Hola:
Pues, me parece que me había equivocado...
Pongo los cálculos con el nuevo resultado, por si algún forista se anima a corregirlo.
Como ya se ha comentado, trasladando el cilindro oblicuo \( d=\frac{a}{2} \) unidades en el sentido positivo del eje \( OY \), la base elíptica del mismo queda centrada en el origen
y el plano vertical que corta la superficie es \( y=d \), siendo la ecuación de su borde \( \dfrac{x^2}{b^2}+\dfrac{y^2}{a^2}=1 \)
Por simetría respecto al plano coordenado \( x=0 \), basta con hallar la mitad del volumen y multiplicar por dos. Una parametrización de la superficie es
\( \dfrac{z}{a\sqrt{1-\frac{x^2}{b^2}}-y}=\dfrac{h}{d} \) donde el dominio es \( D=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\,|\,
\dfrac{x^2}{b^2}+\dfrac{y^2}{a^2}\leq 1, 0\leq x\leq \dfrac{b\sqrt{3}}{2},\dfrac{a}{2}\leq y\leq a\right\} \).
Así, \( V=2\displaystyle\int_{\frac{a}{2}}^a\displaystyle\int_0^{b\sqrt{1-\frac{y^2}{a^2}}}z\,dxdy \)
Haciendo el cambio de variable
\( x=bu,y=av \), el Jacobiano es \( J=ab \) y el volumen queda
\( V=2ab\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^1\displaystyle\int_0^{\sqrt{1-v^2}}z\,dudv=2ab\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^1\displaystyle\int_0^{\sqrt{1-v^2}}\dfrac{h}{d}\left(a\sqrt{1-u^2}-av\right)\,dudv=4abh\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^1\displaystyle\int_0^{\sqrt{1-v^2}}\left(\sqrt{1-u^2}-v\right)\,dudv=\\4abh
\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^1\left(\dfrac{\arcsin u}{2}+\dfrac{u\sqrt{1-u^2}}{2}-uv\right]_0^{\sqrt{1-v^2}}\,dv=2abh\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^1\left(\arcsin\sqrt{1-v^2}-v\sqrt{1-v^2}\right)\,dv=2abh\left[v\arcsin\sqrt{1-v^2}-v\sqrt{1-v^2}+\dfrac{\sqrt{(1-v^2)^3}}{3}\right]_{\frac{1}{2}}^1=\\\cdots=abh\left(\dfrac{3\sqrt{3}}{4}-\dfrac{\pi}{3}\right)\,\,u^3 \)
Añadido:Saludos
