[Carlos Ivorra]

No existe la contradicción entre el análisis matemático y la teoría de conjuntos, así insistas 1000 veces al día con tus "argumentos". A vase de repetir majaderías no se convierten en argumentos. Las matemáticas son axiomas y reglas de inferencia. No opiniones, grupos de presión y prejuicios. Los argumentos se exponen de forma clara y tan concisa como sea posible, no con discursos de Fidel en la ONU.

Si de verdad crees haber demostrado tal contradicción, te crees tan inteligente de detectar incoherencias que los matemáticos no han visto en cientos de años, tienes dos opciones. Un foro profesional como Mathoverflow. También puedes pedirle a Chat GPT que te ayude y tratar de escribir un artículo, en Axioms, por ejemplo. Estaría bien, y serviría para ver hasta donde llegan las tragaderas de la editorial MDPI.

Me agregas comentarios que yo no he dicho en mis comentarios. Además afirmas cosas sobre mis comentarios que yo no digo. Y presupones que me creo muy inteligente y que no sé qué, cuando sólo vengo a un foro a comentar de forma educada e intentando ser constructivo, aún mis limitaciones que son muchas y las reconozco. ¿eso te molesta?

Lo tuyo sí ha sido una arenga populista y vacía como un globo.

¿Es necesario llegar a estos términos?

Es cierto que RDC ha expuesto en todo momento sus puntos de vista de forma educada sin faltarle al respeto a nadie, y por eso no es de recibo que se le trate de otro modo.

Por otro lado, mi opinión siempre ha sido que tratar con respeto a alguien incluye inexorablemente el ser sincero en lo esencial, en no ocultarle la realidad por una educación mal entendida. Y, puestos a intervenir, sin ánimo de resultar ofensivo ni irrespetuoso, sino justo por lo contrario, porque entiendo que respetar a alguien está en contradicción con engañarle o, simplemente, no decirle verdades incómodas, tengo que decir algo a RDC:

Todo lo que estás planteando en este hilo, y en algún otro, es absurdo. Salvo cuando dices alguna obviedad que coincide literalmente con algo que hayas leído por ahí, en cuanto aportas algo de tu cosecha, todo lo que dices está mal, se basa en concepciones incorrectas, en conceptos mal entendidos y, sobre todo, en una concepción radicalmente errónea de lo que son las matemáticas. En esencia, eso es lo que te dice EJ, aunque podría habértelo dicho en otros términos.

El problema es que, en otro hilo que creaste, ya hubo quienes se esforzaron en hacerte ver tus errores, y demostraste ser inmune a cualquier razonamiento. No sólo no entendiste las explicaciones que trataron de darte para entender algo elemental, sino que cada explicación que te daban la "reinterpretabas" de forma totalmente corrupta y la incorporabas a tu acervo de falsas creencias matemáticas, lo que —supongo— hizo que tus interlocutores desistieran de intentar hacerte entrar en razón. Y, desde luego, a mí me hizo abstenerme de intentarlo.

Entiendo que no es agradable que a uno le digan algo así, pero no te lo digo por faltarte al respeto, ni por ridiculizarte, ni por nada de eso, sino simplemente porque es la verdad y lo que no me parecería ético —hacia tu persona— sería ocultártelo por el mero hecho de que no es agradable.

Las contradicciones que crees ver no existen. Sólo están en tu cabeza, pero no en las matemáticas. Y son fruto de que no entiendes los conceptos que manejas. Cuando dices "von Neumann estipula tal cosa y yo propongo tal otra", eso es un despropósito. Lo que hizo von Neumann fue dar la definición de "ordinal" que se usa actualmente, mucho más manejable que la de Cantor, o las formalizaciones obvias de la de Cantor, pero, según esa definición, un ordinal no puede pertenecerse a sí mismo. Cuando hablas de "ordinales", ¿a qué te refieres? porque si aceptas la definición de ordinal de von Neumann, el hecho de que un ordinal no se pertenezca a sí mismo no es algo que puedas modificar a capricho, es una consecuencia lógica de la definición (y de los axiomas de la teoría de conjuntos). Si pretendes hablar de unos ordinales en los que uno puede pertenecerse a sí mismo, tendrías que empezar por dar una definición de ordinal. Y nada de lo que has dicho hasta ahora se parece a nada que pueda aceptarse matemáticamente como definición de ordinal. De hecho, tengo serias dudas de que tengas conciencia de qué es una definición matemática rigurosa. Al contrario, pareces pensar que cualquiera puede cambiar esto o lo otro en cada momento según convenga, y eso es contrario a todo lo que es la matemática tal y como se la entiende actualmente.

Lo que dices es tal cúmulo de despropósitos que resulta prácticamente imposible extraer un argumento que refutar, porque en cualquier frase tuya hay malentendidos presupuestos, de modo que no es posible decir "tu error está en este punto", ya que tus errores están uniformemente distribuidos por todas y cada una de las frases que escribes. Yo, desde luego, no voy a emprender el trabajo de desenmarañar tus mensajes para tratar de hacerte ver tus errores. Sería complicadísimo y ya has dado muestras suficientes de ser inmune a todo argumento matemático riguroso.

Ésta es la realidad, te guste o no, la aceptes o no. En resumen: estás prácticamente equivocado, confundido en todo, salvo cuando dices literalmente algo que has leído tal cual. Y me parece una empresa hercúlea tratar de sacarte de tus errores. Lo que más me preocupa es que contagias algunas de tus concepciones erróneas incluso a quienes tratan de rebatirte.

Dicho esto, y añadiendo que no voy a entrar en ningún debate contigo, entre otras cosas por falta de tiempo, creo que cualquier participante en este hilo debería elegir entre rebatirte con argumentos (algo que yo no me considero capaz de hacer), limitarse a decirte que estás equivocado en todo (como acabo de hacer yo) o no decir nada, pero no hay necesidad de caer en ataques personales ni en comparaciones ofensivas. Si lo que yo te he dicho te parece ofensivo, entonces es que tenemos un concepto distinto de lo que es ofensivo. Lo que yo te he dicho es simplemente la verdad, lo que saca en claro cualquiera que sepa matemáticas y lee lo que escribes. No es lo mismo una verdad que ofende que una ofensa gratuita. Lo que digo es que las ofensas gratuitas no son pertinentes en este contexto.

[EJ]

Efectivamente Carlos, debo una disculpa a RDC en particular y al foro en general por enrarecer el ambiente.

El primero en ofender he sido yo.

El "cabreo" es por lo que dices. No entiendo volver otra vez a los mismo, cuando tiene en la cabeza que "para cada n existe un x" es lo mismo en teoría de conjuntos de "existe un x para cada n". Y al final esto se convierte en un bucle infinito.

Reitero las disculpas. Pero asumir la existencia de conjuntos infinitos no implica deducir la existencia de elementos mágicos que contradigan la existencia de los reales. No es cierta esa división entre la teoría de conjuntos y el análisis matemático.  No entiendo la insistencia y persistencia en esa línea argumental.

Lo mejor es no contestar o contestar bien. Cierto. Mea culpa y nunca más sucederá.

[feriva]

Hola, RDC.

Sobre esto que comentas a Richard

Y este conjunto $$w=\left\{{0,1,2,3,...}\right\}$$ es el mismo conjunto que el de los naturales por el axioma de extensionalidad. Y en efecto, su elemento límite es $$w$$, pero se considera que no forma parte del propio conjunto, porque se cree que así supera la contradicción que aparece por aceptar la existencia de un conjunto límite. Pero lejos de sortear la paradoja, simplemente, con ello se acomoda a lo que se emplea en análisis matemático.

