[FedeFrontera]

Hola Luis, las distancias son mayores o iguales a 0... ¿hace falta el valor absoluto? si fuera así no estoy viendo el por qué.

[FedeFrontera]

Me refiero a que la expresión \( \{x_n\}\to a \) expresa que la sucesión \( \{x_n\}\subset X \) converge a \(  a \) en el espacio métrico \( (X,d) \), es decir, \( \forall\,\varepsilon >0, \exists\,n_0\in\mathbb{N} \) tal que \( \forall\,n\geq n_0  \) se cumple \( d(x_n,a)<\varepsilon \)

Ajá, entiendo lo que querías decir. Cierto, hay una diferencia conceptual que había pasado por alto. Gracias por comentarlo.

Pero digo yo que todo dependerá de EXACTAMENTE qué definición se de de las cosas.

Ok, podría ser que parta de una definición diferente de la expresión \( \lim_{n\to \infty }x_n=a \). No había tenido en cuenta esa posibilidad. La verdad es que ahora entiendo lo que quería decir ani_pascual, realmente hay una sutil diferencia en decir

\( \displaystyle{
\forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{N}: n\geqslant N\implies d(x_n,a)<\epsilon
} \)

que decir que

\( \displaystyle{
\forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{N}: n\geqslant N\implies |d(x_n,a)-0|<\epsilon
} \)

FedeFrontera, ¿cómo te han definido el significado de la expresión \( x_n\to a \) para un espacio métrico? A partir de la definición que te hayan dado debes verificar que es equivalente a decir que \( \lim_{n\to \infty }d(x_n,a)=0 \).

Hola! Lo han definido como tú lo has hecho, muchísimas gracias.

[Masacroso]

¡Hola! Lo han definido como tú lo has hecho, muchísimas gracias.

¿Te refieres a que han definido que \( \lim_{n\to \infty }x_n=a \) (o equivalentemente, que \( x_n\to a \)) si y solo si \( \lim_{n\to \infty }d(x_n,a)=0 \)? En tal caso, como te comentaba en mi primer mensaje en este tema, no habría nada que demostrar, es decir, sería una verdad por definición.

[FedeFrontera]

Me refiero a esta definición:

\( {x_n\to a\Leftrightarrow{}\forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{N}: n\geqslant N\implies d(x_n,a)<\epsilon
} \)

[Masacroso]

Me refiero a esta definición:

\( {x_n\to a\Leftrightarrow{}\forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{N}: n\geqslant N\implies d(x_n,a)<\epsilon
} \)

IGNORAR

Ajá, ya veo. Es que esa cadena de símbolos es la definición de \( \lim_{n\to \infty }x_n=a \) (o de \( x_n\to a \), representan lo mismo), por eso te decía que no hay nada que demostrar ahí, es decir, son la misma cosa por definición, no en virtud de una proposición que se sigue de teoremas o axiomas. De hecho tú mismo dices que es una definición.

En matemáticas hay, digamos, tres tipos de enunciados: axiomas, teoremas y definiciones. Los axiomas se refieren a una proposición lógica que se asume cierta y que no puede ser demostrada, los teoremas son proposiciones lógicas que se han demostrado ciertas, y las definiciones son sinónimos de conceptos matemáticos complejos, que tampoco se demuestran porque son sinónimos.

Por ejemplo: no se puede demostrar matemáticamente que el símbolo \( 2 \) denota el número dos, porque en principio \( 2 \) no es una proposición lógica sino simplemente un símbolo que representa al dos. Del mismo modo no se puede demostrar que la cadena de símbolos \( \lim_{n\to \infty }x_n=a \) significa lo mismo que \( \forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{N}: n\geqslant N\implies d(x_n,a)<\epsilon \), porque la primera es un sinónimo de la segunda.

[cerrar]

Corregido: lo metido en el spoiler es debido a que he malentendido lo que decía FedeFrontera.

[ani_pascual]

Hola:

Me refiero a esta definición:

\( {x_n\to a\Leftrightarrow{}\forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{N}: n\geqslant N\implies d(x_n,a)<\epsilon
} \)

Si esa es la definición que te han dado, que por cierto, suele ser la habitual, en mi opinión, sí tiene sentido que te pidan la demostración de que
\( \{x_n\}\subset X\stackrel{d}{\longrightarrow} a \Longleftrightarrow \{d(x_n.a)\}\subset\mathbb{R}\stackrel{|\cdot |}{\longrightarrow } 0 \), aunque es trivial.
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Por ejemplo: no se puede demostrar matemáticamente que el símbolo \( 2 \) denota el número dos, porque en principio \( 2 \) no es una proposición lógica sino simplemente un símbolo que representa al dos. Del mismo modo no se puede demostrar que la cadena de símbolos \( \lim_{n\to \infty }x_n=a \) significa lo mismo que \( \forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{N}: n\geqslant N\implies d(x_n,a)<\epsilon \), porque la primera es un sinónimo de la segunda.

