[Eren]

Hola a todos.

En un libro de geometría que estoy intentando leer aparece la proposición siguiente:

Proposición: Si \( G \) es un grupo abeliano, entonces toda acción transitiva fiel es simplemente transitiva.

La definición de acción simplemente transitiva es la siguiente:
Definición: Una acción de \( G \) en \( X \) es simplemente transitiva si para cada \( x,y\in X \) existe un único \( g\in G \) tal que \( g\cdot x = y \).

Sin embargo, no logro entender por qué es necesaria la hipótesis de que \( G \) sea abeliano, pues, a menos que se me esté escapando algo, el resultado es cierto en general: si \( G \) es un grupo cualquiera que actúa de manera fiel y transitiva sobre un conjunto \( X \) y \( x,y\in X \), entonces, por transitividad, existe \( g\in G \) tal que \( g\cdot x = y \). Si fuera el caso que \( g\cdot x = h\cdot x \) para cierto \( h\in G \), entonces \( h^{-1}g\cdot x = x \), y como la acción es fiel, \( h^{-1}g = 1_G \), la identidad de \( G \), o sea que \( g = h \). Por tanto, la acción es simplemente transitiva. ¿En qué estoy fallando con este razonamiento, que no involucra para nada la conmutatividad en \( G \)?

Saludos.

[geómetracat]

Estás confundiendo acción fiel con acción libre. Acción fiel quiere decir que si \( g\cdot x = x \) para todo \( x\in X \), entonces \( g=1_G \). Pero lo que tú tienes es \( g\cdot x = x \) para un \( x \) concreto. De ahí no puedes deducir \( g=1_G \), a no ser que la acción sea libre.

De hecho el resultado es falso para grupos no abelianos. Por ejemplo, sea \( X = \{1,2,3\} \) y considera la acción de \( S_3 \) en \( X \) por permutaciones. Esta acción es transitiva y fiel, pero no es simplemente transitiva pues \( (1 2) \cdot 1 =2 = (1 2 3)\cdot 1 \).

Te dejo pensar la demostración correcta, pero si no te sale dilo y la pongo.

[Eren]

Hola geómetracat.

Gracias por indicarme la confusión. En efecto, perdí de vista que en ningún momento estamos diciendo que \( h^{-1}g\cdot x = x \) para todo \( x\in X \), y el ejemplo que dejaste con \( S_3 \) es muy aclarador.

Aquí un intento de la demostración: sea \( \Phi \) una acción transitiva y fiel de \( G \) en \( X \), y supongamos que \( g\cdot y = h\cdot y \) para ciertos \( g,h\in G \). Entonces, para todo \( x\in X \) tendremos \( h^{-1}g\cdot x = x \), pues si \( x \) es cualquier elemento de \( X \), poniendo \( x = a\cdot y \) con \( a\in G \) (lo cual es posible por la transitividad de la acción) encontramos que

        \[
  g\cdot x
  = g\cdot(a\cdot y)
  = ga\cdot y
  = ag\cdot y
  = a\cdot(g\cdot y)
  = a\cdot(h\cdot y)
  = ah\cdot y
  = ha\cdot y
  = h\cdot(a\cdot y)
  = h\cdot x,
\]

lo que equivale a que \( h^{-1}gx = x \). Puesto que la acción es fiel, debe ser \( h^{-1}g = 1_G \), luego \( h = g \).

[geómetracat]

Hola geómetracat.

Gracias por indicarme la confusión. En efecto, perdí de vista que en ningún momento estamos diciendo que \( h^{-1}g\cdot x = x \) para todo \( x\in X \), y el ejemplo que dejaste con \( S_3 \) es muy aclarador.

Aquí un intento de la demostración: sea \( \Phi \) una acción transitiva y fiel de \( G \) en \( X \), y supongamos que \( g\cdot y = h\cdot y \) para ciertos \( g,h\in G \). Entonces, para todo \( x\in X \) tendremos \( h^{-1}g\cdot x = x \), pues si \( x \) es cualquier elemento de \( X \), poniendo \( x = a\cdot y \) con \( a\in G \) (lo cual es posible por la transitividad de la acción) encontramos que

        \[
  g\cdot x
  = g\cdot(a\cdot y)
  = ga\cdot y
  = ag\cdot y
  = a\cdot(g\cdot y)
  = a\cdot(h\cdot y)
  = ah\cdot y
  = ha\cdot y
  = h\cdot(a\cdot y)
  = h\cdot x,
\]

lo que equivale a que \( h^{-1}gx = x \). Puesto que la acción es fiel, debe ser \( h^{-1}g = 1_G \), luego \( h = g \).

Ahora sí.