Es más topológico que analítico, en mi opinión, aunque ambas cosas vayan unidas.

Al considerar un “lugar” muy pequeño en la recta, éste tendrá al menos un punto (una cantidad finita de puntos, lo que conlleva una longitud cero). Después, podremos tomar un entorno de ese punto P, una vecindad de infinitos puntos

\( (..P..) \)

después otro entorno más grande

\( (...(...P...)...) \)

y así sucesivamente.

Lo que vamos a tener es una colección de bolas (topológicamente hablando) centradas en P, las cuales sugieren un orden debido a ese esquema de intervalos encajados, de bolas de radios “cero”; “infinito”, “el doble de infinito”, “el triple”...

Se entienden infinitos numerables; al menos hasta que el radio se sale de madre y ya la suma de infinitos no es numerable (tomando todos los puntos que hay dentro de los intervalos encajados, no los intervalos, que sí se pueden contar).

No hay ningún problema con esos conjuntos en cuanto a límite, entendiendo “límite” en sentido analítico (límite como el de las sucesiones) si acaso podría haber dudas en cuanto al tamaño de las vecindades, que es lo que cuenta aquí.

Tampoco importa ir metiendo los conjuntos dentro de sí mismos en los ordinales, técnicamente no son “conjuntos de todos los conjuntos”, porque no van siendo los conjuntos de todas las partes que se pueden formar con los representantes de los naturales que hay dentro; no son conjuntos normales del todo, pero aquí no tiene que ver la paradoja del barbero.

La única paradoja, que pueden ver algunas personas, es que si consideramos una cantidad finita de puntos, su longitud es cero, la misma que si sólo hay un punto. Peros si hay dos puntos “a” y “b” distintos a los que se pueden asociar reales distintos, entonces, aunque la longitud deba ser cero, tenemos que \( a-b\neq0 \); con lo que ambas cosas no se pueden considerar al mismo tiempo. Para mí eso no es un problema, porque entiendo (como ya he contado en estos hilos) que lo que llamamos realidad nos “engaña”; o quizá nos engaña nuestro inmovilismo al pensar. Lo que está bien, lo que es correcto, es que pase eso (para mí) no que no pase.

En Las Vegas tienen esta esfera gigante, un espectáculo

En el vídeo se puede ver que los leds, vistos de cerca, están muy separados, si uno se acerca no ve nada. Pero si uno se aleja a una cierta distancia mínima (que se calcula, también habla de ello en el vídeo) pues ya ve paisajes, ciudades... lo que se este mostrando en la esfera. Y se ve con una grandísima nitidez, con una gran resolución de imagen, todo muy continuo.

Claro, cuando estamos cerca, vemos mucho espacio entre los leds (una cantidad finita de “puntos”, podemos decir, pero muchos) pero cuando nos alejamos, esos puntos (que hay entre dos leds) se convierten en uno sólo. Vemos dos cosas distintas, pero no son incompatibles. Ambas observaciones son sobre el mismo objeto, sobre el mismo espacio, sin embargo, hay una distancia de tiempo (muy pequeña, la que sea, pero la hay).

Vivimos en un mundo donde existe el tiempo y el movimiento, no tiene sentido hablar de una línea física o un objeto físico sin precisar el punto de vista desde el que se observa, porque falta definir algo importante.

En matemáticas, los conceptos quedan abstraídos; quedaron ya abstraídos por nuestros antepasados, los cuales, generación tras generación, los han ido transmitiendo. Pero tenemos que ser conscientes de que son abstracciones básicas de la realidad, de una realidad ideal, sin tiempo, sin movimiento real (en geometría sí se habla de giros, traslaciones, homotecias que expanden las cosas para formar otras semejantes... pero todo es abstracto, dado que los números no tienen magnitud ). Los números no tienen magnitud física y los puntos no tienen dimensión; por tanto, no hay paradojas, porque no tenemos elementos necesarios para que podamos afirmar que las haya, porque ahí no hay nada físico (si acaso, habrá cosas mal consideradas, errores lógicos al pensar).

Saludos.

[RDC]

Me molesta la insistencia en contradicciones entre el análisis y la teoría de conjuntos. Esa paradoja que hablas es una contradicción de la teoría de conjuntos consigo misma. Pero considerar conjuntos infinitos (infinito de facto según tus peculiares definiciones) de números reales es algo que no causa ninguna contradicción o paradoja. A no ser que quieras redefinir reales o naturales.

Hola EJ, y tambiér Carlos

Dejemos de lado si molesta o no, y vayamos a los puntos "objetivos".

¿Cómo definir los naturales?

Justo antes los he definido dentro de la teoría de conjuntos. De modo que tomo un natural como un conjunto, y por tanto un elemento, que en principio se genera por construcción empleando la definición de sucesión y los axiomas ZK, uno de los cuales es el axioma del infinito que permite considerar el conjunto límite de los naturales (el conjunto que contiene a todos los naturales).

Tenemos que a partir de \( \emptyset \) y la definición de sucesor \( S(x)=x\cup{\left\{{x}\right\}} \) vamos generando todos los números naturales, y por tanto, todos los ordinales que tienen sucesor. Y en efecto, cada natural es un conjunto que no se contiene a sí mismo:

$$0=\emptyset$$, por tanto $$\emptyset\not\in \emptyset$$
$$1=\left\{{0}\right\}$$, por tanto $$1\not\in 1$$
$$2=\left\{{0,1}\right\}$$, por tanto $$2\not\in 2$$
$$3=\left\{{0,1,2}\right\}$$, por tanto por tanto $$3\not\in 3$$

De modo que, por construcción:

$$n=\left\{{0,1,2,...,n-1}\right\}$$, y por tanto $$n\not\in n$$.

Con esta definición construimos cualquier conjunto de ordinal natural, es decir, que será el elemento sucesor de su último elemento en un conjunto sucesor, $$S(n)$$.

Pero entonces se introduce la existencia de un conjunto con todos los ordinales sucesores $$w$$. Esto significa, a bote pronto, que este conjunto no es sucesor de ningún ordinal sucesor anterior. En otras palabras:

$$w\neq n=\left\{{0,1,2,...,n-1}\right\}$$, porque $$w$$ no es el sucesor de ningún $$n-1$$.

Entonces, ¿cómo definir a $$w$$?

Pues así: $$w=\left\{{0,1,2,...,n-1,n,n+1,...}\right\}=\left\{{0,1,2,3,...}\right\}$$. Es decir, $$w$$ pasa a ser el límite de esta secuencia de valores. Pero el límite de esta secuencia implica lo siguiente:

$$w=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{(n-1)}$$, que es lo mismo que $$w=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{(n)}$$, y que $$w=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{(n+1)}$$.

En otras palabras, cabe considerar que si $$w$$ existe como ordinal límite es porque existe un valor de $$n_i=\left\{{0,1,2,...}\right\}$$ tal que cumlpe lo siguiente: $$\displaystyle\frac{n_i-1}{n_i}=1$$. Y si cumple esto, entonces también cumple que $$\displaystyle\frac{n_i+1}{n_i}=1$$.

En otras palabras, si $$w$$ existe eso implica que existe un $$n_i=\left\{{0,1,2,3,...}\right\}$$ tal que $$n_i-1=n_i=n_i+1=w$$.

