[donjo]

He modificado/eliminado mensajes por carecer de interés o valor.

Actualizo.

Posible convergencia para la serie de la suma de la función de los números primos:
Siendo \( x_0= nºprimo \) y \( x_1 \) y \( x_2 \) los primos siguientes consecutivos.

\( s=\displaystyle\frac{-1}{(x_1)}+\displaystyle\frac{-2}{(x_2+x_1)}+\displaystyle\frac{1}{(x_0+x_2)}
 \)

Adjunto imagen muestra:

Para lo primeros 116.818.447 números primos.

[Fernando Revilla]

\( \displaystyle\sum_{p=primo}^\infty\displaystyle\frac{1}{p-p_2}+\displaystyle\frac{1}{p_3-p_2} \)
No sé si he puesto bien la fórmula sería: \( \displaystyle\frac{1}{2-3}+\displaystyle\frac{1}{5-3}+\displaystyle\frac{1}{5-7}+\displaystyle\frac{1}{11-7}... \)
¿Es convergente o divergente?

Revisa el enunciado, la serie no está bien definida. En cualquier caso el posible enunciado posiblemente estaría relacionado con:

        https://fernandorevilla.es/2016/12/25/serie-de-los-inversos-de-los-numeros-primos/

[Richard R Richard]

Vuelvo a corregir

\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\displaystyle\frac{1}{p_n-p_{n+1}}+\displaystyle\frac{1}{p_{n+2}-p_{n+1}} \)

Si la sumatoria es así , entonces mas  abajo te lo desarrollo.

Quedaría más o menos así:

\( 1/(2-3)+ 1/( 5-3) + 1/(5-7) +1/(11-7) +1/(11-13) +1/(17-13) + 1/(17-19) +1/( 23-19)... \)

Pero en el infinito rango de los números primos, la serie en teoría oscilaría en unos parámetros sin divergencia.

¿Me equivoco?

Te  equivocas a desarrollar el sumatorio, pero no en que la serie oscila entre números racionales negativos acotados en un rango.

Observa que $$n$$ va aumentando de a 1 , al desarrollar la serie se repiten valores y se van cancelando, la sumatoria anterior te queda en realidad

\( S_n=1/(2-3)+ 1/( 5-3) + 1/(3-5) +1/(11-7) +1/(7-11) +1/(17-13) + 1/(13-17) +1/(23-19)... \)

observa que los términos del medio se cancelan

\( S_n=1/(2-3)+\cancel{ 1/( 5-3) - 1/(5-3)} +\cancel{1/(11-7) -1/(11-7)} +\cancel{1/(17-13) - 1/(17-13)} +1/(23-19)... \)

por lo que el sumatorio depende del resultado del primer sumando y del último

\( S_n=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\displaystyle\frac{1}{p_n-p_{n+1}}+\displaystyle\frac{1}{p_{n+2}-p_{n+1}}=-1+\dfrac{1}{p_{\infty+2}-p_{\infty+1}} \)

y como la diferencia entre dos primos consecutivos no tiene un valor definido  la serie no converge a ningún valor.

Solo puedes asegurar que a medida que cambia $$n$$ el sumatorio  mantiene su resultado dentro del rango $$(-1,-1/2]$$  tenderá a $$S_n=-1$$  cuando el gap tienda a $$\infty$$  esto es $$S_n\cong-1+\dfrac{1}{\infty}\cong-1$$ y será   $$-1/2$$ cuando exista un gap de mínimo valor es decir 2, puesto que  2 es la mínima diferencia entre dos numero impares que pueden ser primos consecutivos $$S_n=-1+\dfrac{1}{2}=-\dfrac12$$

Y como termino a termino la serie salta de un valor a otro no converge a ninguno, no hay tendencia , la sumatoria no converge.

[Richard R Richard]

O quizá desarrollé mal la fórmula del sumatorio, creo que fue eso, pues lo que quería expresar era esta sucesión:

\( 1/(2-3)+ 1/( 5-3) + 1/(5-7) +1/(11-7) +1/(11-13) +1/(17-13) + 1/(17-19) +1/( 23-19)... \)

Así no es la serie

Cuando $$n=1$$ los sumandos son

$$S_1=\dfrac{1}{p_1-p_2}+\dfrac{1}{p_3-p_2}=\dfrac{1}{2-3}+\dfrac{1}{5-3}$$

si $$n=2$$

$$S_2=\dfrac{1}{p_2-p_3}+\dfrac{1}{p_4-p_3}=\dfrac{1}{3-5}+\dfrac{1}{7-5}$$

 al hacer

$$S_1+S_2=\dfrac{1}{2-3}+\overbrace{\dfrac{1}{5-3}+\dfrac{1}{3-5}}^{\text{esto suma cero siempre}}+\dfrac{1}{7-5}$$

si agregas uno más

$$n=3$$

$$S_3=\dfrac{1}{p_3-p_4}+\dfrac{1}{p_5-p_4}=\dfrac{1}{5-7}+\dfrac{1}{11-7}$$

lo agregas al sumatorio

$$S_1+S_2+S_3=\dfrac{1}{2-3}+\overbrace{\dfrac{1}{5-3}+\dfrac{1}{3-5}}^{\text{esto suma cero}}+\overbrace{\dfrac{1}{7-5}+\dfrac{1}{5-7}}^{\text{esto suma cero}}+\dfrac{1}{11-7}$$

