr{U} \longrightarrow \mathscr{U} \) a dicha biyección.

Comencemos:

Voy a poner aquí los axiomas de \( \text{ZF}^{-} \) relativizadas a \( (\mathscr{U}, \in^\prime) \):
(ext) \( \forall a\forall b(\forall x(x\in \Phi(a) \Leftrightarrow x\in \Phi(b)) \Rightarrow a=b) \)
(com) \( \forall \vec{z} \forall a \exists b \forall x(x\in \Phi(b) \Leftrightarrow x\in \Phi(a) \land \psi'(x,\vec{z})) \)
(\( \cup \)) \( \forall a\exists b \forall x(x\in \Phi(b) \Leftrightarrow \exists y\in \Phi(a) \ x\in \Phi(y)) \)
(\( \mathfrak{P} \)) \( \forall a\exists b \forall x(x\in \Phi(b) \Leftrightarrow \forall y(y\in \Phi(x) \Rightarrow y\in \Phi(a))) \)
(inf) \( \exists a(\exists x\in \Phi(a) \forall z ( z \not\in \Phi(x))\land \forall x\in \Phi(a) \exists y\in \Phi(a) \forall z(z\in \Phi(y) \Leftrightarrow z\in \Phi(x)\lor z=x)) \)
(rpl) \( \forall \vec{z} \forall a(\forall x\in \Phi(a) \exists ! y \psi'(x,y,\vec{z}) \Rightarrow \exists b \forall x\in \Phi(a) \exists y\in \Phi(b) \psi'(x,y,\vec{z})) \)

Los axiomas que has probado hasta ahora están bien. Te ayudo con el resto:

Para el axioma de partes, fíjate que puedes ponerlo así:

\( \forall a\exists b \forall x(x\in \Phi(b) \Leftrightarrow \Phi(x) \in \mathfrak{P}\Phi(a)). \)

¿Cuánto te da \( b \)?

Sólo nos queda el axioma de infinitud. La fórmula \( \exists x\in \Phi(a) \forall z ( z \not\in \Phi(x)) \) dice, básicamente, que \( \Phi^{-1}(\emptyset) \in \Phi(a) \), y la fórmula

\( \forall x\in \Phi(a) \exists y\in \Phi(a) \forall z(z\in \Phi(y) \Leftrightarrow z\in \Phi(x)\lor z=x) \)

equivale a esta otra:

\( \forall x\in \Phi(a) \exists y\in \Phi(a) (\Phi(y) = \Phi(x) \cup \{x\}) \),

o lo que es lo mismo,

\( \forall x(x \in \Phi(a) \Rightarrow \Phi^{-1}(\Phi(x) \cup \{x\}) \in \Phi(a)) \).

Por tanto, lo que tienes que probar es esta fórmula:

\( \exists a (\Phi^{-1}(\emptyset) \in \Phi(a) \land \forall x(x \in \Phi(a) \Rightarrow \Phi^{-1}(\Phi(x) \cup \{x\}) \in \Phi(a))) \).

Por la biyección de \( \Phi \colon \mathscr{U} \longrightarrow \mathscr{U} \), la anterior equivale a

\( \exists c (\Phi^{-1}(\emptyset) \in c \land \forall x(x \in c \Rightarrow \Phi^{-1}(\Phi(x) \cup \{x\}) \in c)) \).

¿Qué \( c \) puedes tomar?

[Carlos Ivorra]

He movido el hilo al subforo de Teoría de Conjuntos.

¡Otro ejercicio de forcing!

Hombre, una cosa es que estés estudiando una asignatura cuyo objetivo sea exponer el forcing, y otra que esto sea un ejercicio de forcing. Nada de lo que has planteado en los últimos hilos tiene nada que ver con el forcing. Obviamente este comentario es irrelevante, pero no está de más que seas consciente de ello.

Aquí tenemos la "pertenencia" cambiada así que todas esas geniales simplificaciones de las relativizaciones de axiomas a clases transitivas las tenemos que tirar por la ventana .