Por tanto, al afirmar la existencia de $$w$$ hay que asumir que $$w$$ sí es el sucesor de un conjunto (de él mismo), y a la vez, sí tiene un conjunto sucesor (él mismo). Por tanto, no sería preciso afirmar que $$w$$ no tenga sucesor si asumimos que existe. Y en todo caso, no es ningún elemento último, porque sí tiene sucesor (él mismo).

Entonces si por el axioma del infinito se estipula que existe un conjunto $$I$$ tal que contiene el conjunto vacío y todo elemento que tenga sucesor, tenemos que admitir:

$$w=\left\{{\emptyset,S(\emptyset),S(S(\emptyset})),...,S(n_i-1)\right\}$$.

Pero dado que $$w=n_i=n_i-1=n_i+1$$, entonces cabe admitir que $$S(n_i)=S(n_i-1)=S(n_i+1)=S(w)$$, de modo que, cabe ser más precisos: $$w=\left\{{\emptyset,S(\emptyset),S(S(\emptyset})),..., S(w)\right\}$$

Pero claro, admitir la existencia de $$w$$ como conjunto límite es admitir esta brutal paradoja: que exista $$n_i=n_i-1=n_i+1$$. ¿O me equivoco?

En tal caso, no sé si es posible detallar en qué punto todo esto no sería correcto y el conjunto $$w$$ no implicara tal paradoja.

Un saludo, y sin ánimo de trolear, ni de molestar ni nada de esto.









 

[Carlos Ivorra]

¿Cómo definir los naturales?

Justo antes los he definido dentro de la teoría de conjuntos.

No he visto que hayas definido nada en ninguna parte.

De modo que tomo un natural como un conjunto, y por tanto un elemento, que en principio se genera por construcción empleando la definición de sucesión y los axiomas ZK, uno de los cuales es el axioma del infinito que permite considerar el conjunto límite de los naturales (el conjunto que contiene a todos los naturales).

Lo que te pongo en rojo ya son palabras sin sentido que vas introduciendo paulatinamente en tu discurso. Hay muchas variantes equivalentes del axioma de infinitud. Sería bueno que especificaras en cuál estás pensando.

Tenemos que a partir de \( \emptyset \) y la definición de sucesor \( S(x)=x\cup{\left\{{x}\right\}} \) vamos generando todos los números naturales, y por tanto, todos los ordinales que tienen sucesor. Y en efecto, cada natural es un conjunto que no se contiene a sí mismo:

No has definido número natural ni ordinal. Y no es cierto que los números naturales sean todos los ordinales que tienen sucesor. Se hecho, todos los ordinales, sin excepción tienen sucesor. "Vamos generando" no es una definición aceptable.

$$0=\emptyset$$, por tanto $$\emptyset\not\in \emptyset$$
$$1=\left\{{0}\right\}$$, por tanto $$1\not\in 1$$
$$2=\left\{{0,1}\right\}$$, por tanto $$2\not\in 2$$
$$3=\left\{{0,1,2}\right\}$$, por tanto por tanto $$3\not\in 3$$

De modo que, por construcción:

$$n=\left\{{0,1,2,...,n-1}\right\}$$, y por tanto $$n\not\in n$$.

Con esto sólo estás dando una definición separada para cada número natural, pero no has dado ninguna definición de número natural.

Con esta definición construimos cualquier conjunto de ordinal natural, es decir, que será el elemento sucesor de su último elemento en un conjunto sucesor, $$S(n)$$.

Esto lo podría haber dicho Hegel y sería lo mismo. Son palabras sin sentido. Hablas de "el ordinal de un conjunto" como si todo conjunto tuviera un ordinal, lo cual no es cierto, y ni siquiera has definido lo que es un ordinal. No puedes hablar de ordinales hasta que no hayas definido los ordinales. Y mucho menos hablar del ordinal de un conjunto cuando no todo conjunto tiene ordinal, y además parece que digas que los números naturales son todos los conjuntos de ordinal natural, lo cual no es cierto.

Pero entonces se introduce la existencia de un conjunto con todos los ordinales sucesores $$w$$.

Más palabras sin sentido. Para empezar, no todos los números naturales son ordinales sucesores, pues el cero no lo es, y hay muchos ordinales sucesores que no son números naturales, como \( \omega+1 \), luego, lo que dices es falso incluso dando un sentido a tus palabras que tú mismo no has dado, ya que sigues hablando de ordinales si haber definido a qué llamas ordinal. Todo lo que te voy poniendo en rojo son frases matemáticamente inaceptables, y ya ves que no queda títere con cabeza.

Esto significa, a bote pronto, que este conjunto no es sucesor de ningún ordinal sucesor anterior. En otras palabras:

$$w\neq n=\left\{{0,1,2,...,n-1}\right\}$$, porque $$w$$ no es el sucesor de ningún $$n-1$$.

Entonces, ¿cómo definir a $$w$$?

Para empezar, ya es poco ortodoxo que estés hablando de un \( \omega \) que "se introduce", que digas cosas de él, y que luego te plantees cómo definirlo. Tendrías que empezar por definirlo y luego ya podrás decir qué cumple y qué no cumple. Mientras tanto, todo lo que dices va en rojo. Son palabras sin valor matemático alguno.

Pues así: $$w=\left\{{0,1,2,...,n-1,n,n+1,...}\right\}=\left\{{0,1,2,3,...}\right\}$$. Es decir, $$w$$ pasa a ser el límite de esta secuencia de valores.

No. Nada de eso tiene valor alguno desde un punto de vista matemático. Puedes definir directamente \( \omega \) o definir primero los ordinales y luego definir \( \omega \) como un conjunto formado por los ordinales que cumplen la definición de número natural que tú no has dado, pero eso que has puesto en ningún caso sirve como definición de nada. También va en rojo. También usas la palabra "límite" sin haberle dado ningún significado preciso en este contexto.

Pero el límite de esta secuencia implica lo siguiente:

$$w=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{(n-1)}$$, que es lo mismo que $$w=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{(n)}$$, y que $$w=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{(n+1)}$$.

Nada de esto tiene sentido. De repente usas la notación de límite propia del análisis (o de la topología), pero sin tener en cuenta que para hablar de límites en ese sentido necesitas un espacio topológico de referencia, y no estás dando ninguno. Y todo esto sin haber definido aún a qué llamas \( \omega \). Matemáticamente, nada de esto tiene valor alguno.

En otras palabras, cabe considerar que si $$w$$ existe como ordinal límite es porque existe un valor de $$n_i=\left\{{0,1,2,...}\right\}$$ tal que cumlpe lo siguiente: $$\displaystyle\frac{n_i-1}{n_i}=1$$. Y si cumple esto, entonces también cumple que $$\displaystyle\frac{n_i+1}{n_i}=1$$.

En otras palabras, si $$w$$ existe eso implica que existe un $$n_i=\left\{{0,1,2,3,...}\right\}$$ tal que $$n_i-1=n_i=n_i+1=w$$.

Por tanto, al afirmar la existencia de $$w$$ hay que asumir que $$w$$ sí es el sucesor de un conjunto (de él mismo), y a la vez, sí tiene un conjunto sucesor (él mismo). Por tanto, no sería preciso afirmar que $$w$$ no tenga sucesor si asumimos que existe. Y en todo caso, no es ningún elemento último, porque sí tiene sucesor (él mismo).

Todo esto no hay por dónde cogerlo. Aún no has definido los números naturales, ni \( \omega \), pero ya estás hablando de cocientes de números naturales y sacándote igualdades de la manga. Todo en rojo.