Pero creo que nos estamos liando otra vez.

Tenemos estas dos definiciones:

Definición 1. Dada \( \{x_n\}\subset (X,d) \)

\( \displaystyle\lim_{n\to \infty }x_n=a \) significa que \( \forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{N}: n\geqslant N\implies d(x_n,a)<\epsilon \)

Definición 2: Dada \( \{y_n\}\subset \Bbb R \)

\( \displaystyle\lim_{n\to \infty }y_n=y \) significa que \( \forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{N}: n\geqslant N\implies |y_n-y|<\epsilon \)

La segunda definición aplicada a \( y_n=d(x_n,a) \) e \( y=0 \) dice que:

Definición 2':

\( \displaystyle\lim_{n\to \infty }d(x_n,a)=0 \) significa que \( \forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{N}: n\geqslant N\implies |d(x_n,a)-0|<\epsilon \)

Entonces concuerdo con lo dicho por ani_pascual y que ya se había comentado antes en el hilo: si tiene sentido demostrar que:

\( \{x_n\}\subset X\stackrel{d}{\longrightarrow} a \Longleftrightarrow \{d(x_n.a)\}\subset\mathbb{R}\stackrel{|\cdot |}{\longrightarrow } 0 \)

aunque la demostración se prácticamente inmediata.

Es decir, lo que piden demostrar no es EXACTAMENTE la definición.

Saludos.

[Masacroso]

Hola

Por ejemplo: no se puede demostrar matemáticamente que el símbolo \( 2 \) denota el número dos, porque en principio \( 2 \) no es una proposición lógica sino simplemente un símbolo que representa al dos. Del mismo modo no se puede demostrar que la cadena de símbolos \( \lim_{n\to \infty }x_n=a \) significa lo mismo que \( \forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{N}: n\geqslant N\implies d(x_n,a)<\epsilon \), porque la primera es un sinónimo de la segunda.

Pero creo que no estamos liando otra vez.

Tenemos estas dos definiciones:

Definición 1. Dada \( \{x_n\}\subset (X,d) \)

\( \displaystyle\lim_{n\to \infty }x_n=a \) significa que \( \forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{N}: n\geqslant N\implies d(x_n,a)<\epsilon \)

Definición 2: Dada \( \{y_n\}\subset \Bbb R \)

\( \displaystyle\lim_{n\to \infty }y_n=y \) significa que \( \forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{N}: n\geqslant N\implies |y_n-y|<\epsilon \)

La segunda definición aplicada a \( y_n=d(x_n,a) \) e \( y=0 \) dice que:

Definición 2':

\( \displaystyle\lim_{n\to \infty }d(x_n,a)=0 \) significa que \( \forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{N}: n\geqslant N\implies |d(x_n,a)-0|<\epsilon \)

Entonces concuerdo con lo dicho por ani_pascual y que ya se había comentado antes en el hilo: si tiene sentido demostrar que:

\( \{x_n\}\subset X\stackrel{d}{\longrightarrow} a \Longleftrightarrow \{d(x_n.a)\}\subset\mathbb{R}\stackrel{|\cdot |}{\longrightarrow } 0 \)

aunque la demostración se prácticamente inmediata.

Es decir, lo que piden demostrar no es EXACTAMENTE la definición.

Saludos.

Ok, me he liado, tienes razón, he perdido el hilo del tema, paso a censurar mi anterior mensaje. Por el último mensaje de FedeFrontera creí que pedía demostrar la definición, pero viendo el mensaje original, el primero del tema, veo que no es así.


FedeFrontera, para demostrar que \( x_n\to a\iff \lim_{n\to\infty }d(x_n,a)=0 \) es suficiente con demostrar que \( |d(x_n,a)-0|=d(x_n,a) \), ya que la definición de \( \lim_{n\to\infty }d(x_n,a)=0 \) es

\( \displaystyle{
\displaystyle{ \forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{N}: n\geqslant N\implies |d(x_n,a)-0|<\epsilon  }
} \)

Y la definición usual de \( x_n\to a \) en un espacio métrico es

\( \displaystyle{
\displaystyle{ \forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{N}: n\geqslant N\implies d(x_n,a)<\epsilon  }
} \)