[RDC]

Spoiler

1) Por el axioma de extensionalidad se considera que $$w$$ y $$\Bbb N$$ son el mismo conjunto, dado que contienen los mismos elementos.

No has definido ni \( \omega \) ni \( \mathbb N \), así que esto no significa nada. Lo pongo en rojo, pues.

2) De un par de post atrás se vuelven a copiar los axiomas sobre los cuales poder generar el conjunto de los naturales, y por ende el de ordinales:

Hay muchos más ordinales que naturales, luego ese "por ende" no tiene sentido, y sigues hablando de cosas que no has definido. Sigo a la espera de que digas algo con sentido.

En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF), el conjunto de los números naturales \(\mathbb{N}\) se genera a partir de los axiomas utilizando una construcción que se basa en los ordinales y la definición recursiva. Veámoslo:


1. Axioma del Conjunto Vacío:
   - El axioma del conjunto vacío garantiza la existencia de un conjunto vacío \(\emptyset\), que es el punto de partida para construir los números naturales.
   - Se define el número natural 0 como el conjunto vacío:
     \[
     0 = \emptyset
     \]

2. Axioma del Par:
   - Este axioma permite construir un conjunto que contiene dos elementos dados. Es importante para construir sucesores.
   - Aunque el axioma del par no se usa directamente en la construcción de \(\mathbb{N}\), es parte fundamental de la estructura general de ZF.

3. Axioma de la Unión:
   - Este axioma permite la unión de conjuntos. Es fundamental en la construcción de números naturales sucesivos.

4. Definición Recursiva de Sucesores:
   - El sucesor de un número natural \(n\) se define como:
     \[
     S(n) = n \cup \{n\}
     \]
   - Esta definición crea un nuevo conjunto que incluye a todos los elementos de \(n\) y también al conjunto \(n\) como un nuevo elemento.

   - Por ejemplo:
     \[
     1 = S(0) = 0 \cup \{0\} = \emptyset \cup \{\emptyset\} = \{\emptyset\} = \{0\}
     \]
     \[
     2 = S(1) = 1 \cup \{1\} = \{\emptyset\} \cup \{\{\emptyset\}\} = \{0, 1\}
     \]
     \[
     3 = S(2) = 2 \cup \{2\} = \{0, 1\} \cup \{\{0, 1\}\} = \{0, 1, 2\}
     \]
     ....
     $$n=S(n-1)=\left\{{0,1,2,...,n-1}\right\}$$
     $$S(n)=\left\{{0,1,2,...,n}\right\}$$

Esto está casi todo bien, porque está copiado de Chat GPT, aunque te pongo en rojo la mención a los números naturales no definidos.

En este sentido, no tenemos números naturales ni conjuntos finitos, lo que tenemos son conjuntos bien ordenados construidos por inducción a partir de $$\emptyset$$ y mediante la operación recursiva de sucesión $$S(n)$$.

Te lo dejo en negro, pero hay que matizar que no tienes una única definición de nada. Tienes una definición distinta para cada número natural distinto. Tienes la definición del 0, la definición del 1, la definición del 2, etc., pero no has definido nada del estilo de "un conjunto es un número natural si...".

Por tanto, cabe definir que un conjunto $$n$$ es un conjunto finito (un número natural), si y solo si, es un conjunto sucesor que, además del $$\emptyset$$, contiene sólo sucesores que tienen predecesores menores: $$n=S(n-1)$$,  tal que $$n-1<n|n=\left\{{0,1,2,...,n-1}\right\}\longrightarrow{n\not\in S(n-1)} $$. Y a la vez $$n$$ pertenece a su sucesor, $$S(n)$$, tal que $$n<S(n)|S(n)=\left\{{0,1,2,...,n}\right\}\longrightarrow{S(n)\not\in S(n)} $$

Esto ya es de tu cosecha y son todo disparates. Todo en rojo. No puedes identificar "conjunto finito" con "número natural". Por ejemplo, \( \{1, 5, 7\} \) es un conjunto finito, pero no es un número natural. Con eso, ni has definido lo que es un conjunto finito, ni has definido lo que es un número natural. En particular, dices "menores" cuando no has definido "menor", ni has definido \( \{0, 1, 2, \ldots, n-1\} \), ni has definido \( n-1 \).

