Hola ani_pascual
Creo que sí. Entendemos de forma diferente el vocablo partición . En mi opinión, es un conjunto (en este caso numerable) de subintervalos disjuntos (a los que tú llamas "particiones"), cuya unión es el intervalo \( [0,1] \) y viene expresada por un conjunto de números pertenecientes a dicho intervalo (en el caso que nos ocupa, de números racionales, luego un conjunto numerable), en el cual siempre han de estar presentes el \( 0 \) y el \( 1 \).
No entiendo porqué afirmas que siempre habrá un intervalo \( [0,\delta] \) indivisible.
La idea es que todo segmento lo puedo partir, es decir, dividir. Por tanto, un segmento es la partición de otro segmento. Y en principio, todo segmento se puede partir en segmentos menores.
Entonces, dado un segmento, como [0,1] lo partiremos de forma racional siguiendo la iteración $$\displaystyle\frac{1}{(n+1)}$$. Y todo esto lo podemos expresar mediante conjuntos. Por ejemplo, el segmento [0,1] se puede representar como el conjunto A, formado por todos los números reales que hay entre 0 y 1, ambos incluídos. Es un conjunto cuyo cardinal es el propio continuo. ¿Correcto?
Dentro de este conjunto A tenemos diferentes subconjuntos:
a) Por un lado tenemos todos los subconjuntos infinitos cuyos elementos son, únicamente, números racionales entre 0 y 1, ambos pueden o no estar incluidos. El cardinal de cada uno de estos subconjuntos infinitos es siempre Aleph 0. Y de entre todos ellos hay, por supuesto, el conjunto B, que definimos como el conjunto de todos los racionales entre 0 y 1 que son solución a $$\displaystyle\frac{1}{(n+1)}$$, siendo $$n$$ un natural cualquiera.
$$B=\left\{{1/2,1/3,1/4,1/5,...}\right\}$$
b) Por otro lado, tenemos todos los subconjuntos infinitos cuyos elementos son, únicamente, números irracionales entre 0 y 1. El cardinal de estos conjuntos "puede" ser el continuo, y por tanto, mayor que aleph 0. pero de entre todos ellos hay un subconjunto C, que definimos como "el conjunto de todos los irracionales entre 0 y 1 que son menores que cualquier racional posible". El tamaño de C es el continuo.
Spoiler
Demostración de que entre dos números racionales cualesquiera siempre existen infinitos números irracionales, basada en la idea que los irracionales son densos en los reales. Para ello primero se demuestra que entre 2 racionales siempre hay un racional y luego se escala esta demostración para probar que entre 2 racionales hay infinitos irracionales:
Paso 1: Establecer los números racionales
Considera dos números racionales cualesquiera, \( p \) y \( q \), donde \( p < q \).
Paso 2: Construir un número irracional entre \( p \) y \( q \)
Para encontrar un número irracional entre \( p \) y \( q \), podemos utilizar un número irracional conocido, como \( \sqrt{2} \), que es un número irracional clásico.
Paso 3: Escalar y trasladar \( \sqrt{2} \)
Podemos crear un número irracional entre \( p \) y \( q \) de la siguiente manera:
1. Escalamiento: Primero, determina la diferencia entre \( q \) y \( p \): \( d = q - p \).
2. Crear un múltiplo irracional de \( d \): Considera \( d \cdot \sqrt{2} \). Este número es irracional porque \( \sqrt{2} \) es irracional y la multiplicación de un número racional por un número irracional resulta en un número irracional.
3. Normalizar para que caiga en el intervalo: Puedes tomar \( x = p + (d \cdot \sqrt{2} \mod d) \). Esto significa que tomas el módulo de \( d \cdot \sqrt{2} \) respecto a \( d \) para asegurarte de que \( x \) esté dentro del rango \( p \) y \( q \).
Paso 4: Demostrar que hay infinitos
La construcción anterior puede generalizarse para infinitos números irracionales seleccionando diferentes números irracionales en lugar de \( \sqrt{2} \) (como \( \sqrt{3} \), \( \pi \), etc.) y escalando adecuadamente.
Además, para cada número irracional básico \( a \) que elijas, puedes considerar la serie:
\[ x_n = p + \left(\frac{d}{n} \cdot a \mod d\right) \]
para \( n = 1, 2, 3, \ldots \). Cada \( x_n \) es distinto y cae entre \( p \) y \( q \), y dado que \( a \) es irracional, cada \( x_n \) será irracional.