Sólo hay una cosa que no necesitas tirar por la ventana: usando la versión (2) del axioma de reemplazo, puedes probar su relativización prácticamente con el mismo esfuerzo que has empleado para probar la versión (1). Uniendo eso a que se cumple la relativización de la existencia del conjunto vacío, te puedes ahorrar una vez más comprobar el axioma de especificación.

Con las indicaciones que te ha dado Guli-Guli deberían salirte los axiomas que te faltan. Si no es así, dilo.

Para el axioma de elección que te piden en el punto (2) conviene elegir una buena forma equivalente lo más simple posible desde un punto de vista sintáctico. Yo te sugeriría que probaras la relativización de que, dado un conjunto formado por conjuntos no vacíos disjuntos dos a dos, existe un conjunto que contiene un único elemento de cada conjunto. Eso te evitará tener que relativizar pares ordenados, y cosas así.

En algún momento en clase como sugerencia dijeron de considerar un cierto "mapa" \( \mathscr{U}\to \mathscr{U} \) que se podía definir por \( \in \)-recursión de forma que a cada \( x \) le asociemos un \( x' \) que era como aplicar recursivamente la \( \Phi \) (o algo así, no recuerdo con exactitud), tal vez por ahí puedan salir los dos axiomas que me faltan (asumiendo que lo demás esta correcto).

Pues no sé si se referirían a esto:

Define \( H: V\longrightarrow V \) mediante \( H(y) = \Phi^{-1}(\{H(x)\mid x\in y\}) \). Esto es una definición correcta por \( \in \)-recursión, ya que estás definiendo \( H(y) \) supuesto definido \( H(x) \) para todo \( x\in y \).

Probamos que \( H \) es inyectiva. Para ello probaremos

\( \forall y(\forall z(H(y)=H(z)\rightarrow y = z)) \)

por \( \in \)-inducción sobre \( y \). Esto significa que suponemos que todo \( x\in y \) cumple

\( \forall z(H(x)=H(z)\rightarrow x = z) \)

y vamos a ver que lo mismo vale para \( y \). Para ello tomamos un \( z \) tal que \( H(y) = H(z) \) y vamos a ver que \( y = z \).

Tenemos que \( \Phi^{-1}(\{H(x)\mid x\in y\}) = \Phi^{-1}(\{H(x)\mid x\in z\}) \), luego \( \{H(x)\mid x\in y\} = \{H(x)\mid x\in z\} \).

Ahora, si \( x\in y \), tenemos que \( H(x)\in \{H(x)\mid x\in y\} = \{H(x)\mid x\in z\} \), luego existe un \( x^*\in z \) tal que \( H(x) = H(x^*) \), y ahora aplicamos la hipótesis de inducción a\( x \) (particularizando el \( \forall z \) a \( x^* \)), con lo que concluimos que \( x = x^*\in z \).

Recíprocamente si \( x\in z \), tenemos igualmente que existe un \( x^*\in y \) tal que  \( H(x) = H(x^*) \), y aplicamos la hipótesis de inducción a \( x^* \), lo que nos da que \( x = x^*\in y \). Esto prueba que \( y = z \) y tenemos que \( H \) es inyectiva.

Ahora observamos que \( \Phi(H(y)) = \{H(x)\mid x\in y\} \), y la inyectividad de \( H \) nos da que \( x\in y\leftrightarrow H(x)\in \Phi(H(y)) \).

En efecto, si \( x\in y \), tenemos que \( H(x)\in \Phi(H(y)) \) y, recíprocamente, si \( H(x)\in \Phi(H(y)) \), existe un \( x^*\in y \) tal que \( H(x) = H(x^*) \), luego \( x=x^*\in y \).

Equivalentemente, tenemos que \( x\in y \leftrightarrow H(x) \in' H(y) \).

