[Chandra]

Tengo una duda con el siguiente problema:
En un colegio, los alumnos de los cursos A y B de tercer año del polimodal se tienen que reunir con el rector para organizar las condiciones del viaje de egresados. Para no reunirse con todos los alumnos juntos, el rector decidió hacerlo con una comisión formada por 5 de esos alumnos. Si el curso A tiene 20 alumnos y el B tiene 30 alumnos, y entre los 5 alumnos debe haber por lo menos un representante de cada curso, ¿Cuál es la probabilidad de que, eligiendo al azar entre todos los alumnos de dichos cursos, la comisión esté integrada por más alumnos del curso B que del A?

Intento plantearlo con la regla de Laplace de casos favorables sobre casos posibles. Teniendo en cuenta las restricciones que se ponen a las comisiones, ¿debería descontar en los casos posibles las combinaciones donde son todos del curso A o todos del curso B, o debería seguir considerando esas combinaciones?

[ani_pascual]

Hola:

...
¿Cuál es la probabilidad de que, eligiendo al azar entre todos los alumnos de dichos cursos, la comisión esté integrada por más alumnos del curso B que del A?

Intento plantearlo con la regla de Laplace de casos favorables sobre casos posibles.
...

Teniendo en cuenta las restricciones que se ponen a las comisiones, ¿debería descontar en los casos posibles las combinaciones donde son todos del curso A o todos del curso B, o debería seguir considerando esas combinaciones?

Diría que sí, que deberías descontarlas de los casos posibles . Creo que vas bien...
Si no me he equivocado...

Spoiler

\( \dfrac{\left(\begin{array}{c}20\\1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}30\\4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}20\\2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}30\\3\end{array}\right)}{\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}50\\5\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}20\\5\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}30\\5\end{array}\right)}}=\textcolor{red}{0,6729567767436\ldots} \)
Corregido. A veces, más que publicar lo que hago  es precipitar, sorry 

[cerrar]

Corregida la corrección. Gracias Guli-Guli, delmar y Juan Pablo Sancho
Lo curioso es que, aunque inicialmente planteé mal las cuentas, sin embargo, el inconsciente me indujo a escribir que había que descontar de los casos posibles los casos en que había cinco alumnos de un mismo grupo, tal y como intuía Chandra.  De nuevo, como en el caso del problema de ABAU, la probabilidad condicionada aparece un poco oculta 
Saludos

[Guli-Guli]

Intento plantearlo con la regla de Laplace de casos favorables sobre casos posibles. Teniendo en cuenta las restricciones que se ponen a las comisiones, ¿debería descontar en los casos posibles las combinaciones donde son todos del curso A o todos del curso B, o debería seguir considerando esas combinaciones?

Sí, hay que descontarlas. Piensa que los casos posibles serían todas las combinaciones de cinco de los 50 alumnos en la comisión donde deber haber, por lo menos, un alumno en cada curso. Para ello, se descartan las combinaciones de cinco de los 20 alumnos del curso A y los cinco de los 30 del B.
Al final resulta que lo dije bien al principio. Cosas de la vida.

No se puede descartar nada en los casos posibles por el tema de equiprobabilidad para poder aplicar la regla de Laplace. Sí se descarta en los favorables, cuando no se considera el caso donde haya todos los alumnos del curso B en la comisión (que obviamente hay más que del A).
La supuesta corrección está mal.

[ani_pascual]

Hola:

Sí, hay que descontarlas. Piensa que los casos posibles serían todas las posibles combinaciones de cinco de los 50 alumnos en la comisión donde deber haber, por lo menos, un alumno en cada curso. Para ello, se descartan las combinaciones de cinco de los 20 alumnos del curso A y los cinco de los 30 del B.

Entonces, según esa consideración, ¿lo he resuelto mal en el spoiler?
Saludos

[Guli-Guli]

No, está bien resuelto lo que hiciste tú. Error completamente mío.
Nada, nada.

