Hola ani_pascual
Ese razonamiento es válido si el número de elementos de \( X \) e \( Y \) es finito, es decir, si \( Card(X)< Card(Y)<\infty \). La aritmética transfinita no sigue esas reglas. De hecho, aunque \( Card(\mathbb{I}\cap [0,1])=\aleph_1>\aleph_0=Card(\mathbb{Q}\cap [0,1]) \), no existen irracionales consecutivos en el intervalo \( [0,1] \) ni tampoco racionales consecutivos. Ten en cuenta que en cada uno de los \( \aleph_0 \) subintervalos hay, a su vez, \( \aleph_0 \) números racionales y \( \aleph_1 \) números irracionales. Por tanto, no se puede llevar ese razonamiento a un segmento de la recta real, la cual cumple la propiedad arquimediana.
Saludos
Vale, entiendo. Estoy de acuerdo.
Tomémoslo de otra forma.
Tenemos que todo real
del intervalo [0,1] (para seguir el ejemplo sobre el cual hablamos) cumpliría la propiedad arquimediana, según la cual para cualquier real $$x$$ siempre existirá un natural $$n$$ tal que $$n·x\geq{1}$$
Esto significa,a fin de cuentas, que cualquier real $$x; x\geq{1/n}$$
Mi idea es que existen reales que esto no lo cumplen; a todos los efectos serían números reales infinitesimales.
Al principio de todo, lo que había propuesto es que si tomamos un segmento de la recta real cualquiera, por ejemplo [0,1], este segmento es infinitamente divisible mediante cortes racionales. Y con cada corte o partición nos queda un segmento menor que el anterior. Y así indefinidamente.
La cuestión: entiendo que en tal segmento podemos hacer menos cortes racionales que puntos que conforman el continuo, pues el número de cortes racionales que podemos aplicar en el segmento es siempre $$\aleph_0$$, mientras que la cantidad de puntos reales es $$\aleph_1$$.
Intentaré demostrar esta idea por inducción:
1) hemos visto que del intervalo [0,1] existe un subconjunto de infinitos racionales que podemos definir como $$A=\left\{{a_n=\displaystyle\frac{1}{(1+n)}}\right\}$$
2) Sabemos que entre todos los subconjuntos de racionales posibles del intervalo [0,1] no existe ninguno que tenga un elemento que sea menor (más próximo a cero) que cualquier elemento del conjunto A.
3) Entonces, si tomamos diferentes valores de n tenemos que:
$$n=1, a_1=\displaystyle\frac{1}{2}$$
Esto implica que cualquier número real $$x, x<\displaystyle\frac{1}{2}; x·2<1$$
$$n=2, a_2=\displaystyle\frac{1}{3}$$
Esto implica que cualquier número real $$x, x<\displaystyle\frac{1}{3}; x·3<1$$
...
Por tanto
Para cualquier $$n$$, tenemos que $$a_n=\displaystyle\frac{1}{(1+n)}$$
Esto implica que siempre existirá un número real $$x, x<\displaystyle\frac{1}{(1+n)}; x·(n+1)<1$$
Entendido esto, ahora hacemos una lista de TODOS los elementos de este conjunto A (tomamos el conjunto A como un todo, como hace Cantor)
$$n=1: 1/2\longrightarrow{\exists{x, x\in{\Bbb R}, x<1/2}}$$
$$n=2: 1/3\longrightarrow{\exists{x, x\in{\Bbb R}, x<1/3}}$$
$$n=3: 1/4\longrightarrow{\exists{x, x\in{\Bbb R}, x<1/4}}$$
...
Con ello entiendo, entonces, que existirá al menos un real $$x$$ que siempre será menor a cualquier elemento de A (y por tanto a cualquier racional posible del segmento [0,1], por lo dicho en el punto 2), y además será mayor que 0. Este real $$x$$ es infinitesimal porque no existe ningún natural que multiplicado por él se acerque a 1.
Y de hecho, no sólo habría un único real infinitesimal $$x$$ que no estaría en esta lista por ser menor que cualquier racional de A y mayor que 0, sino que habría infinitos.
Yo había dicho que estos infinitos reales infinitesimales formarían un segmento irracional, pero igual a eso no se le podría llamar segmento. No sé.
Un saludo
