Hola a todos, estoy un poco desesperado. Soy bastante principiante en el tema de la teoría de números, pero tenga mucha curiosidad.
Llevo días buscando la prueba que realizo Euler de que todos los primos 6n+1 se pueden expresar como a^2 + 3b^2 y ademas de una sola forma.
Puede alguien describírmela (sin muchas abstracciones por favor) o indicarme donde conseguirla.
Muchas Gracias
¿Y por qué te interesa precisamente la prueba de Euler? Es un tanto tediosa. Eso se demuestra mucho más fácilmente usando la teoría de Gauss sobre formas cuadráticas o la aritmética de los cuerpos ciclotómicos. Si lo que quieres es una prueba elemental, aquí te lo demuestro basándome en la teoría de Gauss, pero sin usar nada más sofisticado que la existencia de raíces primitivas módulo un primo:
En primer lugar, observa que un primo \( p \) es de la forma \( p = 6n+1 \) si y sólo si es de la forma \( p = 3m+1 \), porque si \( p \) tiene esta forma, necesariamente \( m = 2n \) es par, ya que si fuera impar, \( p \) sería par.
Una implicación es trivial: si \( p = a^2+3b^2 \), entonces \( p \equiv a^2\,(\mbox{mód}\,3) \), donde \( a\equiv 0, 1, 2\,(\mbox{mód}\,3) \), pero no puede ser \( a\equiv 0\,(\mbox{mód}\,3) \), ya que entonces \( 3\mid p \), luego \( p=3 \), pero \( p=3 \) no es de la forma \( a^2+3b^2 \).
Por lo tanto, tiene que ser \( a \equiv 1, 2\,(\mbox{mód}\,3) \), y en ambos casos \( a^2\equiv 1\,(\mbox{mód}\,3) \), luego llegamos a que \( p\equiv 1\,(\mbox{mód}\,3) \), como queríamos probar.
La parte delicada es probar la implicación contraria. Para ello, consideraremos formas cuadráticas, que son simplemente funciones de la forma \( f(x, y) = ax^2+bxy+cy^2 \), donde \( a, b, c \) son enteros. El discriminante de una forma cuadrática es \( D = b^2-4ac \). Diremos que la forma es primitiva si \( a, b, c \) no tienen divisores comunes.
Por ejemplo, la forma cuadrática \( x^2+3y^2 \) es primitiva y tiene discriminante \( D = -12 \).
Vamos a considerar una forma cuadrática primitiva \( f(x, y) = a^2+bxy+cy^2 \) con discriminante \( D<0 \) y con \( a, c> 0 \), y vamos a demostrar que, mediante cambios de variable, se puede convertir en otra también primitiva y con el mismo discriminante y que cumpla \( |b|\leq a\leq c \). Notemos que las condiciones \( D<0 \) y \( a>0 \) ya implican que \( c>0 \).
En primer lugar, si tenemos \( a > c \), hacemos el cambio de variable
\( x = y', \quad y = x' \)
y la forma se transforma en \( g(x', y') = cx'^2+bx'y'+ay'^2 = a'x'^2+b'xy+c'y'^2 \), donde ahora \( a'=c<a=c' \). Es claro que es primitiva y que el discriminante de \( g \) sigue siendo el mismo.
Si esta nueva forma no cumple \( |b'|\leq a \) tomamos un entero arbitrario \( n \) y hacemos el cambio de variable
\( x' = x''+ny'', \quad y' = y'' \)
con lo que obtenemos la forma
\( h(x'', y'') = a'(x''+ny'')^2+b'(x''+ny'')y''+c'y''^2 = a'(x''^2+2nx''y''+n^2y''^2)+b'(x''+ny'')y''+c'y''^2 \)
\( = a'x''^2+(b'+2na')x''y''+(c'+nb'+n^2a')y''^2. \)
Observamos que el discriminante no ha cambiado:
\( D_h = (b'+2na')^2-4a'(c'+nb'+n^2a') = b'^2+4na'b'+4n^2a'^2-4a'c'-4na'b-4n^2a'^2 = b'^2-4a'c' = D_g \).
Los coeficientes de \( h \) son \( a'' = a', b'' = b'+2na', c'' = c'+nb'+n^2a' \), luego, eligiendo \( n \) adecuadamente, podemos asegurar que \( |b''|\leq a'' \). En efecto, basta tomar el menor número entero \( n \) tal que \( a'<b'+2(n+1)a' \), con lo que, restando \( 2a' \), queda
\( -a'<b'+2na'\leq a' \),
donde la última desigualdad es por la minimalidad de \( n \). Esto equivale a que \( |b'+2na'|\leq a' \), es decir, a que \( |b''|\leq a'' \).