En resumen: de toda esa jerigonza que has escrito es imposible extraer una fórmula del lenguaje de la teoría de conjuntos con la que se pueda decir: se dice que un conjunto n es un número natural si y sólo si n cumple bla, bla, bla. Para tener algo así tendrías que definir "menor", entre otras cosas, y el uso que haces de los puntos suspensivos, que convierten tu "definición" en un círculo vicioso, etc.

5. Axioma del Infinito:
   - Este axioma asegura la existencia de un conjunto que contiene al conjunto vacío \(\emptyset\) y es cerrado bajo la operación de sucesor.
   - Formalmente, existe un conjunto \(I\) tal que:
     \[
     \emptyset \in I \quad \text{y} \quad \forall n \in I \, (S(n) \in I)
     \]
   - El conjunto \(I\) que satisface estas propiedades es un conjunto inductivo, y \(\mathbb{N}\) se define como la intersección de todos los conjuntos inductivos, lo que garantiza que \(\mathbb{N}\) es el conjunto más pequeño que contiene al vacío y es cerrado bajo sucesión.

6. Conjunto de los Números Naturales:
   - Finalmente, el conjunto de los números naturales \(\mathbb{N}\) se define como:
     \[
     \mathbb{N} = \{ n \mid n \text{ es un conjunto

 construido a partir de 0 mediante sucesores} \}
     \]
   - Formalmente, \(\mathbb{N}\) es el conjunto que contiene a \(0\) y todos sus sucesores bajo la operación \(S(n)\).

Dado que $$\Bbb N=w$$ m, al contener los mismos elementos, entonces los puntos 5 y 6 para construir $$w$$ son los mismos:


5. Axioma del Infinito y Construcción de \(\omega\)

El Axioma del Infinito asegura la existencia de un conjunto \(I\) que contiene al conjunto vacío y es cerrado bajo la operación de sucesor:

- Axioma del Infinito:
  \[
  \exists I \, \left( \emptyset \in I \, \land \, \forall x \, (x \in I \implies S(n) = n \cup \{n\} \in I) \right)
  \]

- \(\omega\) es el conjunto más pequeño que cumple esta condición:
  \[
  \omega = \{n \in I \mid n \text{ es el conjunto que contiene 0 y a todos los sucesores} S(n)\}  \]

6. Formalización Completa de \(\omega\)

Finalmente, \(\omega\) se define como el conjunto de todos los ordinales sucesores, es decir, todos los ordinales construidos mediante sucesores a partir de \(0\):

\[
\omega = \{0, 1, 2, 3, \ldots\} = \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\{\emptyset\}\}\}, \ldots\}
\]

7. Propiedades de \(\omega\)

- Ordinal Límite: \(\omega\) es un ordinal límite, es decir, no es el sucesor de ningún ordinal. Formalmente, no existe un \(n\) tal que \(\omega = S(n)\).
- Bien Ordenado: El conjunto \(\omega\) está bien ordenado por la inclusión: cada subconjunto no vacío de \(\omega\) tiene un mínimo.

En el párrafo anterior te he puesto en azul una definición correcta de \( \mathbb N \) y en rojo varias que no tienen sentido. El hecho de que las pongas todas juntas da a entender que no entiendes lo que estás escribiendo y que la correcta es correcta simplemente porque así te lo ha dicho Chat GTP, pero lo que dices justo a continuación muestra que justo esa definición correcta es la que no entiendes:

Antes de nada confieso que del punto 4 al 5 veo un salto mortal que no logro entender cómo se puede justificar mediante los axiomas ZF, la operación de sucesión $$S(n)$$ y la inducción. ¿Se justifica simplemente por el axioma de Unión: varios conjuntos siempre se pueden unir en un único conjunto? Y aún así tengo mis dudas, porque no está claro que existan "todos los conjuntos sucesión", dado que no hay uno de último.