Esto prueba que \( V \) con la pertenencia usual es isomorfa a una subclase de \( V \) con la pertenencia \( \in' \) (la clase de los conjuntos regulares, que con la nueva relación de pertenencia no son todos), pero no estoy muy seguro de la utilidad que tiene esto. Ciertamente, se puede usar para probar el axioma de infinitud viendo que \( H(\omega) \) cumple lo requerido, pero también se puede hacer como te ha indicado Guli-Guli, y no le veo la ventaja a esto.

[franma]

Hola a todos,

Nuevamente perdón por la tardanza en mi respuesta. Estuve ocupado con otras cosas de la facultad (y la vida).

He movido el hilo al subforo de Teoría de Conjuntos.

Gracias, no me di cuenta en que subforo estaba al momento de crear el hilo.

Hombre, una cosa es que estés estudiando una asignatura cuyo objetivo sea exponer el forcing, y otra que esto sea un ejercicio de forcing. Nada de lo que has planteado en los últimos hilos tiene nada que ver con el forcing. Obviamente este comentario es irrelevante, pero no está de más que seas consciente de ello.

Claro Carlos, tengo totalmente presente que estos ejercicios no son en si de lo que se conoce como Forcing, solamente pertenecen a una asignatura que se llama Forcing jeje.

Sólo hay una cosa que no necesitas tirar por la ventana: usando la versión (2) del axioma de reemplazo, puedes probar su relativización prácticamente con el mismo esfuerzo que has empleado para probar la versión (1). Uniendo eso a que se cumple la relativización de la existencia del conjunto vacío, te puedes ahorrar una vez más comprobar el axioma de especificación.

De acuerdo.

Bien, ahora veamos si puedo terminar con los axiomas que faltaron:

(partes) Fíjate que puedes ponerlo así:

\( \forall a\exists b \forall x(x\in \Phi(b) \Leftrightarrow \Phi(x) \in \mathfrak{P}\Phi(a)). \)

¿Cuánto te da \( b \)?

Si no me equivoco quedaría \( b := \Phi^{-1}(\Phi^{-1}(\mathfrak{P}\Phi(a))) \) ya que en este caso \( x\in \Phi(b) \) si y sólo si \( x\in \Phi^{-1}(\mathfrak{P}\Phi(a)) \) si y sólo si \( \Phi(x) \in \mathfrak{P}\Phi(a) \)

(infinitud) La fórmula \( \exists x\in \Phi(a) \forall z ( z \not\in \Phi(x)) \) dice, básicamente, que \( \Phi^{-1}(\emptyset) \in \Phi(a) \), y la fórmula

\( \forall x\in \Phi(a) \exists y\in \Phi(a) \forall z(z\in \Phi(y) \Leftrightarrow z\in \Phi(x)\lor z=x) \)

equivale a esta otra:

\( \forall x\in \Phi(a) \exists y\in \Phi(a) (\Phi(y) = \Phi(x) \cup \{x\}) \),

o lo que es lo mismo,

\( \forall x(x \in \Phi(a) \Rightarrow \Phi^{-1}(\Phi(x) \cup \{x\}) \in \Phi(a)) \).

Por tanto, lo que tienes que probar es esta fórmula:

\( \exists a (\Phi^{-1}(\emptyset) \in \Phi(a) \land \forall x(x \in \Phi(a) \Rightarrow \Phi^{-1}(\Phi(x) \cup \{x\}) \in \Phi(a))) \).

Por la biyección de \( \Phi \colon \mathscr{U} \longrightarrow \mathscr{U} \), la anterior equivale a

\( \exists c (\Phi^{-1}(\emptyset) \in c \land \forall x(x \in c \Rightarrow \Phi^{-1}(\Phi(x) \cup \{x\}) \in c)) \).

¿Qué \( c \) puedes tomar?