Además, la forma \( h \) es primitiva, porque si un mismo primo \( p \) dividiera a sus tres coeficientes, como \( p\mid a'' = a' \), también \( p\mid b' = b''-2na' \), y también \( p\mid c' = c''-nb'-n^2a' \), luego \( g \) no sería primitiva.
La forma \( h \) no tiene por qué cumplir que \( a''\leq c'' \), pero si no lo cumple repetimos todo el proceso y aplicamos los dos cambios de variable indicados a la forma \( h \). Como en cada paso el valor de \( a \) disminuye estrictamente, al cabo de un número finito de pasos tenemos que llegar a una forma cuadrática del mismo discriminante \( D \) que cumpla las dos condiciones: \( |b|\leq a\leq c \).
Los cálculos precedentes se simplifican bastante si expresamos las formas cuadráticas matricialmente, pero lo he hecho así para que la demostración sea lo más elemental posible.
Ahora probamos que si una forma cuadrática primitiva cumple las condiciones \( |b|\leq a\leq c \) y su discriminante es \( D=-12 \), necesariamente se trata de \( x^2+3y^2 \). No hay otra posibilidad.
En efecto, tenemos que \( 12 = 4ac-b^2\geq 4a^2-a^2= 3a^2 \), luego \( a^2\leq 4 \), luego \( 0\leq a\leq 2 \), luego \( b = -2, -1, 0, 1, 2 \), pero no puede ser \( b = \pm 1 \), porque entonces quedaría \( -12 = 1-4ac \), luego \( -13 = -4ac \), que es imposible, y tampoco puede ser \( b = \pm 2 \), porque entonces sería \( a = 2 \), luego \( -12 = 4-8c \), luego \( c = 2 \), y la forma no sería primitiva, ya que todos sus coeficientes serían pares.
Por lo tanto, tiene que ser \( b = 0 \), luego \( -12 = -4ac \), luego \( ac = 3 \) y, como \( 0<a\leq c \), tiene que ser \( a = 1, c = 3 \), luego la forma es \( x^2+3y^2 \).
Ahora observamos que si \( f(x, y) \) es una forma cuadrática primitiva de discriminante \( D<0 \), \( p \) es un número entero de la forma \( p = f(x_0, y_0) \), para ciertos enteros \( x_0, y_0 \) y \( h(x'', y'') \) es la transformada de \( f \) por los dos cambios de variable que hemos considerado, también existen enteros \( x''_0, y''_0 \) tales que \( p = h(x''_0, y''_0) \). Esto es trivial. Si \( p = f(x_0, y_0) \), tomando \( x'_0 = y_0, y'_0= x_0 \), tenemos que \( g(x'_0, y'_0) =p \), y tomando \( x''_0=x'_0-ny'_0, \quad y''_0 = y'_0 \), tenemos que \( h(x''_0, y''_0) = p \). Si aplicamos estos cambios un número finito de veces, llegamos igualmente a que existen enteros que hacen que la forma final tome el valor \( p \).
Con esto concluimos lo siguiente:
Si un entero \( p \) puede expresarse en la forma \( p = f(x_0, y_0) \), donde \( f(x, y) \) es una forma cuadrática primitiva de discriminante \( -12 \), entonces es de la forma \( p = a^2+3b^2 \).
En efecto, sabemos que \( f \) se transforma mediante cambios de variable en la forma \( x^2+3y^2 \), y acabamos de probar que si la forma de partida toma el valor \( p \), la forma final también lo hace.
Por lo tanto, ahora vamos a partir de un primo de la forma \( p = 3n+1 \) y vamos a probar que es de la forma \( p = f(x_0, y_0) \), para cierta forma cuadrática primitiva de discriminante \( -12 \), y eso implicará que \( p = a^2+3b^2 \), como queríamos probar.