Has leído "conjunto inductivo" y has interpretado "justificar la inducción", pero lo que pone es una cosa, y lo que tú interpretas, otra muy distinta. Te pongo el párrafo en rojo porque tus dudas no son dudas propiamente dichas que puedan responderse, sino que son dudas sobre una interpretación completamente delirante de lo que Chat GTP te ha puesto más o menos decentemente (si es que lo que te he puesto en rojo no es culpa suya también, que todo podría ser).

Pero bueno, aceptemos su existencia:

\[\omega = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} S(n)\]

Entonces para $$\forall{n}\in{w}$$, tomamos él mismo como conjunto y su conjunto sucesión:

$$n=S(n-1)=\left\{{0,1,2,...,n-1}\right\}$$
$$S(n)=\left\{{0,1,2,...,n}\right\}$$

Vemos que la diferencia entre ambos conjuntos sucesivos es:

$$S(n)-S(n-1)=\left\{{n}\right\}$$

Y, ¿hacia donde convergen los elementos de ambos conjuntos sucesivos?

Para responder a eso aplicamos el concepto de "convergencia de conjuntos" del siguiente modo:

Si $$n$$ se va haciendo cada vez mas y más grande ello significa que el valor de $$\left\{{n}\right\}$$ es mucho menos significativo en términos relativos:

  \[ \lim_{n \to \infty} \frac{|s(n+1) - s(n)|}{|s(n+1)|} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0     \]

¿No sugiere esto que, en el límite, los conjuntos se comportan "como si" fueran el mismo, porque la diferencia relativa tiende a cero?

Obviamente, si no se alcanza el límite, entonces ambos conjuntos sucesivos nunca se comportarán exactamente como un mismo conjunto. Esta convergencia sólo es una sugerencia cuando tendemos al límite.

Ahora bien, si afirmamos que sí se alcanza tal límite con $$w$$, entonces eso implica que:

$$w=S(n-1)=S(n)$$, dado que, sólo en el límite, se da que: $$S(n)-S(n-1)=0$$

En consecuencia: el primer ordinal transfinito se alcanzaría cuando encontráramos un conjunto sucesor cuyo valor fuera el mismo que su conjunto sucesor, de modo que ambos elementos serían uno y el mismo. Hecho que nos lleva a contradicciones y ambigüedades, pero también nos permite aceptar la existencia del conjunto límite de los sucesores: el conjunto de todos los ordinales naturales.

Aquí ya te has desmelenado y todo lo que escribes es un despropósito tras otro. Hablas de cardinales que no has definido, de cocientes entre números naturales que no has definido (bueno, has copiado una definición correcta, pero que no entiendes y no has deducido nada de ella que justifique nada de lo que dices luego), hablas de límites de números reales de los que no has hablado y luego te planteas "sugerencias". En matemáticas, las cosas son como son, no como las musas te sugieren que podrían ser.

- Varias propiedades significativas de $$w$$ que aparecen a raíz de esto:

1) $$w$$ no tiene un predecesor menor $$p| w=S(p), p<w, p\in{w}\wedge S(p)\not\in S(p)$$.

2) Al carecer de un predecesor menor es imposible construirlo mediante la operación de sucesión (contando uno a uno). Por tanto, cumple el requisito de ser el primer ordinal transfinito.

4) Ahora bien, $$w$$ se tiene a sí mismo como predecesor y, a la vez, como sucesor. Por tanto, según el punto 4, ¿acaso $$w$$ no debe ser un elemento de él mismo dado que es el menor conjunto de todos los sucesores?

3) Dado que $$w$$ tiene un sucesor, aunque éste NO es mayor porque es él mismo,  $$w$$ no tiene un último elemento, porque ya no está definido qué es un último elemento.

