[FedeFrontera]

Buenos días, aquí de nuevo. Me podrían ayudar a demostrar lo siguiente detalladamente. Me parece que es bastante trivial pero no encuetro la forma de cómo trabajar con el último límite.

\(  (X, d)  \) es un espacio métrico entonces:\(  x_n\rightarrow{a}\Leftrightarrow{}lim\;d(x_n,a)=0 \)

[ani_pascual]

Hola:

... Me podrían ayudar a demostrar lo siguiente detalladamente. Me parece que es bastante trivial pero no encuetro la forma de cómo trabajar con el último límite.

Te sugiero usar que \( |d(x_n,a)|=d(x_n,a) \)
Saludos

[Masacroso]

Buenos días, aquí de nuevo. Me podrían ayudar a demostrar lo siguiente detalladamente. Me parece que es bastante trivial pero no encuetro la forma de cómo trabajar con el último límite.

\(  (X, d)  \) es un espacio métrico entonces:\(  x_n\rightarrow{a}\Leftrightarrow{}lim\;d(x_n,a)=0 \)

No se puede demostrar porque es una definición. Es decir, en un espacio métrico, y si no se indica nada más, cuando se escribe que \( \lim_{n\to \infty }x_n=a \) eso es otra forma de escribir que \( \lim_{n\to \infty }d(x_n,a)=0 \).

[ani_pascual]

Hola:
Me parece que hay un matiz sutil; con la expresión \( \lim\limits_{n\to\infty}d(x_n,a)=0 \) se está indicando que la sucesión de números reales \( \{d(x_n,a)\}_{n\in\mathbb{N}} \) converge a \( 0\in\mathbb{R} \) y con la expresión \( \{x_n\}\longrightarrow a\Longleftrightarrow \lim\limits_{n\to\infty}\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}=a \) se indica que la sucesión \( \{x_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) converge a \( a \) en el espacio métrico del enunciado.
Saludos

[Masacroso]

Hola:
Me parece que hay un matiz sutil; con la expresión \( \lim\limits_{n\to\infty}d(x_n,a)=0 \) se está indicando que la sucesión de números reales \( \{d(x_n,a)\}_{n\in\mathbb{N}} \) converge a \( 0\in\mathbb{R} \) y con la expresión \( \{x_n\}\longrightarrow a\Longleftrightarrow \lim\limits_{n\to\infty}\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}=a \) se indica que la sucesión \( \{x_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) converge a \( a \) en el espacio métrico del enunciado.
Saludos

Yo no veo matiz alguno: a través del límite \( \lim_{n\to \infty }d(x_n,a)=0 \) (límite en \( \mathbb{R} \), sí) se define lo que significa la cadena de símbolos \( \lim_{n\to \infty }x_n=a \) en el contexto de espacios métricos.

Eso es como si me dijeras que hay un matiz entre decir que \( f\in \mathcal{L}^1(\mathbb{R},B) \), para \( B \) un espacio de Banach separable, y decir que \( \int_{\mathbb{R}}\|f(x)\|\,d x<\infty  \). Esto último es un límite real también (si nos ceñimos a la definición de integral de Lebesgue) y sin embargo \( f\in \mathcal{L}^1(\mathbb{R},B) \) es una relación de pertenencia.

[ani_pascual]

Hola:

Yo no veo matiz alguno: a través del límite \( \lim_{n\to \infty }d(x_n,a)=0 \) (límite en \( \mathbb{R} \), sí) se define lo que significa la cadena de símbolos \( \lim_{n\to \infty }x_n=a \) en el contexto de espacios métricos.

Eso es como si me dijeras que hay un matiz entre decir que \( f\in \mathcal{L}^1(\mathbb{R},B) \), para \( B \) un espacio de Banach separable, y decir que \( \int_{\mathbb{R}}\|f(x)\|\,d x<\infty  \). Esto último es un límite real también (si nos ceñimos a la definición de integral de Lebesgue) y sin embargo \( f\in \mathcal{L}^1(\mathbb{R},B) \) es una relación de pertenencia.

Me refiero a que la expresión \( \{x_n\}\to a \) expresa que la sucesión \( \{x_n\}\subset X \) converge a \(  a \) en el espacio métrico \( (X,d) \), es decir, \( \forall\,\varepsilon >0, \exists\,n_0\in\mathbb{N} \) tal que \( \forall\,n\geq n_0  \) se cumple \( d(x_n,a)<\varepsilon \), lo cual, dado que la distancia es no negativa, equivale a \( \forall\,\varepsilon >0, \exists\,n_0\in\mathbb{N} \) tal que \( \forall\,n\geq n_0  \) se cumple \( |d(x_n,a)|<\varepsilon \), es decir que la sucesión \( \{d(x_n,a)\}\subset\mathbb{R} \) converge a \( 0 \) en \( (\mathbb{R},\tau_u) \)
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Yo no veo matiz alguno: a través del límite \( \lim_{n\to \infty }d(x_n,a)=0 \) (límite en \( \mathbb{R} \), sí) se define lo que significa la cadena de símbolos \( \lim_{n\to \infty }x_n=a \) en el contexto de espacios métricos.

