Antes de nada, te agradecemos el tiempo que tomas en consultar dudas y discrepancias en este foro. Lo digo más que nada porque a mí me daría mucha pereza escribir esas expresiones a \( \LaTeX \).
\(
\displaystyle\frac{\begin{pmatrix}{30}\\{4}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{20}\\{1}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{30}\\{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{20}\\{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{50}\\{5}\end{pmatrix}}+
\displaystyle\frac{\begin{pmatrix}{30}\\{1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{20}\\{4}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{30}\\{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{20}\\{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{50}\\{5}\end{pmatrix}}+
\displaystyle\frac{\begin{pmatrix}{30}\\{5}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{50}\\{5}\end{pmatrix}}+
\displaystyle\frac{\begin{pmatrix}{20}\\{5}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{50}\\{5}\end{pmatrix}}
=1
\)
En la cuenta planteada arriba:
- El 1° término se corresponde con hay más alumnos de la comisión B que de la comisión A (y hay al menos 1 de A).
- El 2° término se corresponde con hay más alumnos de la comisión A que de la comisión B (y al menos 1 de B).
- El 3° término se corresponde con hay 5 alumnos de B.
- El 4° término se corresponde con hay 5 alumnos de A.
La suma de las cuatro probabilidades es igual a 1, cosa que debería ser así porque los 4 sucesos son disjuntos y su unión es igual al espacio muestral.
Retoqué un poco lo que escribiste acá para que pueda ver mejor el mensaje, no hice modificaciones sustanciales que altere lo que querías decir.
Las probabilidades que calculas son correctas, pero no contradice en nada de lo que te hemos dicho. El problema que nos planteaste no pregunta la probabilidad de que haya más alumnos del curso B que del A en la comisión con al menos un alumno de A, sino que nos pregunta la probabilidad de que haya más alumnos del curso B que del A en la comisión
bajo condición de que debe haber un alumno de cada curso.
Esa matiz que subrayo cambia completamente la probabilidad por la que se calcula. Para que entiendas el porqué, observa los dos últimos términos de la suma. Esa suma se corresponde con la probabilidad de que la comisión esté conformada por alumnos de un mismo curso. Sin embargo, si nos dicen que en la comisión debe haber sí o sí uno de cada curso, ¿cuál es la probabilidad de que esté conformada por alumnos de un mismo curso? Obviamente, \( 0 \).
Si estás de acuerdo conmigo en esto, ya refuta tu supuesta nueva descomposición de la probabilidad condicionada:
\(
\displaystyle\frac{\begin{pmatrix}{30}\\{4}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{20}\\{1}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{30}\\{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{20}\\{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{50}\\{5}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}{30}\\{5}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}{20}\\{5}\end{pmatrix}}+
\displaystyle\frac{\begin{pmatrix}{30}\\{1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{20}\\{4}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{30}\\{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{20}\\{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{50}\\{5}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}{30}\\{5}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}{20}\\{5}\end{pmatrix}}+
\textcolor{red}{\displaystyle\frac{\begin{pmatrix}{30}\\{5}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{50}\\{5}\end{pmatrix}}+
\displaystyle\frac{\begin{pmatrix}{20}\\{5}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{50}\\{5}\end{pmatrix}}}
\neq 1
\)
La descomposición tendría que ser ésta:
\(
\displaystyle\frac{\begin{pmatrix}{30}\\{4}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{20}\\{1}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{30}\\{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{20}\\{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{50}\\{5}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}{30}\\{5}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}{20}\\{5}\end{pmatrix}}+
\displaystyle\frac{\begin{pmatrix}{30}\\{1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{20}\\{4}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{30}\\{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{20}\\{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{50}\\{5}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}{30}\\{5}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}{20}\\{5}\end{pmatrix}} = 1
\).
Las probabilidades que corresponden a cada término serían:
- El primer término se corresponde con que hay más alumnos del curso B que del A.
- El segundo término se corresponde con que hay más alumnos del curso A que del B.
De esta forma, salen las cuentas.
(Bueno, mientras escribía se me adelantó
ani_pascual para responder esto.)
No es muy raro que ante una información extra altere el espacio muestral; es muy típico de las probabilidades condicionadas. Cito lo que dije en el mensaje anterior:
En conclusión, mi respuesta sería descontar también los casos posibles, no porque ése sea el espacio muestral en cuestión que los contamos igualmente por equiprobabiliad, sino que tenemos en cuenta que la condición que se impone en la comisión es una información extra que hace que se modifique el espacio muestral, y por tanto se altera la probabilidad en cuestión.
Para que lo entiendas mejor, consideremos un dado (no trucado) y un cubilete. Agito el dado con el cubilete y lo poso en la mesa sin destaparlo. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un 2? Tú me dirás, con toda la razón del mundo, que es \( 1/6 \). Ahora supongamos que yo miro lo que hay dentro del cubilete sin que tú puedas verlo, y te digo que el dado salió par. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un 2? ¿Dirás que es \( 1/6 \) nuevamente, o más acertadamente dirás que es \( 1/3 \)? Obviamente, si sabes que el dado salió par, la probabilidad de que sea 2 debe incrementarse. ¿De dónde viene el cambio en el denominador? ¿Procederá del cambio en el espacio muestral, quizás?
Bueno, espero que se entienda bien lo que te quiero transmitir,
Chandra.