Todo esto lo podría haber escrito Hegel. Y ésta es mi última intervención en este hilo. No tiene sentido que sigas escribiendo mensajes largos para que yo te ponga en rojo todo lo que no te copias de Chat GPT y tal vez parte de lo que te copias también, porque no es muy de fiar. Ya deberías ir viendo la magnitud de la tragedia: no es que te equivoques en un paso u otro, es que nada de lo que dices tiene sentido, ni rigor matemático ni vale un comino desde un punto de vista matemático.

En particular, eso de que \( \omega \) se tiene a sí mismo como predecesor y como sucesor, te lo sacas de la manga (bueno, de tus disparates sobre límites que no entiendes, pero como si fuera tu manga).

Feriva te ha puesto un vídeo en el que se contruyen los ordinales seriamente. No lo he visto con detalle, porque el que habla es más lento que el caballo del malo, pero así por encima parece que no diga nada que chirríe. Igual te puede servir para contrastar lo que tú planteas con lo que es un planteamiento serio.

Lo dicho: si alguien se cree con fuerzas para desenmarañar la maraña de disparates que yuxtapones con tanta ligereza, le cedo el relevo. Yo he visto fracasar a otros antes que yo en su intento de hacerte entender algo y no me creo en mejores condiciones de tener éxito. Te he respondido estas dos veces para darte la oportunidad de ver lo lejos que estás de decir algo coherente: casi todo lo que dices acaba en rojo porque no tiene sentido o no tiene el mínimo rigor exigible en matemáticas. Y no es una frase o dos, es casi todo. Así no tiene nada de extraño que veas paradojas, contradicciones y misterios en todas partes. Es lo que pasa cuando tratas con cosas que no entiendes. Ahora está en tu mano digerir que tus intentos de razonamiento matemático están corruptos hasta la médula, o bien seguir engañándote a ti mismo y decirte que tienes las ideas claras, pero te cuesta un poco "formalizarlas". No es eso. Lo que se deduce de lo que escribes es que no entiendes nada de nada. Sé que suena duro, crudo, tal vez molesto, pero ésta es la verdad y no tengo ningún sucedáneo que ofrecerte en su lugar.

[cerrar]

Entiendo la confusión, Carlos.

Intentaré mejorar para demostrar que no hace falta definir al conjunto de los naturales o el de ordinales, con definir $$A$$ como "el conjunto de todos los conjuntos sucesión $$S(n)$$ basta.

Definir el conjunto A, llamado el conjunto de todos los conjuntos sucesores S(n) (o bien, conjunto límite de todos los conjuntos sucesores):

1) Se parte del axioma del conjunto vacío para garantizar la existencia de un elemento original, $$\emptyset$$, que llamamos 0 al identificarlo con el símbolo "0":

$$\emptyset=0$$


2) Dado un elemento $$n$$, entonces mediante el axioma de unión, se define "la operación recursora de sucesión", y con ella se define al conjunto sucesor $$S(n)$$:

$$S(n)=n \cup{\left\{{n}\right\}} $$

-Un conjunto es un "conjunto sucesor", $$S(n)$$, si y solo si se construye mediante esta operación de sucesión.

-Definimos el elemento $$n$$, o elemento predecesor: $$n$$ o bien es el conjunto vacío o bien es un conjunto sucesor cuyas propiedades se especifican más abajo.

-Dado $$n$$ siempre existe $$S(n)$$.


3) Mediante el conjunto vacío y la operación de sucesión se genera el primer conjunto sucesor, llamado 1:

$$S(\emptyset)=\emptyset\cup{\left\{{\emptyset}\right\}}$$

A este primer conjunto sucesor $$S(\emptyset)$$ lo podemos identificar con el símbolo 1:

 $$S(\emptyset)=1$$


4) Definimos el elemento predecesor de S(n):

4.a Dado un conjunto sucesor $$S(n)=n\cup{\left\{{n}\right\}}$$, $$n$$ es el elemento predecesor de $$S(n)$$.