No obstante, ¿por qué antes del spoiler le dices, entonces, que sí debe descontarlas en los casos posibles si luego en tu solución no lo haces?

[ani_pascual]

Hola:

...
No obstante, ¿por qué antes del spoiler le dices, entonces, que sí debe descontarlas en los casos posibles si luego en tu solución no lo haces?

Pues, sinceramente, porque mal  leí casos posibles pensando que se refería a casos favorables.   
Ahora lo corrijo. Gracias.
Saludos

[Chandra]

Genial. Había llegado a la misma solución que está planteada en el spoiler, pero no estaba del todo seguro de que fuera correcta. Mi duda surgía porque yo pensaba como complementarios a los sucesos "Hay más de B que de A" y a "Hay más de A que de B" (que de hecho, lo son). Entonces al querer hacer la suma entre ambas probabilidades veía que no me daba 1, con lo cual debía haber un error. El tema es que en realidad acá no se está calculando "Hay más de B que de A", acá se está calculando "Hay más de B que de A, pero con por lo menos 1 de A".
¡Muchas gracias por sus respuestas!

[delmar]

Hola

Tengo una duda con el siguiente problema:
En un colegio, los alumnos de los cursos A y B de tercer año del polimodal se tienen que reunir con el rector para organizar las condiciones del viaje de egresados. Para no reunirse con todos los alumnos juntos, el rector decidió hacerlo con una comisión formada por 5 de esos alumnos. Si el curso A tiene 20 alumnos y el B tiene 30 alumnos, y entre los 5 alumnos debe haber por lo menos un representante de cada curso, ¿Cuál es la probabilidad de que, eligiendo al azar entre todos los alumnos de dichos cursos, la comisión esté integrada por más alumnos del curso B que del A?

Intento plantearlo con la regla de Laplace de casos favorables sobre casos posibles. Teniendo en cuenta las restricciones que se ponen a las comisiones, ¿debería descontar en los casos posibles las combinaciones donde son todos del curso A o todos del curso B, o debería seguir considerando esas combinaciones?

Una forma :

Spoiler

No esta muy bien enunciado; pero se entiende que hay alumnos que estudian el curso A y otros que estudian el B,entonces de un total de M=50, hay W=20 que estudian el curso A y se extrae una muestra de tamaño n=5 sin reemplazo, entonces denominando Z al número de estudiantes que cursan A dentro de la muestra, esta es una variable aleatoria hipergeométrica. Las 5-ordenadas formadas por más alumnos de B que de A, se corresponden a \( Z=0, \ Z=1, \ Z=2 \) y se considera como un evento H. Las 5-ordenadas formadas por lo menos por 1 de A y 1 de B, se corresponden con \( Z=1, \ Z=2, \ Z=3, \ Z=4 \) considerando como un evento T, entonces lo que piden es :

\( P(H/T)=\displaystyle\frac{P(H\cap{T})}{P(T)}=\displaystyle\frac{P(Z=1)+P(Z=2)}{P(Z=1)+P(Z=2)+P(Z=3)+P(Z=4)} \)


\( P(z=1)=\displaystyle\frac{\begin{pmatrix}{20}\\{1}\end{pmatrix} \ \begin{pmatrix}{50-20}\\{5-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{50}\\{5}\end{pmatrix}}=0.25868904 \)


\( P(z=2)=\displaystyle\frac{\begin{pmatrix}{20}\\{2}\end{pmatrix} \ \begin{pmatrix}{50-20}\\{5-2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{50}\\{5}\end{pmatrix}}=0.36408088 \)

\( P(z=3)=\displaystyle\frac{\begin{pmatrix}{20}\\{3}\end{pmatrix} \ \begin{pmatrix}{50-20}\\{5-3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{50}\\{5}\end{pmatrix}}=0.23405199 \)

\( P(z=4)=\displaystyle\frac{\begin{pmatrix}{20}\\{4}\end{pmatrix} \ \begin{pmatrix}{50-20}\\{5-4}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{50}\\{5}\end{pmatrix}}=0.06860145 \)