Entonces si por el axioma del infinito se estipula que existe un conjunto $$I$$ tal que contiene el conjunto vacío y todo elemento que tenga sucesor, tenemos que admitir:

$$w=\left\{{\emptyset,S(\emptyset),S(S(\emptyset})),...,S(n_i-1)\right\}$$.

Pero dado que $$w=n_i=n_i-1=n_i+1$$, entonces cabe admitir que $$S(n_i)=S(n_i-1)=S(n_i+1)=S(w)$$, de modo que, cabe ser más precisos: $$w=\left\{{\emptyset,S(\emptyset),S(S(\emptyset})),..., S(w)\right\}$$

Pero claro, admitir la existencia de $$w$$ como conjunto límite es admitir esta brutal paradoja: que exista $$n_i=n_i-1=n_i+1$$. ¿O me equivoco?

Te equivocas, pero no en algo en particular, sino que nada de lo que has dicho hasta ahora tiene sentido alguno. Lo único que he dejado en negro es tu paráfrasis del axioma de infinitud, porque la enuncias de una forma un tanto peculiar, pero podríamos decir que es correcta. Pero, a partir de ahí, todo son delirios tuyos.

En tal caso, no sé si es posible detallar en qué punto todo esto no sería correcto y el conjunto $$w$$ no implicara tal paradoja.

No es posible señalar un punto, porque, como ya te había dicho, no es que haya un punto en el que digas algo no justificado, sino que nada de lo que te he señalado en rojo tiene sentido o rigor matemático alguno.

Un saludo, y sin ánimo de trolear, ni de molestar ni nada de esto.

No dudo de que no tengas ningún ánimo de trolear o de molestar. Pero, por duro que pueda ser de aceptar, deberías asumir que nada de lo que dices tiene sentido. No es que haya un punto en el que te equivoques, sino es que estás equivocado en todas y cada una de las frases que has dicho, excepto en las pocas que no he puesto en rojo. O son cosas sin sentido, o son afirmaciones gratuitas, o hablas sobre cosas que no has definido, etc.

No puedes ponerte a hablar de ordinales, o de números naturales, o de \( \omega \), etc. sin remitirte a definiciones concretas. Pero el problema es que no sabes definir ninguno de estos conceptos. Pero crees que puedes hablar y decir cosas profundas sobre conceptos que ni siquiera sabes definir. Por eso digo que el problema es mucho mayor que si algo se te ha escapado aquí o allí. El problema es que no tienes la más remota idea de lo que es un razonamiento matemático serio. Y lo enfatizo simplemente porque ésa y no otra es la raíz del problema, y mientras no la asumas, será imposible que llegues a entender nada.

Por ejemplo, hay muchas alternativas, pero puedes definir un ordinal como un conjunto transitivo \( x \) (esto quiere decir que si \( u\in x \) entonces \( u\subset x \)) que está bien ordenado por la relación de pertenencia (es decir, que la relación \( u<v \) si y sólo si \( u\in v \) define un orden total en \( x \) tal que todo subconjunto no vacío tiene un mínimo elemento) y a partir de ahí puedes definir un número natural como un ordinal \( x \) tal que si \( u\in x \), entonces \( u= \emptyset \) o bien existe un \( v\in x \) tal que \( u = S(v) \). Y entonces, a partir del axioma de infinitud, en cualquiera de sus formas, puedes demostrar que existe el conjunto \( \omega \) de todos los números naturales. Un ordinal límite se define como un ordinal no nulo que no es el sucesor de otro ordinal.

No es la única vía, pero es un ejemplo de cómo puedes definir los conceptos de ordinal, número natural, ordinal límite, etc. Lo que has expuesto tú no se parece en nada a esto. A partir de estas definiciones (u otras equivalentes) es posible demostrar las propiedades de los ordinales y de los números naturales y, si te ciñes a ellas sin interpretar nada a tu fantasioso criterio, no llegarás a ninguna paradoja, y verás que no puedes pedir que \( \omega\in \omega \) simplemente porque a partir de las definicioens se demuestra que \( \omega\notin\omega \) y eso no lleva a ninguna contradicción.

Todo lo que te acabo de decir está en negro porque no hay nada en ello parecido a las frases que te he puesto en rojo. Te he dado definiciones rigurosas a partir de las cuales es posible demostrar todo lo necesario de forma rigurosa. Lo que no es matemáticamente aceptable es que te pongas a hablar de ordinales, naturales, límites, etc. sin definirlos previamente, improvisando en cada momento qué se te ocurre decir sobre ellos.

Esta es la triste realidad: de lo que planteas, está todo mal.

[feriva]

Hola EJ, y tambiér Carlos

Dejemos de lado si molesta o no, y vayamos a los puntos "objetivos".

¿Cómo definir los naturales?

Justo antes los he definido dentro de la teoría de conjuntos. De modo que tomo un natural como un conjunto, y por tanto un elemento, que en principio se genera por construcción empleando la definición de sucesión y los axiomas ZK, uno de los cuales es el axioma del infinito que permite considerar el conjunto límite de los naturales (el conjunto que contiene a todos los naturales).

Tenemos que a partir de \( \emptyset \) y la definición de sucesor \( S(x)=x\cup{\left\{{x}\right\}} \) vamos generando todos los números naturales, y por tanto, todos los ordinales que tienen sucesor. Y en efecto, cada natural es un conjunto que no se contiene a sí mismo:

$$0=\emptyset$$, por tanto $$\emptyset\not\in \emptyset$$
$$1=\left\{{0}\right\}$$, por tanto $$1\not\in 1$$
$$2=\left\{{0,1}\right\}$$, por tanto $$2\not\in 2$$
$$3=\left\{{0,1,2}\right\}$$, por tanto por tanto $$3\not\in 3$$

Ahí es como si empezaras a intentar esbozar la tricotomía, pero no llega a ser ni la tricotosa de la señorita Pepis

Buenas noches, RDC.

[RDC]

Hola Carlos,

Intentaré explicar mejor los pasos que sigo.

1) Por el axioma de extensionalidad se considera que $$w$$ y $$\Bbb N$$ son el mismo conjunto, dado que contienen los mismos elementos.

2) De un par de post atrás se vuelven a copiar los axiomas sobre los cuales poder generar el conjunto de los naturales, y por ende el de ordinales:

En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF), el conjunto de los números naturales \(\mathbb{N}\) se genera a partir de los axiomas utilizando una construcción que se basa en los ordinales y la definición recursiva. Veámoslo:


1. Axioma del Conjunto Vacío:
   - El axioma del conjunto vacío garantiza la existencia de un conjunto vacío \(\emptyset\), que es el punto de partida para construir los números naturales.
   - Se define el número natural 0 como el conjunto vacío:
     \[
     0 = \emptyset
     \]

2. Axioma del Par:
   - Este axioma permite construir un conjunto que contiene dos elementos dados. Es importante para construir sucesores.
   - Aunque el axioma del par no se usa directamente en la construcción de \(\mathbb{N}\), es parte fundamental de la estructura general de ZF.

3. Axioma de la Unión:
   - Este axioma permite la unión de conjuntos. Es fundamental en la construcción de números naturales sucesivos.

4. Definición Recursiva de Sucesores:
   - El sucesor de un número natural \(n\) se define como:
     \[
     S(n) = n \cup \{n\}
     \]
   - Esta definición crea un nuevo conjunto que incluye a todos los elementos de \(n\) y también al conjunto \(n\) como un nuevo elemento.