A ver, me veo tentado nuevamente a tomar \( c : = \Phi^{-1}(\omega) \). Veamos si funciona:

• Como \( \Phi(\Phi^{-1}(\emptyset)) = \emptyset \in \omega \) tenemos que \( \Phi^{-1}(\emptyset) \in c \)
• Si \( x\in c \) entonces \( \Phi(x)\in \omega \) y por lo tanto \( \Phi(x)\cup \{\Phi(x)\} \in \omega \) luego tenemos que \( \Phi^{-1}(\Phi(x)\cup \{\Phi(x)\})\in c \) y esto no es lo que queríamos

Aquí me tranque nuevamente, no se me ocurre que otro \( c \) podríamos tomar.

Para el axioma de elección que te piden en el punto (2) conviene elegir una buena forma equivalente lo más simple posible desde un punto de vista sintáctico. Yo te sugeriría que probaras la relativización de que, dado un conjunto formado por conjuntos no vacíos disjuntos dos a dos, existe un conjunto que contiene un único elemento de cada conjunto. Eso te evitará tener que relativizar pares ordenados, y cosas así.

Si no me equivoco se escribiría así:

\( AC \equiv \forall x(\forall y\in x(y \neq \emptyset) \land \forall y,z\in x(y\cap z = \emptyset) \Rightarrow \exists b(\forall y\in x \exists ! z\in y (z\in b)) \)

¿esta bien? En ese caso intentare ver si puedo probar la relativización.

(...)
Esto prueba que \( V \) con la pertenencia usual es isomorfa a una subclase de \( V \) con la pertenencia \( \in' \) (la clase de los conjuntos regulares, que con la nueva relación de pertenencia no son todos), pero no estoy muy seguro de la utilidad que tiene esto. Ciertamente, se puede usar para probar el axioma de infinitud viendo que \( H(\omega) \) cumple lo requerido, pero también se puede hacer como te ha indicado Guli-Guli, y no le veo la ventaja a esto.

Efectivamente era eso, lo siento que hayas hecho todo el desarrollo si no era de mucha utilidad Lo mencione porque recuerdo haber escuchado eso como sugerencia en clase (y tal vez servía para algo).

Saludos,
Franco.

[Carlos Ivorra]

(partes) Fíjate que puedes ponerlo así:

\( \forall a\exists b \forall x(x\in \Phi(b) \Leftrightarrow \Phi(x) \in \mathfrak{P}\Phi(a)). \)

¿Cuánto te da \( b \)?

Si no me equivoco quedaría \( b := \Phi^{-1}(\Phi^{-1}(\mathfrak{P}\Phi(a))) \) ya que en este caso \( x\in \Phi(b) \) si y sólo si \( x\in \Phi^{-1}(\mathfrak{P}\Phi(a)) \) si y sólo si \( \Phi(x) \in \mathfrak{P}\Phi(a) \)

Correcto.

(infinitud) La fórmula \( \exists x\in \Phi(a) \forall z ( z \not\in \Phi(x)) \) dice, básicamente, que \( \Phi^{-1}(\emptyset) \in \Phi(a) \), y la fórmula

\( \forall x\in \Phi(a) \exists y\in \Phi(a) \forall z(z\in \Phi(y) \Leftrightarrow z\in \Phi(x)\lor z=x) \)

equivale a esta otra:

\( \forall x\in \Phi(a) \exists y\in \Phi(a) (\Phi(y) = \Phi(x) \cup \{x\}) \),

o lo que es lo mismo,

\( \forall x(x \in \Phi(a) \Rightarrow \Phi^{-1}(\Phi(x) \cup \{x\}) \in \Phi(a)) \).

Por tanto, lo que tienes que probar es esta fórmula:

\( \exists a (\Phi^{-1}(\emptyset) \in \Phi(a) \land \forall x(x \in \Phi(a) \Rightarrow \Phi^{-1}(\Phi(x) \cup \{x\}) \in \Phi(a))) \).

Por la biyección de \( \Phi \colon \mathscr{U} \longrightarrow \mathscr{U} \), la anterior equivale a

\( \exists c (\Phi^{-1}(\emptyset) \in c \land \forall x(x \in c \Rightarrow \Phi^{-1}(\Phi(x) \cup \{x\}) \in c)) \).