Así que cuando agregues mas sumandos, el primero de todos queda inalterado pero el último se cancela con el primero de los términos agregas, luego siempre el sumatorio es la suma del primer y último sumando.

[Richard R Richard]

Gracias es correcto. Entonces supongo que para expresar bien la fórmula tendría que ser así:

\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\displaystyle\frac{1}{p_n-p_{n+1}}+\displaystyle\frac{1}{p_{n+2}-p_{n+1}}-\displaystyle\sum_{n=2}^\infty\displaystyle\frac{1}{p_n-p_{n+1}}+\displaystyle\frac{1}{p_{n+2}-p_{n+1}} \)

Entonces quedaría en la práctica la suma que expresé anteriormente.

No.

Esta parte para un numero $$m$$ especifico  cumple la siguiente igualdad

$$\displaystyle\sum_{n=1}^m\displaystyle\frac{1}{p_n-p_{n+1}}+\displaystyle\frac{1}{p_{n+2}-p_{n+1}}= \dfrac{1}{2-3}+\dfrac{1}{p_{m+2}-p_{m+1}}$$

y la segunda que ahora agregas cumple

$$\displaystyle\sum_{n=2}^m\displaystyle\frac{1}{p_n-p_{n+1}}+\displaystyle\frac{1}{p_{n+2}-p_{n+1}} =\dfrac{1}{3-5}+\dfrac{1}{p_{m+2}-p_{m+1}}$$

cuando haces la diferencia que propones

\( \displaystyle\sum_{n=1}^m\displaystyle\frac{1}{p_n-p_{n+1}}+\displaystyle\frac{1}{p_{n+2}-p_{n+1}}-\displaystyle\sum_{n=2}^m\displaystyle\frac{1}{p_n-p_{n+1}}+\displaystyle\frac{1}{p_{n+2}-p_{n+1}} \)

te queda

$$S_T=\dfrac{1}{2-3}+\cancel{\dfrac{1}{p_{m+2}-p_{m+1}}}-\dfrac{1}{3-5}-\cancel{\dfrac{1}{p_{m+2}-p_{m+1}}}$$

$$S_T=\dfrac{1}{2-3}-\dfrac{1}{3-5}=-1+\dfrac12=\boxed{-\dfrac12} $$

Es decir esa sumatoria siempre da por resultado el mismo valor , no sé si se puede decir converge ya que es constante.

Cada término que agrega el primer sumatorio es cancelado por otro igual y de signo contrario de la segunda sumatoria, luego solo quedan los valores de los primeros sumandos restado entre si que da -1/2.

Si tu quieres que averiguemos que sumatorio tiene como resultado la siguiente serie

\( 1/(2-3)+ 1/( 5-3) + 1/(5-7) +1/(11-7) +1/(11-13) +1/(17-13) + 1/(17-19) +1/( 23-19)... \)

Desde luego no es ninguno de los anteriores, si de eso se trata tu pregunta en este hilo,  por favor comentalo e intentaremos dar una fórmula que lo consiga, aunque creo que es bastante facil

\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\displaystyle\frac{1}{p_{2n-1}-p_{2n}}+\displaystyle\frac{1}{p_{2n+1}-p_{2n}} \)

Ahora  si tu quieres saber si este sumatorio diverge o converge, la respuesta sigue siendo igual a las anteriores...

La diferencia del siguiente par de primos no tiene ninguna relación con la diferencias  ningun otro par previo o posterior, por lo que no hay resultado al que pueda converger.

[Richard R Richard]

Hola, revisa que edité mi mensaje mientras contestabas, pues yo contesté pensando que todos los sumandos eran positivos y el límite intuía era infinito, pero claro como tu dices hay gaps sumando y otros restando.

La serie no puede converger porque cada sumando adicional no tiene cota , pero no veo ninguna razón para que el resultado no oscile siempre cerca del resultado del primer término ya que ningún otro gap tendrá diferencia 1.

Es decir se equilibrará la cantidad de gaps de diferencia dos que estarán sumando con la cantidad de gaps de diferencia 2 que estarán restando en el sumatorio , repitiéndose una suerte de simetría para cada longitud de gap, pero el único que no se compensará será el de diferencia 1 entre los primos 2 y 3 , así que pronóstico que la sumatoria oscila  siempre alrededor del -1.