   - Por ejemplo:
     \[
     1 = S(0) = 0 \cup \{0\} = \emptyset \cup \{\emptyset\} = \{\emptyset\} = \{0\}
     \]
     \[
     2 = S(1) = 1 \cup \{1\} = \{\emptyset\} \cup \{\{\emptyset\}\} = \{0, 1\}
     \]
     \[
     3 = S(2) = 2 \cup \{2\} = \{0, 1\} \cup \{\{0, 1\}\} = \{0, 1, 2\}
     \]
     ....
     $$n=S(n-1)=\left\{{0,1,2,...,n-1}\right\}$$
     $$S(n)=\left\{{0,1,2,...,n}\right\}$$

En este sentido, no tenemos números naturales ni conjuntos finitos, lo que tenemos son conjuntos bien ordenados construidos por inducción a partir de $$\emptyset$$ y mediante la operación recursiva de sucesión $$S(n)$$.

Por tanto, cabe definir que un conjunto $$n$$ es un conjunto finito (un número natural), si y solo si, es un conjunto sucesor que, además del $$\emptyset$$, contiene sólo sucesores que tienen predecesores menores: $$n=S(n-1)$$,  tal que $$n-1<n|n=\left\{{0,1,2,...,n-1}\right\}\longrightarrow{n\not\in S(n-1)} $$. Y a la vez $$n$$ pertenece a su sucesor, $$S(n)$$, tal que $$n<S(n)|S(n)=\left\{{0,1,2,...,n}\right\}\longrightarrow{S(n)\not\in S(n)} $$

5. Axioma del Infinito:
   - Este axioma asegura la existencia de un conjunto que contiene al conjunto vacío \(\emptyset\) y es cerrado bajo la operación de sucesor.
   - Formalmente, existe un conjunto \(I\) tal que:
     \[
     \emptyset \in I \quad \text{y} \quad \forall n \in I \, (S(n) \in I)
     \]
   - El conjunto \(I\) que satisface estas propiedades es un conjunto inductivo, y \(\mathbb{N}\) se define como la intersección de todos los conjuntos inductivos, lo que garantiza que \(\mathbb{N}\) es el conjunto más pequeño que contiene al vacío y es cerrado bajo sucesión.

6. Conjunto de los Números Naturales:
   - Finalmente, el conjunto de los números naturales \(\mathbb{N}\) se define como:
     \[
     \mathbb{N} = \{ n \mid n \text{ es un conjunto

 construido a partir de 0 mediante sucesores} \}
     \]
   - Formalmente, \(\mathbb{N}\) es el conjunto que contiene a \(0\) y todos sus sucesores bajo la operación \(S(n)\).

Dado que $$\Bbb N=w$$ m, al contener los mismos elementos, entonces los puntos 5 y 6 para construir $$w$$ son los mismos:

Spoiler

5. Axioma del Infinito y Construcción de \(\omega\)

El Axioma del Infinito asegura la existencia de un conjunto \(I\) que contiene al conjunto vacío y es cerrado bajo la operación de sucesor:

- Axioma del Infinito:
  \[
  \exists I \, \left( \emptyset \in I \, \land \, \forall x \, (x \in I \implies S(n) = n \cup \{n\} \in I) \right)
  \]

- \(\omega\) es el conjunto más pequeño que cumple esta condición:
  \[
  \omega = \{n \in I \mid n \text{ es el conjunto que contiene 0 y a todos los sucesores} S(n)\}  \]

6. Formalización Completa de \(\omega\)

Finalmente, \(\omega\) se define como el conjunto de todos los ordinales sucesores, es decir, todos los ordinales construidos mediante sucesores a partir de \(0\):

\[
\omega = \{0, 1, 2, 3, \ldots\} = \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\{\emptyset\}\}\}, \ldots\}
\]

7. Propiedades de \(\omega\)

- Ordinal Límite: \(\omega\) es un ordinal límite, es decir, no es el sucesor de ningún ordinal. Formalmente, no existe un \(n\) tal que \(\omega = S(n)\).
- Bien Ordenado: El conjunto \(\omega\) está bien ordenado por la inclusión: cada subconjunto no vacío de \(\omega\) tiene un mínimo.

[cerrar]

Antes de nada confieso que del punto 4 al 5 veo un salto mortal que no logro entender cómo se puede justificar mediante los axiomas ZF, la operación de sucesión $$S(n)$$ y la inducción. ¿Se justifica simplemente por el axioma de Unión: varios conjuntos siempre se pueden unir en un único conjunto? Y aún así tengo mis dudas, porque no está claro que existan "todos los conjuntos sucesión", dado que no hay uno de último. Pero bueno, aceptemos su existencia:

\[\omega = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} S(n)\]

Entonces para $$\forall{n}\in{w}$$, tomamos él mismo como conjunto y su conjunto sucesión:

$$n=S(n-1)=\left\{{0,1,2,...,n-1}\right\}$$
$$S(n)=\left\{{0,1,2,...,n}\right\}$$

Vemos que la diferencia entre ambos conjuntos sucesivos es:

$$S(n)-S(n-1)=\left\{{n}\right\}$$

Y, ¿hacia donde convergen los elementos de ambos conjuntos sucesivos?

Para responder a eso aplicamos el concepto de "convergencia de conjuntos" del siguiente modo:

Si $$n$$ se va haciendo cada vez mas y más grande ello significa que el valor de $$\left\{{n}\right\}$$ es mucho menos significativo en términos relativos:

  \[ \lim_{n \to \infty} \frac{|s(n+1) - s(n)|}{|s(n+1)|} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0     \]

¿No sugiere esto que, en el límite, los conjuntos se comportan "como si" fueran el mismo, porque la diferencia relativa tiende a cero?

Obviamente, si no se alcanza el límite, entonces ambos conjuntos sucesivos nunca se comportarán exactamente como un mismo conjunto. Esta convergencia sólo es una sugerencia cuando tendemos al límite.

Ahora bien, si afirmamos que sí se alcanza tal límite con $$w$$, entonces eso implica que:

$$w=S(n-1)=S(n)$$, dado que, sólo en el límite, se da que: $$S(n)-S(n-1)=0$$

En consecuencia: el primer ordinal transfinito se alcanzaría cuando encontráramos un conjunto sucesor cuyo valor fuera el mismo que su conjunto sucesor, de modo que ambos elementos serían uno y el mismo. Hecho que nos lleva a contradicciones y ambigüedades, pero también nos permite aceptar la existencia del conjunto límite de los sucesores: el conjunto de todos los ordinales naturales.

- Varias propiedades significativas de $$w$$ que aparecen a raíz de esto:

1) $$w$$ no tiene un predecesor menor $$p| w=S(p), p<w, p\in{w}\wedge S(p)\not\in S(p)$$.

2) Al carecer de un predecesor menor es imposible construirlo mediante la operación de sucesión (contando uno a uno). Por tanto, cumple el requisito de ser el primer ordinal transfinito.

4) Ahora bien, $$w$$ se tiene a sí mismo como predecesor y, a la vez, como sucesor. Por tanto, según el punto 4, ¿acaso $$w$$ no debe ser un elemento de él mismo dado que es el menor conjunto de todos los sucesores?

3) Dado que $$w$$ tiene un sucesor, aunque éste NO es mayor porque es él mismo,  $$w$$ no tiene un último elemento, porque ya no está definido qué es un último elemento.   

Saludos

[Carlos Ivorra]

1) Por el axioma de extensionalidad se considera que $$w$$ y $$\Bbb N$$ son el mismo conjunto, dado que contienen los mismos elementos.

