[Eren]

Hola.

En un mensaje anterior (Acciones fieles transitivas) pregunté sobre la necesidad de la hipótesis de que \( G \) fuese un grupo abeliano en la proposición siguiente:

Proposición 1. Si \( G \) es un grupo abeliano, entonces toda acción transitiva fiel es simplemente transitiva.

Parece que esto puede probarse también mediante la observación, hecha más adelante en el libro de donde estoy sacando todo esto, de que si \( G_x \) es el estabilizador de un punto \( x \) y \( g\in G \), entonces

\( G_{g\cdot x} = g G_x g^{-1}.\hspace{8em}\text{(1)} \)

No se ofrece la demostración de ese hecho, pero más abajo comparto mi intento. Sin embargo, primero me interesa comprobar si el uso que hago de la relación (1) es correcta para probar la proposición 1 de antes.

Demostración de la proposición 1: La idea es que, para grupos abelianos, la ecuación (1) nos dice que todo elemento que fije a \( x \) deja fijo también a \( g\cdot x \) para cualquiera que sea el elemento \( g\in G \), pues por la conmutatividad en \( G \) se tiene que \( g G_x g^{-1} = G_x \). Luego, si la acción es transitiva, cualesquiera \( x,y\in X \) quedan fijados por los mismos elementos de \( G \), pues por transitividad \( x = g\cdot y \) para algún \( g\in G \), y así \( G_x = G_{g\cdot y} = G_y \). Por tanto, si \( g\cdot y = y \) para un \( y\in X \) específico, será \( g\cdot x = x \) para todo \( x\in G \), y como la acción es fiel, esto sólo puede ocurrir si \( g = 1_G \). Se deduce de esto que la acción es simplemente transitiva.

¿Es correcto este razonamiento?

Abajo dejo mi demostración de la ecuación (1), porque no aparece en el libro que estoy consultando y, aunque al final resultó una demostración sencilla, me gustaría que alguien le echara un ojo.

Demostración de la ecuación (1)

Sea \( x\in X \) y \( h\in G_x \), de manera que \( h\cdot x = x \). Entonces

\( ghg^{-1}\cdot (g\cdot x) = gh\cdot x = g\cdot x, \)

lo que nos dice que todo elemento de \( gG_x g^{-1} \) fija a a \( g\cdot x \), así que \( gG_x g^{-1} \subseteq G_{g\cdot x} \).

Recíprocamente, si \( k\in G_{g\cdot x} \), tendremos \( k\cdot (g\cdot x) = g\cdot x \). Entonces

\( g^{-1}kg\cdot x = x, \)

o sea que \( g^{-1}kg = h \) para algún \( h\in G_x \), luego \( k \) es de la forma \( k = ghg^{-1} \) (\( h \in H \)), lo que nos dice que \( G_{g\cdot x} \subseteq gG_x g^{-1} \).

[cerrar]

Corregido en base a los señalamientos de geómetracat.

[geómetracat]

Yo lo veo bien. 

Lo único es que ha pasado algo raro aquí:

Entonces

\( g^{-1}kg\cdot x = x \)

para algún \( h\in G \), luego \( k \) es de la forma \( k = ghg^{-1} \)...

Supongo que querías decir algo como:
Entonces

\( g^{-1}kg\cdot x = x \)

luego \( g^{-1}kg=h \) para algún \( h\in {\color{blue}G_x} \), luego \( k \) es de la forma \( k = ghg^{-1} \)...

También, como alternativa, una vez llegas a \( gG_xg^{-1} \subseteq G_{g\cdot x} \), como lo tienes demostrado para todo \( g,x \), puedes acabar aplicándolo a \( g^{-1} \) y \( g\cdot x \), ya que eso te da la inclusión \( g^{-1}G_{g\cdot x}g\subseteq G_{g^{-1}\cdot g\cdot x} = G_x \), de donde \( G_{g\cdot x} \subseteq gG_xg^{-1} \).

[Eren]

Supongo que querías decir algo como:
Entonces

\( g^{-1}kg\cdot x = x \)

luego \( g^{-1}kg=h \) para algún \( h\in {\color{blue}G_x} \), luego \( k \) es de la forma \( k = ghg^{-1} \)...

Gracias, geómetracat. He corregido la redacción extraña que bien supiste completar.

También, como alternativa, una vez llegas a \( gG_xg^{-1} \subseteq G_{g\cdot x} \), como lo tienes demostrado para todo \( g,x \), puedes acabar aplicándolo a \( g^{-1} \) y \( g\cdot x \), ya que eso te da la inclusión \( g^{-1}G_{g\cdot x}g\subseteq G_{g^{-1}\cdot g\cdot x} = G_x \), de donde \( G_{g\cdot x} \subseteq gG_xg^{-1} \).

Qué bonito se ve así. Me agrada más que lo que hice. De nuevo, gracias, y un saludo.