[lorena.zambrano]

Obtenga la aproximación polinomial de mínimos cuadrados de segundo y tercer grado en el intervalo \( [-1,1 ]  \)para la siguiente función:

 \( \displaystyle f(x) = \frac{1}{2} \cos(x) + \frac{1}{3}sen 2(x)  \)

He visto este ejercicio en el foro,

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=124275.0

Pero no logro entender porqué algunas integrales quedan nulas y no aparece como calcularon el error chicos, creo que me puedo guiar por ese pero necesito que me ayuden aclarar estás interrogantes, se los pido por favor.

[delmar]

Hola

Para el caso de aproximación polinomial de mínimos cuadrados de segundo orden, se trata de encontrar un polinomio de segundo orden \( P_n(x)=a_0+a_1x+a_2x^2 \) tal que minimize el integral en [-1,1] del error cuadrático respecto a f(x), es decir se tiene que encontrar el polinomio de segundo orden, lo cual equivale a encontrar \( a_0,a_1,a_2 \) tal que :

\( E(a_0,a_1,a_2)=\displaystyle\int_{-1}^{1}(f(x)-P_2(x))^2 \ dx=\displaystyle\int_{-1}^{1}((\displaystyle\frac{1}{2} \ cos x+\displaystyle\frac{1}{3} \ sen 2x)-(a_0+a_1x+a_2x^2))^2 \ dx \) sea mínimo.


Luego hay que hallar el los valores de \( a_0,a_1,a_2 \) que minimizan la función de varias variables E se ha de cumplir :

\( \frac{{\partial E}}{{\partial a_i}}=0, \ \ i=0,1,2 \)

Entonces lo que se ha de cumplir en general, se puede demostrar, por el hecho que son derivadas parciales :

\( \displaystyle\sum_{k=0}^n{a_k \ \displaystyle\int_{a}^{b}x^{j+k} \ dx}=\displaystyle\int_{a}^{b}x^j   f(x) \ dx, \ \ \ \ j=0,1,2 \)

Obviamente \( a=-1, \ b=1, \ n=2 \) y f(x) la del enunciado, observa que hay 3 ecuaciones y 3 incógnitas y se puede resolver cuando f es continua.

Saludos

[lorena.zambrano]

\( \displaystyle a_0 \int_{-1}^{1} x^0 dx + a_1\displaystyle\int_{-1}^{1}x^1dx+a_2\displaystyle\int_{-1}^{1}x^2dx=\displaystyle\int_{-1}^{1} \frac{1}{2} \cos(x) + \frac{1}{3}\sin(2x)dx \)

\( \displaystyle a_0 \int_{-1}^{1} x^1 dx + a_1\displaystyle\int_{-1}^{1}x^2dx+a_2\displaystyle\int_{-1}^{1}x^3dx=\displaystyle\int_{-1}^{1}x \frac{1}{2} \cos(x) + \frac{1}{3}\sin(2x)dx \)

\( \displaystyle a_0 \int_{-1}^{1} x^2 dx + a_1\displaystyle\int_{-1}^{1}x^3dx+a_2\displaystyle\int_{-1}^{1}x^4dx=\displaystyle\int_{-1}^{1} x^2 \frac{1}{2} \cos(x) + \frac{1}{3}\sin(2x)dx \)

El sistema de ecuaciones que he obtenido es:

\begin{bmatrix}{2a_0}+&{0a_1}+&{\frac{2}{3}}a_2=\sin(1)\\{0a_0}+&{\frac{2}{3}}a_1+&{0a_2}=0\\{\frac{2}{3}}a_0+&{0a_1}+&{\frac{2}{5}a_2}= \sin(1)\end{bmatrix}

Creo que está mal porque no concuerda con los resultados del libro
 De allí obtuve que \( a_0= -0.6311 \ a_1=0 \ a_2= 3.1555 \)

[lorena.zambrano]

Hola, he corregidos algunos cálculos que realicé al calcular las integrales por lo que el polinomio de grado dos que he obtenido es el siguiente:
\( \displaystyle -0.23263x^2+0.43539x+0.49827 \)
Ya conforme con el resultado necesito ayuda para calcular el error que en este caso sería

\( E(a_0,a_1,a_2)=\displaystyle\int_{-1}^{1}(f(x)-P_2(x))^2 \ dx=\displaystyle\int_{-1}^{1}((\displaystyle\frac{1}{2} \ cos x+\displaystyle\frac{1}{3} \ sen 2x)-(0.49827+0.43539x-0.23263x^2))^2 \ dx \)

Pueden ayudarme paso a paso a realizar este cálculo? No entiendo si primero voy a calcular cada una de las integrales, luego restarlas y después elevarlas al cuadrado, importa el orden en que coloqué el polinomio? Ayuda
Por favor.