No has definido ni \( \omega \) ni \( \mathbb N \), así que esto no significa nada. Lo pongo en rojo, pues.

2) De un par de post atrás se vuelven a copiar los axiomas sobre los cuales poder generar el conjunto de los naturales, y por ende el de ordinales:

Hay muchos más ordinales que naturales, luego ese "por ende" no tiene sentido, y sigues hablando de cosas que no has definido. Sigo a la espera de que digas algo con sentido.

En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF), el conjunto de los números naturales \(\mathbb{N}\) se genera a partir de los axiomas utilizando una construcción que se basa en los ordinales y la definición recursiva. Veámoslo:


1. Axioma del Conjunto Vacío:
   - El axioma del conjunto vacío garantiza la existencia de un conjunto vacío \(\emptyset\), que es el punto de partida para construir los números naturales.
   - Se define el número natural 0 como el conjunto vacío:
     \[
     0 = \emptyset
     \]

2. Axioma del Par:
   - Este axioma permite construir un conjunto que contiene dos elementos dados. Es importante para construir sucesores.
   - Aunque el axioma del par no se usa directamente en la construcción de \(\mathbb{N}\), es parte fundamental de la estructura general de ZF.

3. Axioma de la Unión:
   - Este axioma permite la unión de conjuntos. Es fundamental en la construcción de números naturales sucesivos.

4. Definición Recursiva de Sucesores:
   - El sucesor de un número natural \(n\) se define como:
     \[
     S(n) = n \cup \{n\}
     \]
   - Esta definición crea un nuevo conjunto que incluye a todos los elementos de \(n\) y también al conjunto \(n\) como un nuevo elemento.

   - Por ejemplo:
     \[
     1 = S(0) = 0 \cup \{0\} = \emptyset \cup \{\emptyset\} = \{\emptyset\} = \{0\}
     \]
     \[
     2 = S(1) = 1 \cup \{1\} = \{\emptyset\} \cup \{\{\emptyset\}\} = \{0, 1\}
     \]
     \[
     3 = S(2) = 2 \cup \{2\} = \{0, 1\} \cup \{\{0, 1\}\} = \{0, 1, 2\}
     \]
     ....
     $$n=S(n-1)=\left\{{0,1,2,...,n-1}\right\}$$
     $$S(n)=\left\{{0,1,2,...,n}\right\}$$

Esto está casi todo bien, porque está copiado de Chat GPT, aunque te pongo en rojo la mención a los números naturales no definidos.

En este sentido, no tenemos números naturales ni conjuntos finitos, lo que tenemos son conjuntos bien ordenados construidos por inducción a partir de $$\emptyset$$ y mediante la operación recursiva de sucesión $$S(n)$$.

Te lo dejo en negro, pero hay que matizar que no tienes una única definición de nada. Tienes una definición distinta para cada número natural distinto. Tienes la definición del 0, la definición del 1, la definición del 2, etc., pero no has definido nada del estilo de "un conjunto es un número natural si...".

Por tanto, cabe definir que un conjunto $$n$$ es un conjunto finito (un número natural), si y solo si, es un conjunto sucesor que, además del $$\emptyset$$, contiene sólo sucesores que tienen predecesores menores: $$n=S(n-1)$$,  tal que $$n-1<n|n=\left\{{0,1,2,...,n-1}\right\}\longrightarrow{n\not\in S(n-1)} $$. Y a la vez $$n$$ pertenece a su sucesor, $$S(n)$$, tal que $$n<S(n)|S(n)=\left\{{0,1,2,...,n}\right\}\longrightarrow{S(n)\not\in S(n)} $$

Esto ya es de tu cosecha y son todo disparates. Todo en rojo. No puedes identificar "conjunto finito" con "número natural". Por ejemplo, \( \{1, 5, 7\} \) es un conjunto finito, pero no es un número natural. Con eso, ni has definido lo que es un conjunto finito, ni has definido lo que es un número natural. En particular, dices "menores" cuando no has definido "menor", ni has definido \( \{0, 1, 2, \ldots, n-1\} \), ni has definido \( n-1 \).

En resumen: de toda esa jerigonza que has escrito es imposible extraer una fórmula del lenguaje de la teoría de conjuntos con la que se pueda decir: se dice que un conjunto n es un número natural si y sólo si n cumple bla, bla, bla. Para tener algo así tendrías que definir "menor", entre otras cosas, y el uso que haces de los puntos suspensivos, que convierten tu "definición" en un círculo vicioso, etc.

5. Axioma del Infinito:
   - Este axioma asegura la existencia de un conjunto que contiene al conjunto vacío \(\emptyset\) y es cerrado bajo la operación de sucesor.
   - Formalmente, existe un conjunto \(I\) tal que:
     \[
     \emptyset \in I \quad \text{y} \quad \forall n \in I \, (S(n) \in I)
     \]
   - El conjunto \(I\) que satisface estas propiedades es un conjunto inductivo, y \(\mathbb{N}\) se define como la intersección de todos los conjuntos inductivos, lo que garantiza que \(\mathbb{N}\) es el conjunto más pequeño que contiene al vacío y es cerrado bajo sucesión.

6. Conjunto de los Números Naturales:
   - Finalmente, el conjunto de los números naturales \(\mathbb{N}\) se define como:
     \[
     \mathbb{N} = \{ n \mid n \text{ es un conjunto

 construido a partir de 0 mediante sucesores} \}
     \]
   - Formalmente, \(\mathbb{N}\) es el conjunto que contiene a \(0\) y todos sus sucesores bajo la operación \(S(n)\).

Dado que $$\Bbb N=w$$ m, al contener los mismos elementos, entonces los puntos 5 y 6 para construir $$w$$ son los mismos:


5. Axioma del Infinito y Construcción de \(\omega\)

El Axioma del Infinito asegura la existencia de un conjunto \(I\) que contiene al conjunto vacío y es cerrado bajo la operación de sucesor:

- Axioma del Infinito:
  \[
  \exists I \, \left( \emptyset \in I \, \land \, \forall x \, (x \in I \implies S(n) = n \cup \{n\} \in I) \right)
  \]

- \(\omega\) es el conjunto más pequeño que cumple esta condición:
  \[
  \omega = \{n \in I \mid n \text{ es el conjunto que contiene 0 y a todos los sucesores} S(n)\}  \]

6. Formalización Completa de \(\omega\)

Finalmente, \(\omega\) se define como el conjunto de todos los ordinales sucesores, es decir, todos los ordinales construidos mediante sucesores a partir de \(0\):

\[
\omega = \{0, 1, 2, 3, \ldots\} = \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\{\emptyset\}\}\}, \ldots\}
\]

7. Propiedades de \(\omega\)

- Ordinal Límite: \(\omega\) es un ordinal límite, es decir, no es el sucesor de ningún ordinal. Formalmente, no existe un \(n\) tal que \(\omega = S(n)\).
- Bien Ordenado: El conjunto \(\omega\) está bien ordenado por la inclusión: cada subconjunto no vacío de \(\omega\) tiene un mínimo.

En el párrafo anterior te he puesto en azul una definición correcta de \( \mathbb N \) y en rojo varias que no tienen sentido. El hecho de que las pongas todas juntas da a entender que no entiendes lo que estás escribiendo y que la correcta es correcta simplemente porque así te lo ha dicho Chat GTP, pero lo que dices justo a continuación muestra que justo esa definición correcta es la que no entiendes:

Antes de nada confieso que del punto 4 al 5 veo un salto mortal que no logro entender cómo se puede justificar mediante los axiomas ZF, la operación de sucesión $$S(n)$$ y la inducción. ¿Se justifica simplemente por el axioma de Unión: varios conjuntos siempre se pueden unir en un único conjunto? Y aún así tengo mis dudas, porque no está claro que existan "todos los conjuntos sucesión", dado que no hay uno de último.