¿Qué \( c \) puedes tomar?

A ver, me veo tentado nuevamente a tomar \( c : = \Phi^{-1}(\omega) \). Veamos si funciona:

No, eso no funciona. Necesitas un conjunto \( c \) que tenga la propiedad de que \( \Phi^{-1}(\emptyset)\in c \) y que, si \( x\in c \), también \( \Phi^{-1}(\Phi(x) \cup \{x\})\in c \). Para eso te lo has de construir a medida. Define recurrentemente \( f: \omega\longrightarrow V \) mediante

\( f(0) = \Phi^{-1}(\emptyset)\qquad f(n+1) = \Phi^{-1}(\Phi(f(n)) \cup \{f(n)\}) \).

El conjunto \( c = f[\omega] \) cumple lo requerido.

Para el axioma de elección que te piden en el punto (2) conviene elegir una buena forma equivalente lo más simple posible desde un punto de vista sintáctico. Yo te sugeriría que probaras la relativización de que, dado un conjunto formado por conjuntos no vacíos disjuntos dos a dos, existe un conjunto que contiene un único elemento de cada conjunto. Eso te evitará tener que relativizar pares ordenados, y cosas así.

Si no me equivoco se escribiría así:

\( AC \equiv \forall x(\forall y\in x(y \neq \emptyset) \land \forall y,z\in x(y\cap z = \emptyset) \Rightarrow \exists b(\forall y\in x \exists ! z\in y (z\in b)) \)

¿esta bien? En ese caso intentare ver si puedo probar la relativización.

Está bien.

(...)
Esto prueba que \( V \) con la pertenencia usual es isomorfa a una subclase de \( V \) con la pertenencia \( \in' \) (la clase de los conjuntos regulares, que con la nueva relación de pertenencia no son todos), pero no estoy muy seguro de la utilidad que tiene esto. Ciertamente, se puede usar para probar el axioma de infinitud viendo que \( H(\omega) \) cumple lo requerido, pero también se puede hacer como te ha indicado Guli-Guli, y no le veo la ventaja a esto.

Efectivamente era eso, lo siento que hayas hecho todo el desarrollo si no era de mucha utilidad Lo mencione porque recuerdo haber escuchado eso como sugerencia en clase (y tal vez servía para algo).

Pues la verdad es que no me di cuenta hasta que ya lo había hecho de que en realidad no aportaba mucho. Aunque, no sé. Si tu profesor lo mencionó, supongo que sería para algo. Igual lo quiere usar más adelante para algo. Los modelos con átomos son muy interesantes porque permiten construir con relativa facilidad modelos en los que falla el axioma de elección (aunque tambien el axioma de fundación). Pero luego, mediante forcing, los modelos construidos así se pueden transformar en modelos en los que falla igualmente el axioma de elección, pero que cumplen también el axioma de fundación.

[franma]

No, eso no funciona. Necesitas un conjunto \( c \) que tenga la propiedad de que \( \Phi^{-1}(\emptyset)\in c \) y que, si \( x\in c \), también \( \Phi^{-1}(\Phi(x) \cup \{x\})\in c \). Para eso te lo has de construir a medida. Define recurrentemente \( f: \omega\longrightarrow V \) mediante

\( f(0) = \Phi^{-1}(\emptyset)\qquad f(n+1) = \Phi^{-1}(\Phi(f(n)) \cup \{f(n)\}) \).

El conjunto \( c = f[\omega] \) cumple lo requerido.

Muy claro.

(...)
Está bien.