[Richard R Richard]

Hola para los primeros 23509050 primos

Te queda una gráfica como esta


Se ve claramente que no converge a nada.


Pd la gráfica tiene aproximadamente 12000000 de datos porque sería la mitad de los números primos que estoy usando ya que el sumatorio avanza de 2 en 2 primos.

Saludos

Spoiler

Este es el código que use...

Código: [Seleccionar]

import matplotlib.pyplot as plt
from math import acos, sin, cos, sqrt, log, cosh,sinh,tanh,asinh,acosh,atanh
import numpy as np
import math as m


primos=[]
sumado=[]
pes=[]
with open("primos.txt") as p:
    primos=p.readlines()
s=0
print(len(primos))


for a in range(1,int(len(primos)/2)):
   b=int(primos[2*(a-1)])-int(primos[2*a-1])
   if b==0:
      print(primos[2*(a-1)])
      print(primos[2*a-1])
   c=int(primos[2*a-1])-int(primos[2*a])
   if c==0:
      print(primos[2*a-1])
      print(primos[2*a])   
   if b!=0 and c!=0:
      s=s+1/(int(primos[2*(a-1)])-int(primos[2*a-1]))+1/(int(primos[2*a])-int(primos[2*a-1]))
      '''print(int(primos[2*(a-1)]),int(primos[2*a-1]),int(primos[2*a]),int(primos[2*a-1]))'''
      sumado.append(s)
      pes.append(a)


fig, ax = plt.subplots(1,1,figsize=(10,6),dpi=100)
ax.plot(pes, sumado,color = 'tab:blue', marker = '',linestyle = 'solid', label = 'desvio')
plt.show()Necesitas además tener un archivo de primos en texto plano uno debajo del otro, con la cantidad de primos que te apetezca

Mi archivo tiene los primeros 23509050 primos.

[cerrar]

[Richard R Richard]

Según la gráfica que has puesto y el análisis de convergencia de esta página, podría decirse que aunque no converja, tampoco diverge a \( +-\infty \)

No la tengo muy clara pero creo que hay un teorema que dice que ningún gap puede ser mayor a N/2 siendo N el mayor primo consecutivo que analices. Lo lógico es que el tamaño de los gaps pueda crecer junto con el tamaño de los primos, pero salvo muy raras ocasiones puedes tener gaps de un orden muy similar a N(como en el ejemplo que sigue), por lo que es lógico decir que no tenderá a ni a mas infinito  ni a menos infinito.


En su tiempo era uno de esos acérrimos defensores de que se podía obtener el tamaño de gap que se quisiera incluso de tamaño infinito, luego creo que aprendí un poco más de mates por aquí, y vi  que no todo es tan color de rosa.


Si haces la operación del primorial, la productoria de todos los primos que quieras,$$N=\prod\limits_{i=1}^n p_i$$ tendrás previo y posteriormente a N, gaps mayor al tamaño al del mayor de los primos de la productoria....
Y si los primos dentro la productoria no tienen cota, es decir son infinitos, entonces el gap no la tiene... bueno... eso se dice no es cierto, yo lo mantengo en que es discutible en matemáticas, para mi todavía me suena a lógica pura.


Saludos
 

[Richard R Richard]

Supongo que la distribución de esta suma sería estadísticamente aleatoria o al menos impredecible a pesar de tener una construcción matemáticamente coherente.

No es muy claro lo que quieres comentar, si algo es aleatorio, solo sabes que puede el resultado  estar dentro de cierto rango, pero no puedes predecir el siguiente valor de la variable, aquí  con los gaps si es posible predecir el tamaño de gap  conociendo los dos primos extremos, así  que no es aleatorio, la gráfica es única.

[Richard R Richard]

La espiral de Ulam y espiral de Sacks muestran patrones sin explicación aparente. Quizá esta función también pueda hacerlo.

Hola, observando las gráficas y tratando de interpretar qué es lo que quieres mostrar con ellas, veo 2 cosas.


Una es que si encontraras un patrón al representar los primos entonces habrías encontrado una forma de predecirlos cosa que no se ha demostrado aún, es que si tienes un primo $$p$$, no tienes forma de saber sin analizar divisor por divisor hasta $$\sqrt p$$ si $$p+2$$ es tambien primo mas allá de algunas pocas reglas que pueden aplicarse.


Otra es que la gráfica seguro tomará una forma como la que propones y será mas recta aun si en vez de representar a $$p$$ es decir de usarlo como variable, usas o representas a $$p/log p$$....
Y no veo forma de que el polinomio que usas sea en realidad el patrón que observas y no solo los primos, haz la prueba graficando todos los naturales para ver si el gráfico cambia de forma, yo apostaría que no, pero no me lo he puesto a ver..