Vale, ya comprendo. Vayamos al mensaje que me enviaste antes:
Volviendo al otro tema, sobre \( [0,1) \)x\( \mathbb{N} \) con el orden lexicográfico, \( \textcolor{red}{{0} \times [0,1)} \) es un abierto de \( [0,1) \)x\( \mathbb{N} \) ya que lo puedo formar como intervalos de la topologia del lexicográfico intersecado con \( \textcolor{red}{{0} \times [0,1)} \), o sea relativizando?
Lo que está marcado en rojos querías poner, en realidad, el conjunto \( [0, 1[\,\times\,\{ 0 \} \), ¿verdad? Es que, como estaba mal escrito, no sabía qué querías decirme.
Pues en este caso no es cierto que \( [0, 1[\,\times\,\{ 0 \} \) sea un abierto de \( Y \). La razón de ello es que, si bien \( \{ (0, 0) \} \) es un abierto en \( Y \) por lo que te mencioné antes, los otros puntos de \( [0, 1[\,\times\,\{ 0 \} \) no lo son.
Por tanto, si quieres demostrar que \( [0, 1[\,\times\,\{ 0 \} \) no es un abierto de \( Y \), puedes probar que \( [0, 1[\,\times\,\{ 0 \} \) no es un entorno del punto \( (1/2, 0) \) con respecto a \( Y \), por ejemplo. Recuerda que existe una caracterización de los abiertos en términos de entornos: un subconjunto de \( Y \) es abierto si y solo si es entorno de todos sus puntos. Por tanto, si existe un punto por el cual \( [0, 1[\,\times\,\{ 0 \} \) no es entorno, dicho conjunto no puede ser un abierto de \( Y \). Te lo dejo como ejercicio.
Para rematar, te sugiero que no uses la relativización para probar que un conjunto es abierto, ya que no es cierto que un abierto en un subespacio implique que lo sea en el espacio total. Un ejemplo tonto sería tomar el espacio \( T := \{ 0, 1 \} \) con la topología trivial; entonces \( \{ 0 \} \) es un abierto en sí mismo, pero no lo es en \( T \).