4.b Definimos "el conjunto sucesor predecesor de un conjunto sucesor": $$n=S(n-1)|n\neq 0 \wedge n\neq 0\Leftrightarrow{n\not\subseteq{0}}$$

4.c $$S(n-1)$$ siempre cumple:

$$S(n)-S(n-1)=\left\{{n}\right\}|n\neq 0$$

De aquí se desprende que:

4.c1 Un conjunto sucesor nunca está contenido en su conjunto sucesor predecesor.

\( S(n)\not\subseteq{S(n-1)} \)

4.c2 El conjunto predecesor de un conjunto sucesor siempre está contenido en él:

\( S(n-1)\subseteq{S(n)} \)

4.c3 Dados dos conjuntos sucesores diferentes $$S(n_i), S(n_j)$$, siempre habrá uno, llamado el conjunto menor, que estará contenido en el otro:

$$S(n_i)\subseteq{S(n_j)}\Leftrightarrow{S(n_i)<S(n_j)}$$

4.d El conjunto sucesor nunca es un elemento de sí mismo.

\( S(n)\not\in S(n) \)

5) Propiedades de un conjunto sucesor $$S(n)$$

- Está bien ordenado
- Es transitivo
- Siempre contiene todos los elementos de sus conjuntos predecesores.
- El 0 siempre es el menor elemento de cualquier $$S(n)$$ por ser el elemento original de la operación recursiva de sucesión.
-No es un elemento de sí mismo
-Siempre existe un conjunto sucesor mayor que lo contiene.


5) Construcción de conjuntos sucesión (ejemplos):

 \[   S(0) = 0 \cup \{0\} = \emptyset \cup \{\emptyset\} = \{\emptyset\} = \{0\}     \] Y lo llamamos 1 al identificarlo con el símbolo 1
     \[
      S(1) = 1 \cup \{1\} = \{\emptyset\} \cup \{\{\emptyset\}\} = \{0, 1\}
     \] Y lo llamamos 2 al identificarlo con el símbolo 2.
     \[
     S(2) = 2 \cup \{2\} = \{0, 1\} \cup \{\{0, 1\}\} = \{0, 1, 2\}
     \] Y lo llamamos 3, al identificarlo con el símbolo 3.
     ....

Esta construcción se generaliza:   

 $$n=S(n-1)=\left\{{0,1,2,...,n-1}\right\}\Leftrightarrow{\exists{S(n)}|S(n)=\left\{{0,1,2,...,n}\right\}}$$, donde los puntos suspensivos entre comas significan "se suceden elementos hasta alcanzar el elemento predecesor".
     

6. Por el axioma del infinito se establece la existencia del conjunto $$I$$ que contiene al conjunto vacío \(\emptyset\) y es cerrado bajo la operación de sucesor.
   
Existe un conjunto \(I\) tal que:     \[     \emptyset \in I \quad \text{y} \quad \forall n \in I \, (S(n) \in I)     \]

   - El conjunto \(I\) que satisface estas propiedades es un conjunto inductivo, y $$A$$, el conjunto de TODOS los conjuntos sucesores, se define como la intersección de todos los conjuntos inductivos, lo que garantiza que $$A$$ es el conjunto más pequeño que contiene al vacío y es cerrado bajo sucesión.

Tenemos, pues, el conjunto A como conjunto inductivo que contiene a 0 y es cerrado bajo sucesión:

Siendo $$n_i$$ un conjunto sucesor cualquiera, $$n_i=S(n_i-1)=\left\{{0,1,2,...,n_i-1}\right\}$$, entonces pertenece a A:

$$S(n_i-1)\subseteq{A}$$

Con lo cual, el sucesor de $$n_i$$, $$S(n_i)=\left\{{0,1,2,...,n_i}\right\}$$ también pertenece a A:

$$S(n)\subseteq{A}$$

De modo que:

$$S(n_i)-S(n_i-1)=\left\{{n_i}\right\}|n_i\neq 0$$.   (4.c)

En la medida que $$n_i$$ se hace más y más grande grande, y por tanto contiene más y más conjuntos sucesores, de forma relativa él y su conjunto sucesor, $$S(n_i)$$, se van pareciendo más y más, o se vuelven más  y más indistinguibles.  De aquí que si $$A$$ existe como conjunto límite de todos los conjuntos sucesores, entonces, ello implique $$A=S(n_i)=S(n_i-1)$$.