Ahora se demuestra que estos infinitos irracionales que hay, siempre, entre dos racionales, forman un conjunto cuya cardinalidad es el continuo:
Paso 1: Identificar el intervalo
Dado cualquier par de números racionales \( p \) y \( q \) con \( p < q \), el intervalo abierto \( (p, q) \) contiene tanto números racionales como irracionales.
Paso 2: Cardinalidad del intervalo \( (p, q) \)
Sabemos por la teoría de conjuntos y la topología de los números reales que cualquier intervalo abierto \( (a, b) \) en \( \mathbb{R} \) es homeomorfo al conjunto de los números reales \( \mathbb{R} \) completo. Esto implica que el intervalo \( (p, q) \) tiene el cardinal del continuo, que se denota como \( 2^{\aleph_0} \) o \( \mathfrak{c} \).
Paso 3: Excluir los racionales del intervalo
Aunque el intervalo \( (p, q) \) contiene números racionales, el conjunto de los números racionales \( \mathbb{Q} \) es numerable, es decir, tiene cardinalidad \( \aleph_0 \) (el cardinal de los números naturales).
Paso 4: Aplicar la propiedad de los cardinales
Al excluir un conjunto numerable de un conjunto con cardinal del continuo, el cardinal del conjunto resultante permanece inalterado. Esto se debe a que la cardinalidad del continuo menos un conjunto numerable sigue siendo del continuo. En términos formales:
\[ |(p, q) \setminus \mathbb{Q}| = \mathfrak{c} - \aleph_0 = \mathfrak{c} \]
Conclusión
Por lo tanto, el conjunto de números irracionales en el intervalo \( (p, q) \), que es \( (p, q) \setminus \mathbb{Q} \), tiene el cardinal del continuo. Esto demuestra que hay tantos números irracionales entre cualquier par de números racionales como hay números en el conjunto de todos los números reales.
Hasta aquí, ¿estamos de acuerdo?
Por tanto, y resumiendo, tenemos al menos un subconjunto infinito de A, llamado C, compuesto exclusivamente por irracionales menores a cualquier racional posible y que forma un continuo. Ello nos lleva a pensar:
¿No podemos interpretar, pues, que este conjunto C representa todos los puntos de un segmento continuo que no puede partirse o dividirse mediante ninguna operación racional? Es decir, acaso el conjunto C no representaría un segmento que no se puede partir ni por 1/2, ni por 1/3 ni por 7/11, etc... ¿Hemos descubierto, pues, segmentos indivisibles?
En tal caso, entonces, podríamos barajar la posibilidad de que por la definición no estándar de "infinitesimal" considerar que estos irracionales que componen el conjunto C fueran, precisamente, infinitesimales; del mismo modo que la distancia que hubiese entre ellos sería infinitesimal, pues, aunque tal distancia se multiplique por un natural inmenso nunca se aproxima ni por asomo a 1, dado que no es posible "alcanzar" tales irracionales mediante particiones o divisiones racionales.
Aquí supongo que te refieres a "forma infinita" pues la que pones como ejemplo me parece bien definida.
Sí
Lo que se aproxima a cero no es la partición sino la longitud de los subintervalos de la partición.
Lo que se aproxima a 0, sin ser jamás 0, son los elementos del conjunto B, los cuales son soluciones a $$\displaystyle\frac{1}{(n+1)}$$. La idea es interpretar estos conjuntos como segmentos, es decir:
Cabe entender que cada uno de estos elementos del conjunto B es uno de los extremos de un segmento continuo; el otro extremo del segmento es 0. Así pues:
del segmento [0,1], pasamos al segmento [0,1/2], y de este al [0,1/3], etc. Y por más que vayamos segmentando nunca dejamos de tener un segmento aunque el límite es eliminar toda segmentación.
Sin embargo, auqnue la tendencia o el límite sea eliminar toda segmentación, lo cierto es que siempre nos queda un "pequeño" segmento. De modo que cuando hemos segmentado todo lo que se pueda segmentar, cuando consideramos el conjunto C en su totalidad, entonces vale suponer que nos quedará un segmento ya indivisible (al menos indivisible racionalmente).
Este segmento indivisible es, pues, un segmento completamente irracional dado que no contiene ningún número racional. Y cada punto de este segmento, que es un valor irracional, cabe entenderlo como un infinitesimal; al igual que sus partes (las distancias que habría entre dos irracionales del segmento).
Un saludo