Pero digo yo que todo dependerá de EXACTAMENTE qué definición se de de las cosas.

Una definición de \( \lim_{n\to \infty }x_n=a \) típica es que:

\( \displaystyle\lim_{n\to \infty }x_n=a\quad \Leftrightarrow{}\quad \forall \epsilon>0,\,\exists N>0 \) tal que \( n>N\quad \Rightarrow{}\quad \color{red}d(x_n,a)\color{black}<\epsilon. \)

Entonces si tiene sentido que te pidan demostrar que eso equivale a que \( \displaystyle\lim_{n\to \infty }d(x_n,a)=0 \), si bien la demostración es inmediata y trivial. Pero tiene sentido.

Saludos.

CORREGIDO

[Masacroso]

Me refiero a que la expresión \( \{x_n\}\to a \) expresa que la sucesión \( \{x_n\}\subset X \) converge a \(  a \) en el espacio métrico \( (X,d) \), es decir, \( \forall\,\varepsilon >0, \exists\,n_0\in\mathbb{N} \) tal que \( \forall\,n\geq n_0  \) se cumple \( d(x_n,a)<\varepsilon \)

Ajá, entiendo lo que querías decir. Cierto, hay una diferencia conceptual que había pasado por alto. Gracias por comentarlo.

Pero digo yo que todo dependerá de EXACTAMENTE qué definición se de de las cosas.

Ok, podría ser que parta de una definición diferente de la expresión \( \lim_{n\to \infty }x_n=a \). No había tenido en cuenta esa posibilidad. La verdad es que ahora entiendo lo que quería decir ani_pascual, realmente hay una sutil diferencia en decir

\( \displaystyle{
\forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{N}: n\geqslant N\implies d(x_n,a)<\epsilon
} \)

que decir que

\( \displaystyle{
\forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{N}: n\geqslant N\implies |d(x_n,a)-0|<\epsilon
} \)

FedeFrontera, ¿cómo te han definido el significado de la expresión \( x_n\to a \) para un espacio métrico? A partir de la definición que te hayan dado debes verificar que es equivalente a decir que \( \lim_{n\to \infty }d(x_n,a)=0 \).

[ani_pascual]

Hola:

Pero digo yo que todo dependerá de EXACTAMENTE qué definición se de de las cosas.

Una definición de \( \lim_{n\to \infty }x_n=a \) típica es que:

\( \displaystyle\lim_{n\to \infty }x_n=a\quad \Leftrightarrow{}\quad \forall \epsilon>0,\,\exists N>0 \) tal que \( n>N\quad \Rightarrow{}\quad |d(x_n,a)|<\epsilon. \)
...

Creo que lo habitual es definir la convergencia de una sucesión \( \{x_n\} \) en un espacio métrico \( (X,d) \) como sigue: \( \{x_n\}\rightarrow a\in X\Longleftrightarrow \forall\,\varepsilon >0, \,\exists\,n_0\in\mathbb{N} \) tal que \( \forall\,n\geq n_0 \) se cumple \( x_n\in B(a,\varepsilon)\Longleftrightarrow d(x_n,a)<\varepsilon \) donde \( B(a,\varepsilon)=\{x\in X: d(x,a)<\varepsilon\} \) es la bola abierta centrada en \( a\in X \) y de radio \( \varepsilon >0 \); aunque es claro que \( d(x_n,a)=|d(x_n,a)| \)
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Pero digo yo que todo dependerá de EXACTAMENTE qué definición se de de las cosas.

Una definición de \( \lim_{n\to \infty }x_n=a \) típica es que:

\( \displaystyle\lim_{n\to \infty }x_n=a\quad \Leftrightarrow{}\quad \forall \epsilon>0,\,\exists N>0 \) tal que \( n>N\quad \Rightarrow{}\quad |d(x_n,a)|<\epsilon. \)
...

Creo que lo habitual es definir la convergencia de una sucesión \( \{x_n\} \) en un espacio métrico \( (X,d) \) como sigue: \( \{x_n\}\rightarrow a\in X\Longleftrightarrow \forall\,\varepsilon >0, \,\exists\,n_0\in\mathbb{N} \) tal que \( \forall\,n\geq n_0 \) se cumple \( x_n\in B(a,\varepsilon)\Longleftrightarrow d(x_n,a)<\varepsilon \) donde \( B(a,\varepsilon)=\{x\in X: d(x.a)<\varepsilon\} \) es la bola abierta centrada en \( a\in X \) y de radio \( \varepsilon >0 \); aunque es claro que \( d(x_n,a)=|d(x_n,a)| \)

Si bueno, no quería poner el valor absoluto. Fue un despiste...

Saludos.