Al final, ¿Acaso no es lo mismo que ocurre si se acepta la geometría proyectiva y el infinito como punto límite que puede ser alcanzado: entonces se acepta que dos líneas paralelas se crucen en tal punto? Pues, aquí lo mísmo. EL $$conjunto A$$ implica hacer un salto muy dudoso, por contradictorio y ambiguo, pero entiendo que util para concebir y manejar ciertas cosas.


un saludo


 

[Carlos Ivorra]

Entiendo la confusión, Carlos.

No. El problema es que no entiendes nada, pero te resistes a asumirlo. No es nada vergonzoso. Si yo me pusiera a discutir con un neurocirujano sobre un problema de neurocirugía sin más base que lo que me dijera ChatGTP, le diría disparates del mismo calibre de los que dices tú.

Intentaré mejorar para demostrar que no hace falta definir al conjunto de los naturales o el de ordinales, con definir $$A$$ como "el conjunto de todos los conjuntos sucesión $$S(n)$$ basta.

Si crees que puedes argumentar cosas sobre el conjunto de los números naturales sin definir el conjunto de los números naturales, ya has dicho suficiente. Todo lo que sigue es más de lo mismo. Te resistes a entender que lo que tratas de expresar es esencialmente un sinsentido, que no se va a arreglar por que cambies un poco la redacción. No es una idea sensata mal expresada. Es un sinsentido perfectamente expresado, en el sentido de que lo que dices se corresponde perfectamente con el sinsentido que pretendes expresar.

Como ya te dije, yo no voy a comentar más tus textos delirantes. Sería una pérdida de tiempo para ti y para mí.

[feriva]

Siempre nos quedarán los números reales.

\( a=3,4000003... \)

\( b=3,4000008... \)

Entre esos números tan parecidos cabe uno intermedio, como, por ejemplo, éste \( 3,4000005 \).

Detrás le podemos colocar las cifras que sea, seguirá siendo intermedio, pues el cinco no se mueve de ahí. Podemos ponerle infinitas cifras detrás y variarlas con repetición; en base dos tendremos \( 2^{\aleph_{0}} \) números distintos asociados solamente a ese número intermedio.

Pero, ahora, dando un salto, podemos tomar un intervalo interior a ése, un intervalo más corto, por ejemplo:

\( a=3,40000039... \)

\( b=3,40000070... \)

En este intervalo también vamos a encontrar bloques de números distintos (asociados a los números intermedios) con una cantidad \( 2^{\aleph_{0}} \). Pero va a haber menos bloques, dado que el intervalo es más corto; el otro encierra a éste.

Si ahora pensamos en ir dando saltos de longitud mínima hasta dar infinitos de ellos (que ahora después explico lo que quiero decir con "mínima") llegaremos a un intervalo tan corto que estará al límite de ser un punto o una cantidad finita de éstos.

El salto mínimo quiere decir que si ahora diéramos un salto más para estrechar el intervalo, pasaríamos de un segmento de infinitos puntos a uno de una cantidad finita.

La gran pregunta es: ese segmento límite de infinitos puntos... ¿es numerable o no numerable?

Si es numerable, se podrá biyectar con los elementos del cardinal omega, u omega más uno, etc. (pero elegimos omega, para poder contar por orden). Y, en este caso, podremos ir añadiendo omega más 1, etc., y cubriendo así el continuo sin dejar huecos. De esta forma, podríamos “numerar” los bloques de infinitos números reales con bloques numerados de naturales (naturales todos distintos en cada bloque, no entre todos los bloques).

No hace falta darle vueltas a los naturales ni a los ordinales, no tienen problema (si se quiere profundizar en la teoría, se puede hacer, pero para entender para qué los quería Cantor... no necesita mucha teoría). El misterio no está en los naturales ni en los ordinales, está en los reales, en el continuo. Los ordinales suponen una herramienta que será necesaria para el que trate de demostrar algo sobre eso ( pero para resolver una serie, y cosas así, no sirven para nada).