Has leído "conjunto inductivo" y has interpretado "justificar la inducción", pero lo que pone es una cosa, y lo que tú interpretas, otra muy distinta. Te pongo el párrafo en rojo porque tus dudas no son dudas propiamente dichas que puedan responderse, sino que son dudas sobre una interpretación completamente delirante de lo que Chat GTP te ha puesto más o menos decentemente (si es que lo que te he puesto en rojo no es culpa suya también, que todo podría ser).

Pero bueno, aceptemos su existencia:

\[\omega = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} S(n)\]

Entonces para $$\forall{n}\in{w}$$, tomamos él mismo como conjunto y su conjunto sucesión:

$$n=S(n-1)=\left\{{0,1,2,...,n-1}\right\}$$
$$S(n)=\left\{{0,1,2,...,n}\right\}$$

Vemos que la diferencia entre ambos conjuntos sucesivos es:

$$S(n)-S(n-1)=\left\{{n}\right\}$$

Y, ¿hacia donde convergen los elementos de ambos conjuntos sucesivos?

Para responder a eso aplicamos el concepto de "convergencia de conjuntos" del siguiente modo:

Si $$n$$ se va haciendo cada vez mas y más grande ello significa que el valor de $$\left\{{n}\right\}$$ es mucho menos significativo en términos relativos:

  \[ \lim_{n \to \infty} \frac{|s(n+1) - s(n)|}{|s(n+1)|} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0     \]

¿No sugiere esto que, en el límite, los conjuntos se comportan "como si" fueran el mismo, porque la diferencia relativa tiende a cero?

Obviamente, si no se alcanza el límite, entonces ambos conjuntos sucesivos nunca se comportarán exactamente como un mismo conjunto. Esta convergencia sólo es una sugerencia cuando tendemos al límite.

Ahora bien, si afirmamos que sí se alcanza tal límite con $$w$$, entonces eso implica que:

$$w=S(n-1)=S(n)$$, dado que, sólo en el límite, se da que: $$S(n)-S(n-1)=0$$

En consecuencia: el primer ordinal transfinito se alcanzaría cuando encontráramos un conjunto sucesor cuyo valor fuera el mismo que su conjunto sucesor, de modo que ambos elementos serían uno y el mismo. Hecho que nos lleva a contradicciones y ambigüedades, pero también nos permite aceptar la existencia del conjunto límite de los sucesores: el conjunto de todos los ordinales naturales.

Aquí ya te has desmelenado y todo lo que escribes es un despropósito tras otro. Hablas de cardinales que no has definido, de cocientes entre números naturales que no has definido (bueno, has copiado una definición correcta, pero que no entiendes y no has deducido nada de ella que justifique nada de lo que dices luego), hablas de límites de números reales de los que no has hablado y luego te planteas "sugerencias". En matemáticas, las cosas son como son, no como las musas te sugieren que podrían ser.

- Varias propiedades significativas de $$w$$ que aparecen a raíz de esto:

1) $$w$$ no tiene un predecesor menor $$p| w=S(p), p<w, p\in{w}\wedge S(p)\not\in S(p)$$.

2) Al carecer de un predecesor menor es imposible construirlo mediante la operación de sucesión (contando uno a uno). Por tanto, cumple el requisito de ser el primer ordinal transfinito.

4) Ahora bien, $$w$$ se tiene a sí mismo como predecesor y, a la vez, como sucesor. Por tanto, según el punto 4, ¿acaso $$w$$ no debe ser un elemento de él mismo dado que es el menor conjunto de todos los sucesores?

3) Dado que $$w$$ tiene un sucesor, aunque éste NO es mayor porque es él mismo,  $$w$$ no tiene un último elemento, porque ya no está definido qué es un último elemento.

Todo esto lo podría haber escrito Hegel. Y ésta es mi última intervención en este hilo. No tiene sentido que sigas escribiendo mensajes largos para que yo te ponga en rojo todo lo que no te copias de Chat GPT y tal vez parte de lo que te copias también, porque no es muy de fiar. Ya deberías ir viendo la magnitud de la tragedia: no es que te equivoques en un paso u otro, es que nada de lo que dices tiene sentido, ni rigor matemático ni vale un comino desde un punto de vista matemático.

En particular, eso de que \( \omega \) se tiene a sí mismo como predecesor y como sucesor, te lo sacas de la manga (bueno, de tus disparates sobre límites que no entiendes, pero como si fuera tu manga).

Feriva te ha puesto un vídeo en el que se contruyen los ordinales seriamente. No lo he visto con detalle, porque el que habla es más lento que el caballo del malo, pero así por encima parece que no diga nada que chirríe. Igual te puede servir para contrastar lo que tú planteas con lo que es un planteamiento serio.

Lo dicho: si alguien se cree con fuerzas para desenmarañar la maraña de disparates que yuxtapones con tanta ligereza, le cedo el relevo. Yo he visto fracasar a otros antes que yo en su intento de hacerte entender algo y no me creo en mejores condiciones de tener éxito. Te he respondido estas dos veces para darte la oportunidad de ver lo lejos que estás de decir algo coherente: casi todo lo que dices acaba en rojo porque no tiene sentido o no tiene el mínimo rigor exigible en matemáticas. Y no es una frase o dos, es casi todo. Así no tiene nada de extraño que veas paradojas, contradicciones y misterios en todas partes. Es lo que pasa cuando tratas con cosas que no entiendes. Ahora está en tu mano digerir que tus intentos de razonamiento matemático están corruptos hasta la médula, o bien seguir engañándote a ti mismo y decirte que tienes las ideas claras, pero te cuesta un poco "formalizarlas". No es eso. Lo que se deduce de lo que escribes es que no entiendes nada de nada. Sé que suena duro, crudo, tal vez molesto, pero ésta es la verdad y no tengo ningún sucedáneo que ofrecerte en su lugar.

[Richard R Richard]

Claro que sí, un ordinal es el conjunto de todos ordinales menores a él, es un conjunto de conjuntos así que por definición existe el conjunto de los ordinales.

Pues no existe, porque el conjunto de todos los ordinales no es un conjunto sino una clase.

Ok, he leído  ahora lo que es una clase,  pero puedes diferenciar  lo que tu me contestaste "conjunto de todos los ordinales" de lo que yo dije  " conjunto de todos ordinales menores a él", porque me contestaste con lo que yo no decía, lo que tu dices tiene que ser aclarado que un conjunto no puede contenerse a sí mismo, pero lo que yo dije es obvio que no hace falta. Eso hace que desde mi punto de vista no vea paradoja y del tuyo ves la de  Burali-Forti...

Todas las veces que he leído a alguien que consulta a  GPT , termina debatiendo  el por qué no es cierto lo que allí lee, consejo ...no siempre ese algoritmo define  las cosas bien, que te sirva de base para buscar lo que quieres aprender, pero no aprendas de allí.

- Paradoja de Burali-Forti:
  - Intentar construir el conjunto de todos los ordinales lleva a una contradicción.
  - La paradoja muestra que tal conjunto no puede existir, ya que siempre habría un ordinal mayor que cualquier ordinal en el conjunto.