Aquí necesito usar la
existencia de raíces primitivas módulo un primo, es decir, que fijado un primo impar \( p \), existe un entero \( g \) tal que los elementos del cuerpo \( \mathbb Z_p \) de las clases de restos módulo \( p \) son
\( \mathbb Z_p = \{0, g^1, g^2, \ldots, g^{p-1}\} \)
donde, concretamente, \( g^{p-1} = 1 \). En nuestro caso, con \( p = 3n+1 \), tomamos \( u = g^n \), donde \( 0<n<p-1 \), luego \( u\not\equiv 1(\mbox{mód}\,p) \), por la unicidad del exponente, ya que el exponente que da el 1 es \( p-1 \). En cambio, \( u^3 = u^{3n} = u^{p-1}\equiv 1(\mbox{mód}\,p) \).
Esto significa que \( 1, u \) son dos raíces distintas del polinomio \( x^3-1 \) en el cuerpo \( \mathbb Z_p \) de los restos módulo \( p \). Dicho polinomio es
\( x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1) \),
luego \( u \) es, concretamente, una raíz de \( x^2+x+1 \). Por la fórmula de la ecuación de segundo grado, para que este polinomio tenga raíces en \( \mathbb Z_p \), su discriminante, que es \( -3 \), tiene que tener raíz cuadrada en \( \mathbb Z_p \). Esto significa que existe un \( v_0 \) tal que \( -3\equiv v_0^2(\mbox{mód}\,p) \), luego \( -12\equiv (2v_0)^2\,(\mbox{mód}\,p) \). Llamando \( v = 2v_0 \), tenemos que \( p\mid v^2+12 \). Además, \( v \) es par, luego el miembro derecho es múltiplo de \( 4 \), luego \( 4p\mid v^2+12 \). Pongamos que \( -12 = v^2-4kp \), donde, obviamente, \( k>0 \).
Ahora basta considerar la forma cuadrática: \( f(x, y) = px^2+vxy+ky^2 \). Claramente, su discriminante es \( -12 \) y es primitiva, pues un divisor común de sus coeficientes tendría que ser \( p \), pero entonces \( p\mid v \) y de ahí que \( -12\equiv (2v_0)^2\equiv 0\,(\mbox{mód}\,p) \), luego \( p\mid 12 \), pero \( 12 \) no tiene divisores primos de la forma \( 3n+1 \).
Puesto que hemos encontrado una forma cuadrática de discriminante \( -12 \) que toma el valor \( p = f(1, 0) \), podemos concluir que \( p = a^2+3b^2 \), para ciertos \( a, b \).
Dudo mucho que la prueba de Euler se pueda considerar más sencilla, más fácil de entender o más elemental que ésta (salvo a lo sumo por el uso de las raíces primitivas, que Euler no sabía demostrar, pero el resto del argumento no es menos elemental, pero sí algo menos farragoso, que todo el argumento de Euler).
La demostración da un método para encontrar los valores de \( a \) y \( b \). Por ejemplo, si tomamos \( p = 7 \), tenemos que \( -3\equiv 4\,(\mbox{mód}\,7) \), luego una raíz cuadrada de \( -3 \) módulo \( 7 \) es \( v_0 = 2 \), luego tomamos \( v = 2v_0 = 4 \), y tenemos que expresar \( -12 = v^2-4kp = 4^2-4\cdot k\cdot 7 \), lo que nos da \( k = 1 \). La forma \( f \) que hemos construido es
\( f(x, y) = px^2+vxy+ky^2 = 7x^2+4xy+y^2 \)
que toma el valor \( p = f(x_0, y_0) \) con \( x_0 = 1, y_0 = 0 \). Como cumple \( a>c \), hacemos el cambio \( x = y', y = x' \), con lo que obtenemos
\( g(x', y') = x'^2+4x'y'+7y'^2 \),
que toma el valor \( 7 = g(x'_0, y'_0) \) con \( x'_0 = 0, y'_0 = 1 \). Como no cumple \( |b'|\leq a \), buscamos el \( n \) que cumple \( |b'+2na'|\leq a' \), es decir, \( |4+2n|\leq 1 \), y sirve \( n = -2 \), con lo que obtenemos la forma
\( h(x'_0, y'_0) = x^2+3y^2 \)
pues los nuevos coeficientes son \( a'' = a' = 1, b'' = b'+2na' = 0, c'' = c'+nb'+n^2a' = 3 \). Y esta forma toma el valor \( p = 7 \) con \( x''_0 = x'_0-ny'_0 = 2 \), \( y''_0 = y'_0 = 1 \), es decir, \( 7 = 2^2+3\cdot 1^2 \).
Puedes probar a hacer el cálculo para \( p = 13 \).