Saludos.

[feriva]

Claro que sí, un ordinal es el conjunto de todos ordinales menores a él, es un conjunto de conjuntos así que por definición existe el conjunto de los ordinales.

Pues no existe, porque el conjunto de todos los ordinales no es un conjunto sino una clase.

Ok, he leído  ahora lo que es una clase,  pero puedes diferenciar  lo que tu me contestaste "conjunto de todos los ordinales" de lo que yo dije  " conjunto de todos ordinales menores a él", porque me contestaste con lo que yo no decía, lo que tu dices tiene que ser aclarado que un conjunto no puede contenerse a sí mismo, pero lo que yo dije es obvio que no hace falta. Eso hace que desde mi punto de vista no vea paradoja y del tuyo ves la de  Burali-Forti...

Hola, Richard.

Te comento algo sobre esto (está relacionado con el hilo de Carlos, pero es un ejemplo, no es formal, por eso lo hago aquí).

No sé muy bien cómo va la paradoja en este caso, con ordinales, la conozco con el conjunto de partes.

Considera el conjunto A={0,1,2}

Este conjunto tiene como elementos a 0,1,2; y el vacío está contenido, lo que es esto {} sin nada dentro.

El conjunto de Partes de A toma como elementos a las combinaciones sin repetición de los elementos de A; combinaciones de uno, dos y tres elementos.

Así, de un elemento, tenemos estos conjuntos {}, {0}, {1}, {2}

de dos elementos {0,1}, {0,2}, {1,2}

de tres elementos {0,1,2}.

(dentro de ésos también está el vacío contenido, pero no pertenece como elemento; así, el cardinal del último es 3, no cuatro).

Entonces, el conjunto de Partes de A, es {{}, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2}}

que tiene cardinal 8; y puedes ver que el vacío,{},aquí es una parte que cuenta a la hora de considerar el cardinal, no cuenta como cero, aquí es un elemento y cuenta como uno: cuentas así: uno {}; dos {0}; tres {1} ...; ocho {0,1,2}.

Este conjunto no se pertenece a sí mismo, a él pertenece A={0,1,2}, pero es distinto de A; ya simplemente porque el cardinal es distinto, sin fijarnos en más. Sí que está contenido en sí mismo, como todo conjunto, pero no pertenece, no es elemento de sí mismo.

Para que se perteneciera a sí mismo habría que meterlo dentro como elemento...

\( {{}, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2},{{}, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2},}} \)

Pero este conjunto ya es distinto al anterior, no se pertenece a así mismo como elemento, para que se perteneciera habría que meterlo dentro como elemento... y otra vez pasa igual, no se pertence a sí mismo, porque ya es otro, habría que meterlo otra vez...

Qué ocurre si ahora consideramos el conjunto de Todos los conjuntos que cumplen la propiedad de no pertenecerse a sí mismos. Pues pasa que, por definición, no se pertence a sí mismo, claro; pero si es el de todos, el de todos todos, sí se pertenece a sí mismo. Con esta contradicción, no puede existir entonces el conjunto de Todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos; es la paradoja de Rusell (existe el conjunto de muchos, de tantas partes como quieras, pero no de todas).

No obstante, no deja de existir como una cosa que cumple las dos cosas (las cumple de alguna manera y, por tanto, cumple eso que cumplen los conjuntos normales, aunque no sea un conjunto normal) y ese cosa es una clase universal. Tienes que entenderlo quitando el “recinto” que envuelve a los elementos.

Por lo que veo en internet, la paradoja de Burali Forti bastante similar.

Saludos.

[Richard R Richard]

Gracias, todo lo que estoy leyendo es sorprendente, si no se aclara algo resulta que das cabida a otras cosas, o no quedan definidas,etc.
Bueno que me mantiene entretenido aprendiendo,  alerta buscando significados, y dándome cuenta de las algunas burradas que escribí y sigo escribiendo mientras termino de entender.