[FedeFrontera]

Buenos días, primero que nada, agradecerles por la mano que me vienen dando con mi curso de Topología.

Ahora tengo esta duda ¿Las componentes conexas de \( (0,1) \)x\( (0,1) \) con el orden lexicográfico son los intervalos de la forma \( (a,b) \) con \(  a\in{}(0,1) \)x\( (0,1) \) y \(  b\in{}(0,1) \)x\( (0,1) \) verdad?

La definición que tengo que utilizar para justificarlo es:

Llamamos componentes conexas  a las clases de equivalencia de la relación \( x\sim{y}\Longleftrightarrow{}\exists{A}\subset{X} \) conexo, con \( x,y\in{A} \)

Por otro lado me pide probrar que las componentes conexas son siempre cerrados.

Desde ya muchas gracias.
Saludos.

[geómetracat]

Estás confundiendo componente conexa con conjunto conexo. Los intervalos son conjuntos conexos, pero las componentes conexas son los conjuntos conexos maximales (es decir, que no están propiamente contenidos en ningún conjunto conexo mayor). En particular, si un espacio topológico es conexo tiene una única componente conexa (él mismo).

Para ver qué siempre son cerrados tienes que usar el teorema que dice que la clausura de un conjunto conexo es conexa, que probablemente ya te lo hayan demostrado.

[FedeFrontera]

La justificación de que  \( (0,1) \)x\( (0,1) \) es conexo con el orden lexocográfico puede ser que sea debido a que es un conjunto convexo dentro de un conexo  \( [0,1] \)x\( [0,1] \)?

[ani_pascual]

Hola:

La justificación de que  \( (0,1) \)x\( (0,1) \) es conexo con el orden lexocográfico puede ser que sea debido a que es un conjunto convexo dentro de un conexo  \( [0,1] \)x\( [0,1] \)?

No estoy muy seguro, pero me parece que si consideras la aplicación identidad
\( i_d:((0,1)\times (0,1),\tau_p)\longrightarrow ((0,1)\times (0,1),\tau_D) \) donde son \( \tau_p \) la topología producto (la usual de \( (0,1)\times (0,1) \)) y \( \tau_D \) la
topología del Diccionario o del orden lexicográfico, entonces es continua y biyectiva, y como \( ((0,1)\times (0,1),\tau_p) \) es conexo, entonces su imagen es también conexo.
Espero no haber dicho algún gazapo.  A ver que dicen los más entendidos
Añadido
Creo que este argumento no es válido porque la función no es continua. Por ejemplo, si es \( 0<b<c<1 \) y \( 0<a<1 \) entonces \( i_d^{-1}(((a,b),(a,c)))=\{a\}\times (b,c) \) no es un abierto en la topología producto usual. 
Saludos

[Guli-Guli]

La justificación de que  \( (0,1) \)x\( (0,1) \) es conexo con el orden lexocográfico puede ser que sea debido a que es un conjunto convexo dentro de un conexo  \( [0,1] \)x\( [0,1] \)?

No, porque no es cierto que \( ]0, 1[ \;\times\; ]0, 1[ \) es un subconjunto convexo de \( [0, 1] \times [0, 1] \) considerando este último con el orden lexicográfico. Compruébalo tú mismo.

A partir de aquí, voy a llamar \( X := \;]0, 1[ \;\times\; ]0, 1[ \) dotado con la topología del diccionario para no confundir con la topología producto.

Ahora tengo esta duda ¿Las componentes conexas de \( (0,1) \)x\( (0,1) \) con el orden lexicográfico son los intervalos de la forma \( (a,b) \) con \(  a\in{}(0,1) \)x\( (0,1) \) y \(  b\in{}(0,1) \)x\( (0,1) \) verdad?

No. La respuesta a esta pregunta tiene que ver con estudiar la conexión de \( X \), y no sé si intentaste probar que un determinado conjunto es abierto-cerrado que te escribí aquí en el último párrafo: Orden del diccionario

Pues bien, puedes probar también que las fibras \( \{ a \} \;\times\; ]0, 1[ \) de \( X \) son abiertas-cerradas para todo \( a \in \;]0 ,1[ \). Ahora date cuenta de que esas fibras son homeomorfas a \( ]0, 1[ \) por la definición del orden lexicográfico, lo cual implica que todas son conexas.

Si un abierto-cerrado de \( X \) es conexo, necesariamente debe ser una componente conexa. Para demostrar esto usas la definición de componente conexa ofrecida por geómetracat.

Teniendo en cuenta que \( X \) es la unión de todas sus fibras, podemos concluir que los conjuntos \( \{ a \} \;\times\; ]0, 1[ \) con \( a \in \;]0 ,1[ \) son todas las componentes conexas de \( X \).

[FedeFrontera]

Simplemente hermoso, muchas gracias.

Volviendo al otro tema, sobre \( [0,1) \)x\( \mathbb{N} \) con el orden lexicográfico, {0}x\(  [0,1)  \) es un abierto de \( [0,1) \)x\( \mathbb{N} \) ya que lo puedo formar como intervalos de la topologia del lexicográfico intersecado con {0}x\(  [0,1)  \), o sea relativizando?

[Guli-Guli]

Volviendo al otro tema, sobre \( [0,1) \)x\( \mathbb{N} \) con el orden lexicográfico, \( \textcolor{red}{{0} \times [0,1)} \) es un abierto de \( [0,1) \)x\( \mathbb{N} \) ya que lo puedo formar como intervalos de la topologia del lexicográfico intersecado con \( \textcolor{red}{{0} \times [0,1)} \), o sea relativizando?

Aquí te liaste un poco, porque obviamente \( [0, 1[\;\not\subset \mathbb{N} \).

Para no confundir con el producto de dos espacios topológicos, voy a llamar \( Y := [0, 1[ \,\times\, \mathbb{N} \) con la topología del orden. Pues bien, lo que te pedí como ejercicio es que demostraras que \( \{ (0, 0) \} \) es un abierto-cerrado de \( Y \) con el objetivo de probar que \( Y \) no es conexo.

El conjunto \( \{ (0, 0) \} \) es un abierto de \( Y \) porque \( \{ (0, 0) \} =\;]\!-\!\!\infty, (0, 1)[ \), y es un cerrado de \( Y \) porque \( Y \setminus \{ (0, 0) \} =\;](0, 0), +\infty[ \).

[FedeFrontera]

Bueno, ahora me he perdido.... No entiendo la notación {(0,0)}}= \(  ]-\infty, (0,1)[  \)

[Guli-Guli]

Bueno, ahora me he perdido.... No entiendo la notación {(0,0)} = \(  ]-\infty, (0,1)[  \)

Vale, lo aclaro. Para \( y \in Y \), denoto

\( ]-\infty, y[\;:= \{ x \in Y\;|\;x < y \} \),

\( ]y, +\infty[\;:= \{ x \in Y\;|\;x > y \} \)

y también

\( ]-\infty, y]:= \{ x \in Y\;|\;x \leq{} y \} \),

\( [y, +\infty[\;:= \{ x \in Y\;|\;x \geq{} y \} \).

Todos estos intervalos son abiertos. También se usan otras notaciones para esos conjuntos dependiendo de la literatura que consultes.

[FedeFrontera]

Guli - Guli, te agradezco mucho la paciencia. Comprendo lo que me dices, ahora yo veo que \( Y \) somo como un conjunto de palitos acostados y los abiertos de topología del orden lexicográfico son como palitos verticales, se me me dificulta probar utlizando la definición de punto interior ¿me darías una mano con eso?