[lorelainnnn]

Como demuestro que toda superficie compacta tiene un punto con curvatura positiva, que entiendo que es lo mismo que decir, que esa superficie tiene al menos un punto elíptico. He intentado probarlo con reducción al absurdo usando el Th de Gauss Bonnet, pero no llego a nada.

[Luis Fuentes]

Hola

Como demuestro que toda superficie compacta tiene un punto con curvatura positiva, que entiendo que es lo mismo que decir, que esa superficie tiene al menos un punto elíptico. He intentado probarlo con reducción al absurdo usando el Th de Gauss Bonnet, pero no llego a nada.

Por ejemplo mira por aquí:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=108167.0

Saludos.

[geómetracat]

Solo un apunte, porque al menos a mi el enunciado me ha confundido: toda superfície compacta que sea subvariedad riemanniana de \( \Bbb R^3 \). Lo digo porque, por ejemplo, un doble toro (que es superfície compacta) admite métricas con curvatura constante \( -1 \). Lo que sucede es que no hay manera de embeber isométricamente esa superfície en \( \Bbb R^3 \), como prueba el argumento del hilo que enlaza Luis.

Por lo mismo, es imposible demostrar esto usando Gauss-Bonnet, que solo depende de propiedades intrínsecas de la superficie.