Hola argentinator
La verdad es que la notación matemática que se suele enseñar no es perfecta.
De hecho, muchas veces creo que tienen la culpa de muchas confusiones de los estudiantes, antes que los conceptos matemáticos per se.
El sumatorio hasta infinito pretende ser intuitivo, pero encierra sutilezas,
como que en realidad es un límite.
En realidad la notación por sí misma tiene un escollo,
porque todo límite requiere que antes se verifique si realmente hay convergencia.
Asi que la notación
\[ \sum_{k=0}^\infty a_k = L .\]
significa dos cosas:
Primero, que hay una sucesión de sumas parciales
\[ s_n = \sum_{k=0}^n a_k; \qquad n = 0, 1, 2, ...\]
que tiene límite,
y en segundo lugar, que se cumple que:
\[ \lim_{n\to\infty} s_n = L . \]
Y que el limite tienda a infinito de nuevo es pura notación,
porque significa en realidad que:
\[ \forall \epsilon > 0 : \; \exists N\in\mathbb N : \; \forall n > N : \; |s_n - L|<\epsilon .\]
Bueno, esta es la interpretación que se establece a partir dels.XIX una vez definida la noción de
límite. Pero antes de esta noción los matemáticos tanteaban otras ideas.
Ya comenté que Leibniz, por ejemplo, es de los primeros matemáticos en aplicar esta idea de "infinito en acto" cuando presenta su serie:
\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{(-1)^n}{2n+1}}=\displaystyle\frac{\pi}{4} \)
Es clarísimo que Leibniz entiende que
la suma de TODOS los infinitos elementos de la serie da exactamente $$=\displaystyle\frac{4}{\pi}$$. ¿Por qué estoy seguro?
Porque tomar el "infinito en acto" fundamenta toda su metafísica, y la distingue de la de Aristóteles, San Anselmo, Santo Tomás de Aquino o Descartes, entre otros. De aquí, por ejemplo, que la supuesta disferencia entre los "hechos de razón" y los "hechos de experiencia" sea aparente, dice Leibniz, pues visto desde una perspectiva de "infinito en acto", son todos hechos de razón. Y cosas así.
Se sabe que la influencia de Leibniz sobre Euler es notoria, tanto a nivel matemático como filosófico. Por tanto, cabe pensar que Euler piense parejo a Leibniz en este tema. Aún así, si repasamos la demostración que hace Euler del problema de Basilea, ésta no indica que sea una aproximación o un límite, sino que indica claramente que $$\displaystyle\frac{\pi^2}{6}$$ es
la suma de Todos los infinitos componentes de la serie $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{n^2}}$$.
Pero esto no cuadra con la idea de límite, ciertamente, con lo cual hay que buscar una interpretación acorde a la noción de limite y se dice que la seire se aproxima o converge, porque la noción de "
sumar TODOS los infinitos elementos de la serie" carece de sentido en el mundo de los límites.
Aquí, de nuevo, se presenta el dilema que ya plantee en otro hilo cuando tratamos el infinito según el procedimiento empleado para contar elementos:
-1) Si el único procedimiento para contar que permitimos es el contar los elementos iterativamente, es decir, uno por uno (o por partes finitas de elementos), entonces sólo podemos hablar de convergencias y límites. Y carece de sentido hablar de "
sumar todos los infinitos elementos de una serie".
Spoiler
Esto es así porque contando los elementos de una serie infinita uno a uno es imposible llegar a sumar todos los infinitos elementos de la serie.
Si consideramos que A es el conjunto de todas y cada una de las iteraciones de la suma de la seire de Euler, tenemos que $$A=\left\{{1,\displaystyle\frac{5}{2^2},\displaystyle\frac{46}{6^2},...}\right\}$$. Sabemos que A tiene mínimo, pero ¿tiene máximo?
Lo que sí tiene es supremo: $$\displaystyle\frac{\pi^2}{6}$$.
Pero se considera que no tiene máximo porque el conjunto carece de un último elemento. Y como carece de un último elemento, entonces se considera que la expresión $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{n^2}}=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}$$, es una imprecisión porque no existe tal suma infinita. Lo que existen son infinitas sumas parciales que van convergiendo indefinidamente hacia dicho resultado.
Si permitimos otros procedimientos para contar entonces, quizás la cosa puede cambiar.
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Para explorar este punto 2, tomamos la serie de Euler y sobre ella hacemos:
a) Generamos el conjunt $$A=\left\{{a_n|a_n=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{n^2}}}\right\}=\left\{{1,\displaystyle\frac{5}{2^2},\displaystyle\frac{46}{6^2},...}\right\}$$
b) Generamos el conjunto $$B=\left\{{b_i| i\in{\Bbb R^+}\wedge 1\leq{b_i}\leq{\displaystyle\frac{\pi^2}{6}}}\right\}=\left\{{1,...,\displaystyle\frac{\pi^2}{6}}\right\}$$
c) Luego obtenemos el conjunto $$C=\left\{{a_{n},...,\displaystyle\frac{\pi^2}{6}|a_{n}\in{A}}\right\}=\left\{{1,\displaystyle\frac{5}{2^2},\displaystyle\frac{46}{6^2},...,\displaystyle\frac{\pi^2}{6}}\right\},C\subset{B}$$
¿Qué obtenemos?-El conjunto A tiene el ordinal de $$w$$-El conjunto B tiene el ordinal $$w_1$$, y por tanto es mucho mayor que el conjunto A.-El conjunto C tiene por ordinal $$w+1$$, por tanto es mayor que el ordinal de A y menor que el ordinal de B.¿Tiene más elementos A que C? No, porque tienen el mismo cardinal. Lo que sucede es que los elementos de ambos conjuntos no están en el mismo orden. Es como comparar el conjunto de los naturales, $$\Bbb N=\left\{{0,1,2,3,4,5,6,...}\right\}$$, con estos conjuntos:
$$N_0=\left\{{1,2,3,4,5,6,7,...,0}\right\}$$
$$N_1=\left\{{0,2,3,4,5,6,7,...,1}\right\}$$
$$N_2=\left\{{0,1,3,4,5,6,7,...,2}\right\}$$
$$N_3=\left\{{0,1,2,4,5,6,7,...,3}\right\}$$
$$N_4=\left\{{0,1,2,3,5,6,7,...,4}\right\}$$
...
$$N_n=\left\{{1,2,3,...,n-1,n+1,...,n}\right\}$$
El conjunto $$\Bbb N$$ tiene orden $$w$$ y los conjuntos $$N_n$$ tiene un orden superior, $$w+1$$. Además, el conjunto $$\Bbb N$$ no tiene máximo, ahora bien, ¿alguno de los conjuntos $$N_n$$ puede tener máximo?
Para que alguno de los conjuntos $$N_n$$ tenga máximo debe darse que $$n>x|x\in{N_n}$$. En este caso no tenemos un $$n$$ definido que cumpla la condición de ser un máximo del conjunto. Pero en el caso del conjunto C sí lo tenemos:
$$C=\left\{{1,\displaystyle\frac{5}{2^2},\displaystyle\frac{46}{6^2},...,\displaystyle\frac{\pi^2}{6}}\right\}$$, y su máximo es $$\displaystyle\frac{\pi^2}{6}$$, dado que $$\displaystyle\frac{\pi^2}{6}>c_n$$
De este modo se puede justificar que el conjunto A y el conjunto C son el mismo conjunto, pero con otro orden: el elemento más grande posible del conjunto A se ha colocado más allá de todos los elementos del conjunto.
Si nos fijamos, pues, tenemos otra forma diferente de representar lo que significa un límite o una serie infinita.
Saludos
