Hola
Veo que se ha considerado al eje X, como la vertical que pasa por el centro de la elipse, positivo hacia arriba y el eje Y la horizontal, positivo hacia la derecha; no he hecho las cuentas pero la ecuación a la que se ha llegado no facilita el despeje ni la integración.
Propongo eje X, horizontal, positivo hacia la derecha , eje Y vertical, positivo hacia arriba, origen de coordenadas centro de la elipse, en esas condiciones la ecuación de la elipse es :
\( \displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1 \)
El plano tendrá como ecuación \( x=a/2 \)
El volumen a calcular es simétrico respecto al plano coordenado XZ, en consecuencia basta hallar el volumen cuya proyección esta en el primer cuadrante y multiplicarlo por 2
La región de integración se puede definir por \( R=\left\{{(x,y) \ / \ 0 \leq{y}\leq{\displaystyle\frac{b\sqrt[ ]{3}}{2}\wedge a/2 \leq{x}\leq{\sqrt[ ]{1-\displaystyle\frac{y^2}{b^2}}}} }\right\} \) observa que \( \frac{b\sqrt[ ]{3}}{2}=y(a/2) \)
Ahora la idea es determinar el valor de z del punto del cilindro cuya proyección es un punto \( (x,y,0)\in{R} \) este punto se corresponde con un punto de la elipse \( (x_0,y_0,0)\Rightarrow{x_0=a\sqrt[ ]{1-\displaystyle\frac{y_0^2}{b^2}}} \) donde \( y=y_0 \) considerando la generatriz que pasa por \( (x_0,y_0,0) \) se tiene la relación \( \displaystyle\frac{z}{x_0-x}=Tg \alpha \) donde \( \alpha=arcsen \displaystyle\frac{b}{a} \) en mi aporte anterior tuve un error, puse arco coseno
Operando se llega a : \( z=(x_0-x) \ Tg \alpha\Rightarrow{z=(a\sqrt[ ]{(1-\displaystyle\frac{y_0^2}{b^2}}-x) \ Tg \alpha} \)
Pero \( y=y_0 \)
\( z=(a\sqrt[ ]{(1-\displaystyle\frac{y^2}{b^2}}-x) \ Tg \alpha \)
Luego :
\( V=2\displaystyle\int_{R}^{}\displaystyle\int_{}^{}z \ dx \ dy \)
Saludos