Bien, entonces vamos con el apartado (2), la relativización de AC queda:

\( AC' \equiv [\forall x(\forall y\in x(y \neq \emptyset) \land \forall y,z\in x(y\cap z = \emptyset) \Rightarrow \exists b(\forall y\in x \exists ! z\in y (z\in b))]' \equiv \forall x(\forall y\in \Phi(x)(y \neq \Phi^{-1}(\emptyset)) \land \forall y,z\in \Phi(x)(y\cap' z = \Phi^{-1}(\emptyset)) \Rightarrow \exists b(\forall y\in \Phi(x) \exists ! z\in \Phi(y) (z\in \Phi(b))) \)

Entonces dado \( x \) tal que:
- para todo \( y \in \Phi(x) \) se tiene que \( y \neq \Phi^{-1}(\emptyset) \)
- para todos \( x,y\in \Phi(x) \) se tiene que \( y \cap' z = \Phi^{-1}(\emptyset) \), es decir, \( \Phi(y)\cap \Phi(z) = \Phi^{-1}(\emptyset) \).
debemos encontrar un \( b \) tal que para todo \( y \in\Phi(x) \) existe único \( z\in \Phi(y) \) tal que \( z\in \Phi(b) \)

 Intento Fallido

Intentemos ver si con nuestras hipótesis podemos probar que \( X = \Phi[\Phi(x)] \) esta en las hipótesis de nuestro enunciado de elección:
- si \( y\in X \) entonces existe \( z\in \Phi(x) \) tal que \( y = \Phi(z) \) luego por hipótesis \( z \neq \Phi^{-1}(\emptyset) \) y por lo tanto \( y=\Phi(y')\neq \emptyset \)
- si \( y,z\in X \) entonces existen \( u,v \in \Phi(x) \) tales que \( y=\Phi(u) \) y \( z = \Phi(v) \) luego por hipótesis \( \Phi(u)\cap\Phi(v)=\Phi^{-1}(\emptyset) \) ... 

[cerrar]

Aquí no logro ver cual es el "truquillo" para conseguir el conjunto buscado

(...) Los modelos con átomos son muy interesantes porque permiten construir con relativa facilidad modelos en los que falla el axioma de elección (aunque también el axioma de fundación). Pero luego, mediante forcing, los modelos construidos así se pueden transformar en modelos en los que falla igualmente el axioma de elección, pero que cumplen también el axioma de fundación.

Hay ejercicios (luego de este) que se tratan justamente de eso, construir modelos (utilizando este ejercicio) en donde falle el axioma de elección.

Saludos,
Franco.

[Carlos Ivorra]

Bien, entonces vamos con el apartado (2), la relativización de AC queda:

\( AC' \equiv [\forall x(\forall y\in x(y \neq \emptyset) \land \forall y,z\in x(y\cap z = \emptyset) \Rightarrow \exists b(\forall y\in x \exists ! z\in y (z\in b))]' \equiv \forall x(\forall y\in \Phi(x)(y \neq \Phi^{-1}(\emptyset)) \land \forall y,z\in \Phi(x)(y\cap' z = \Phi^{-1}(\emptyset)) \Rightarrow \exists b(\forall y\in \Phi(x) \exists ! z\in \Phi(y) (z\in \Phi(b))) \)

Entonces dado \( x \) tal que:
- para todo \( y \in \Phi(x) \) se tiene que \( y \neq \Phi^{-1}(\emptyset) \)
- para todos \( x,y\in \Phi(x) \) se tiene que \( y \cap' z = \Phi^{-1}(\emptyset) \), es decir, \( \Phi(y)\cap \Phi(z) = \Phi^{-1}(\emptyset) \).

No. Esto no está bien. Es \( \Phi^{-1}(\Phi(y)\cap \Phi(z)) = \Phi^{-1}(\emptyset) \), que equivale a que \( \Phi(y)\cap \Phi(z)=\emptyset \).

Las hipótesis son que todo \( y\in \Phi(x) \) cumple \( \Phi(y)\neq \emptyset \) y que si \( y, z\in \Phi(x) \), entonces \( \Phi(y)\cap \Phi(z)=\emptyset \). En otras palabras, tienes que el conjunto \( x' = \{\Phi(y)\mid y\in \Phi(x)\} \) es una familia de conjuntos no vacíos disjuntos dos a dos.