\( P(H/T)=\displaystyle\frac{0.25868904+0.36408088}{0.25868904+0.36408088+0.23405199+0.06860145}=0.67295678 \)

[cerrar]

Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Lo que haría:

Spoiler

De \( A \) hay 20 alumnos y de  \( B \) hay 30 alumnos, tenemos \( |A \cup B| = 50  \) tenemos que el espacio muestral tiene \( \displaystyle M = {50 \choose 5} - {30 \choose 5} - {20 \choose 5} = 1960750 \) elementos
Quito \(  {30 \choose 5} + {20 \choose 5}  \) para que tenga un individuo como mínimo de cada grupo.
Luego la solución sería:
\(  \displaystyle \dfrac{{30 \choose 4} \cdot {20 \choose 1} +  {30 \choose 3} \cdot {20 \choose 2}}{M} = \dfrac{548100 + 771400}{M} =\dfrac{5278}{7843} \sim 0.6729567767  \)

[cerrar]

Que me da lo mismo que delmar.

Editado

Intento plantearlo con la regla de Laplace de casos favorables sobre casos posibles. Teniendo en cuenta las restricciones que se ponen a las comisiones, ¿debería descontar en los casos posibles las combinaciones donde son todos del curso A y todos del curso B?

Si.

[Guli-Guli]

Genial. Había llegado a la misma solución que está planteada en el spoiler, pero no estaba del todo seguro de que fuera correcta. Mi duda surgía porque yo pensaba como complementarios a los sucesos "Hay más de B que de A" y a "Hay más de A que de B" (que de hecho, lo son). Entonces al querer hacer la suma entre ambas probabilidades veía que no me daba 1, con lo cual debía haber un error. El tema es que en realidad acá no se está calculando "Hay más de B que de A", acá se está calculando "Hay más de B que de A, pero con por lo menos 1 de A".
¡Muchas gracias por sus respuestas!

Entonces, según esa consideración, ¿lo he resuelto mal en el spoiler?

Os cito a ambos porque creo que os interesa lo que voy a decir a continuación. ¡Estad atentos!

Le di vueltas a esto y, mirando las respuestas de delmar y Juan Pablo Sancho, creo asegurar que lo que le dije a Chandra al principio sí estuvo bien.

Al principio lo resolví siguiendo la misma idea que dio Juan Pablo Sancho en el spoiler:

Sí, hay que descontarlas. Piensa que los casos posibles serían todas las posibles combinaciones de cinco de los 50 alumnos en la comisión donde deber haber, por lo menos, un alumno en cada curso. Para ello, se descartan las combinaciones de cinco de los 20 alumnos del curso A y los cinco de los 30 del B.

Luego creí que igual no era conveniente descartar los casos posibles por tema de la equiprobabilidad (para usar la regla de Laplace que comentó Chandra). Miré la respuesta de delmar y me recordó el otro hilo que he escrito relacionado con las probabilidades: Modelo ABAU

Allí, me hizo recordar el concepto de probabilidad condicionada. La pregunta que formuló Chandra se puede reescribir de esta forma: "Sabiendo que la comisión debe haber, por lo menos, un alumno del curso A y otro del B, ¿cuál es la probabilidad de que haya más alumnos del curso B que del A?". Formulado así, está claro que el hecho de que imponga ese requisito en la comisión altera las probabilidades. La resolución que hizo delmar me hizo confirmar esto.

En conclusión, mi respuesta sería descontar también los casos posibles, no porque ése sea el espacio muestral en cuestión que los contamos igualmente por equiprobabiliad, sino que tenemos en cuenta que la condición que se impone en la comisión es una información extra que hace que se modifique el espacio muestral, y por tanto se altera la probabilidad en cuestión.

De todas formas, a ver qué opinan delmar y Juan Pablo Sancho de lo que digo aquí.