[ani_pascual]

Hola:

Ya conforme con el resultado necesito ayuda para calcular el error que en este caso sería

\( E(a_0,a_1,a_2)=\displaystyle\int_{-1}^{1}(f(x)-P_2(x))^2 \ dx=\displaystyle\int_{-1}^{1}((\displaystyle\frac{1}{2} \ cos x+\displaystyle\frac{1}{3} \ sen 2x)-(0.49827+0.43539x-0.23263x^2))^2 \ dx \)

Pueden ayudarme paso a paso a realizar este cálculo? No entiendo si primero voy a calcular cada una de las integrales, luego restarlas y después elevarlas al cuadrado, importa el orden en que coloqué el polinomio? Ayuda
Por favor.

Hacer a mano esa integral tiene pinta de ser tedioso; creo que habría que desarrollar el cuadrado y luego aplicar la linealidad;  lo que no puedes hacer es calcular la integral de cada sumando y luego elevar al cuadrado.
Saludos

[lorena.zambrano]

Estoy tratando de resolver la y no llego al resultado, intenté usando simbolab y tampoco he podido, según el libro el error aplicando la integral da \( 0.00575719 \), pero ya no sé en qué orden hacer estas operaciones. Ayúdenme por favor

[delmar]

Hola

Soy de la misma idea de ani-pascual hay que desarrollar el cuadrado del integrando primero :

\( ((\displaystyle\frac{1}{2} \ cos x+\displaystyle\frac{1}{3}sen 2x)^2-2(\displaystyle\frac{1}{2} \ cos x+\displaystyle\frac{1}{3}sen 2x)(a_0+a_1x+a_2x^2)+(a_0+a_1x+a_2x^2)^2) \)


Y continuar desarrollando, hasta que se llegue a una suma de funciones elementales monomios, trigonométricas y el integral es pues la suma de los integrales de estas funciones elementales, avanza.


Saludos

[ani_pascual]

Hola:

Estoy tratando de resolver la y no llego al resultado, intenté usando simbolab y tampoco he podido, según el libro el error aplicando la integral da \( 0.0000134621 \), pero ya no sé en qué orden hacer estas operaciones. Ayúdenme por favor

Armándose de paciencia llego a...
\( \displaystyle\int_{-1}^1\left(\dfrac{1}{2}cos x+\dfrac{2}{3}\sen(2x)-(a_0+a_1x+a_2x^2)\right)^2\,dx=
\cdots = \left[\dfrac{x}{8}+\dfrac{1}{16}\sen(2x)+\dfrac{x}{18}-\dfrac{1}{72}\sen(4x)-\dfrac{2}{9}\cos^3x-a_0\sen x-a_1(\cos x+x\sen x)-a_2[2x\cos x+(x^2-2)\sen x]+\\\dfrac{a_0}{3}\cos (2x)-\dfrac{2a_1}{3}\left(\dfrac{1}{4}\sen(2x)-\dfrac{x}{2}\cos(2x)\right)-\dfrac{2a_0}{3}\left(\dfrac{x}{2}\sen(2x)+\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{x^2}{2}\right)\cos(2x)\right)+a_0^2x+a_1^2\dfrac{x^3}{3}+a_2^2\dfrac{x^5}{5}+a_0a_1x^2+2a_0a_2\dfrac{x^3}{3}+a_1a_2\dfrac{x^4}{2}\right]_{-1}^1 \)
Ahora quedaría aplicar la regla de Barrow y tener mucha fe para que se obtenga el mismo resultado que en el libro ...  .
Saludos

[lorena.zambrano]

Amigos habrá otra forma de calcular el error que sea más sencilla? No logro llegar al resultado por favor.

[Abdulai]

Amigos habrá otra forma de calcular el error que sea más sencilla? No logro llegar al resultado por favor.

Sencilla...  Los métodos numéricos son para hacer a máquina, te los hacen hacer a mano para que entiendas (con sangre) el proceso.

Para calcular los coeficientes \( a_k \) del polinomio ya tuviste que evaluar las integrales: \( b_k=\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)x^k\,\text{d}x \)

Ahora solo te queda una integral mas: \( \displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)^2\,\text{d}x \)

El error es: \( \displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)^2\,\text{d}x -a_0b_0 -a_1b_1 -a_2b_2 = 0.005757187697 \)

Eso es lo que me da a mí y tampoco coincide con el libro.   
Pero hay que tener cuidado, en regresiones polinómicas los coeficientes de las potencias suelen ser muy sensibles a los redondeos.  Como no se sabe como redondeó el autor a su resultado hay que tomarlo con precaución.

Yo lo hice con un CAS y evalué numéricamente el resultado final.  De todas maneras, con polinomios de orden elevado (digamos orden > 9 ) hasta es insuficiente la cantidad de decimales de la PC y hay que cambiar la estrategia, como por ejemplo, en lugar de usar el polinomio canónico hacerlo en términos de polinomios de Legendre.