- Resolución:
  - La teoría de conjuntos moderna resuelve esto mediante la distinción entre conjuntos y clases propias.
  - Los ordinales forman una clase propia, lo que evita la paradoja.

Esta paradoja es una de las razones por las cuales la teoría de conjuntos ha desarrollado conceptos como clases propias y axiomas que restringen cómo se pueden formar conjuntos para evitar inconsistencias.

Mas claro que el agua clara.

No sé, pero es claro que $$w=\Bbb N$$ por el principio de extensión. ¿Si dos conjuntos contienen los mismos elementos son el mismo conjunto, no? De hecho, me parece recordar, cuando se construye el conjunto de los naturales también se construye como $$w$$:

Yo lo veo distinto, $$\Bbb N$$  es el conjunto de los naturales, pero $$\omega$$ es el ordinal que contiene a todos los ordinales que estan relación biyectiva con los números naturales, pero que son menores a él, luego él no está en el conjunto de los naturales por eso es el menor de todos los transfinitos respetando el buen orden.

Ojo, creo el 99.99% de lo que he dicho seguro no pasa el filtro de los que aquí saben de matemáticas, en el modo en que escribo para dar definiciones seguro hay que ser mucho mas preciso, o a veces es el léxico elegido no es exacto y otras tanto las conclusiones no son las correctas. Pero  si no se intenta no se aprende. Así que o son muy complasivos y pensarán "ya va a aprender" o creen que no tengo remedio...

En fin, si no se acepta que $$w$$ sea un elemento de los naturales, únicamente, es porque no se acepta que el número de todos los naturales sea un número natural. Nada más. Y, ciertamente, es el primer número que no podemos generar a través de un proceso de uno a uno, es decir, iterativamente o mediante sucesores ¿Pero es esa razón suficiente para no considerarlo un natural? Tengo mis dudas si consideramos que los números son conjuntos, y por ello, elementos que ocupan posiciones en otros conjuntos. ¿no te parece?

No lo sé , no lo tengo claro.

1) Cuando decimos que podemos listar todos los naturales y biyectarlos con otros conjuntos del mismo tamaño para enumerarlos, por ejemplo con el conjunto de los números primos, suponemos que a todos los primos  se le asignará un natural que los enumera. Y sin embargo, hay más primos que naturales porque el conjunto de todos los primos  no tiene un número natural de elementos, sino más ¿Como vamos a poder asignar un natural a una lista de números que es mayor que cualquier natural?

2) Obviamente, luego tu replicarás: -¡Pues porqué hay más números naturales que un número natural de elementos!-

3) Y te respondo: -Pero cómo van a ser naturales estos elementos de más que tendría el conjunto de naturales  si ya no ocupan una posición natural sino una de más grande!-

4) Y tu me responderías: -Es que sí son naturales y cada uno ocupa una posición natural-

5) Y mi duda es: -Pero si son naturales y ocupan posiciones naturales, y sólo hay naturales, entonces toda posición (y todo elemento) del conjunto será natural, con lo cual no tiene sentido decir que el número de naturales  del conjunto es mayor que cualquier natural, porque todo lo que contiene son naturales que ocupan una posición natural y nada más-

6) Y agregarías: -Pero como no hay un último natural, siempre habrá uno de mayor; entonces el conjunto de los naturales no puede tener un número de elementos que podamos contar y, por consiguiente, que sea natural. Siempre será mayor que cualquier número que podamos contar o generar por sucesión. Por tanto el número de elementos que ocupan una posición en el conjunto de naturales no puede ser natural-

7) Y finalmente te diría: -Pues, perfecto, volvemos a empezar-

Es que esa conversación no la tendríamos, a mi parecer el conjunto de los números primos está incluido en el de los Naturales, por lo que debería ser una lista menor no mayor, pero bueno como son cosas de biyecciones de conjuntos infinitos, supongo que ambos deben tener el mismo cardinal $$\aleph_0$$ pero allí lo dejo para otro hilo.

Sencillamente 2 es correcta para cualquier natural N que se te ocurra, por el hecho de que existe siempre otro mayor N+1. y eso mismo responde de fondo lo que planteas en 5, siempre hay mas posiciones que cualquier posición que elijas.  En el resto hay  matices que discrepo.

Pregunto si aceptas que
$$3=\{0,1,2\}$$  y que $$3\notin \{0,1,2\}$$

porque no aceptas que

$$\omega=\{0,1,2,3,...\}$$  entonces  $$\omega \notin \{0,1,2,3,... \}$$  Sino a estás alturas no sé que estamos debatiendo. Ah... sí que  dado
$$\{\dfrac11,\dfrac54,\dfrac {49}{36},...\}$$ en biyección con cada elemento de $$\{0,1,2,3,...\}$$  entonces $$\dfrac{\pi^2}{6}\notin  \{\dfrac11,\dfrac54,\dfrac {49}{36},...\}$$


Saludos

[feriva]

Un detalle muy simple pero que se te está pasando, RDC.

Cuando se habla de “n” aquí, se habla de cualquier número natural en general, de tal modo que lo que digas se tiene que cumplir para todos; salvo que especifiques alguna salvedad.

Si defines \( S(n-1) \), también defines (n-1) y no es cierto que exista en general un natural (n-1), ya que, el cero no es sucesor de nadie, es el mínimo; y como “n” es cualquier número, también el cero, estás diciendo que \( 0-1=-1 \) es un número natural.

Sí sería cierto decir algo así \( \forall n>0\,\exists S(n-1) \), pero, en cualquier caso, va a ser más difícil definir los naturales desde “arriba”.

Piénsalo con Peano, si quieres inducir hacia atrás, vas a tener que acotar, porque no puedes pasar de cero y, entonces, como siempre vas a partir de un “n” (finito) la cantidad de “enes” en la inducción tendrá que ser finita. Así, en un ejercicio práctico donde se quiera demostrar algo, surge el inconveniente de que es difícil caracterizar “n” (las letras no saben quiénes son, se lo tienes que decir tú; “n” no sabe si es natural, entero u otra cosa sino se lo dices). Entonces, eso que haces o algo parecido se podría aprovechar para otras cuestiones, como cuando se demuestra algo por descenso al infinito, pero no lo puedes usar para definir los naturales (al menos sin añadir más).

Con los ordinales grandes es igual, todos tienen siguiente y nadie habla, al menos en general, de anteriores.

Aparte de ordinales vistos como tales (donde el orden es crucial, como es lógico) si te fijas, sería una equivocación pretender que la unión de conjuntos de colores \( \mathbb{N} \), \( \mathbb{{\color{green}N}} \), \( {\color{purple}\mathbb{N}} \)... fuera un conjunto distinto del de los naturales y, por tanto, con distinto cardinal. Por ello, en consecuencia, también sería un error pensar en un último de elemento de \( \mathbb{N} \) cuyo siguiente estuviera en \( \mathbb{{\color{green}N}} \). Esta idea no tiene sentido ni tiene nada que ver con el buen orden de los ordinales, por eso no lleva a ninguna paradoja. Más bien, la idea de los ordinales transfinitos sería parecida a esto otro   \( {\color{blue}\{1,2,3...\}=\mathbb{N}} \) ; {\( {\color{blue}1,2,3...,\mathbb{N}} \)} = \( \mathbb{{\color{green}N}} \)... Donde los siguientes se van formando metiendo los “N” de colores de uno en uno. Si exceptúas el primero \( 1,2,3,... \) y te refieres a los otros, entonces existe el anterior en general; pero tienes que hacer la excepción.

Saludos.