Y tienes que encontrar un conjunto \( b \) tal que \( \Phi(b) \) contenga exactamente un elemento de cada \( \Phi(y) \) con \( y\in \Phi(x) \), es decir, tal que \( \Phi(b) \) contenga exactamente un elemento de cada elemento de \( x' \).

[franma]

No. Esto no está bien. Es \( \Phi^{-1}(\Phi(y)\cap \Phi(z)) = \Phi^{-1}(\emptyset) \), que equivale a que \( \Phi(y)\cap \Phi(z)=\emptyset \).

Creo que ya encontré mi error, es porque al aplicar comprensión debemos tomar \( \Phi^{-1} \) del conjunto obtenido por comprensión normal, ¿no?
Yo pensaba que \( y\cap ' z = \{ x : x\in' y\land x \in ' z\}=\{x : x\in \Phi(y) \land x \in \Phi(z)\} \) pero en realidad es \( y\cap ' z = \Phi^{-1}(\{ x : x\in' y\land x \in ' z\}) \).

Las hipótesis son que todo \( y\in \Phi(x) \) cumple \( \Phi(y)\neq \emptyset \) y que si \( y, z\in \Phi(x) \), entonces \( \Phi(y)\cap \Phi(z)=\emptyset \). En otras palabras, tienes que el conjunto \( x' = \{\Phi(y)\mid y\in \Phi(x)\} \) es una familia de conjuntos no vacíos disjuntos dos a dos.

Bien, eso es lo que intente probar en mi spoiler pero como tenía mal lo anterior no me salía.

Y tienes que encontrar un conjunto \( b \) tal que \( \Phi(b) \) contenga exactamente un elemento de cada \( \Phi(y) \) con \( y\in \Phi(x) \), es decir, tal que \( \Phi(b) \) contenga exactamente un elemento de cada elemento de \( x' \).

Por elección existe \( d \) tal que contiene un elemento de cada elemento de \( x' \) luego podemos tomar \( b : =\Phi^{-1}(d) \) y lo tendríamos, ¿no?

[Carlos Ivorra]

Por elección existe \( d \) tal que contiene un elemento de cada elemento de \( x' \) luego podemos tomar \( b : =\Phi^{-1}(d) \) y lo tendríamos, ¿no?

Eso es.

[franma]

Bien Carlos, entonces continuo con el apartado (3).

Tenemos que probar que con \( \Phi(x,y) : \equiv (x=0 \land y=1) \lor (x=1 \land y=0) \lor (x\not\in \{0,1\} \land y=x) \) se tiene que \( (\mathscr{U},\in')\models \text{existe un átomo} \), más específicamente (por la sugerencia) debemos ver que:

\( (\mathscr{U},\in')\models 0\text{ es un átomo} \)

es decir que:

\( (\mathscr{U},\in')\models 0 = \{0\} \)

Entonces consideremos la relativización de \( 0 = \{0\} \) que nos queda \( 0 = \{0\}' \) y como vimos al probar el axioma del par esto es lo mismo que \( 0 = \Phi^{-1}(\{0\}) = \Phi^{-1}(1) = 0 \) que es trivialmente cierto luego tenemos lo buscado.
Ahora el apartado (4) es claro pues tenemos que \( \text{ZF}^- \vdash (V,\in) \models \text{ZF} \) y además que \( \text{ZF}^- \vdash (V,\in) \models \text{ZF}^{-} + \text{ existe un átomo} \) luego tenemos modelos (clase) con y sin átomos y por lo tanto "existe un átomo" es independiente de \( \text{ZF}^{-} \)

Para el apartado (5) estuve intentando pensar algo similar a la \( \Phi \) del apartado (3), es decir cambiando \( n \) y \( \{n\} \) y dejando el resto de elementos sin modificar pero no se como probar la relativización, me mareo al momento de elegir el conjunto \( A \). ¿Me podrían dar alguna indicación?

Saludos,
Franco.