Si estoy segura Masacroso. Me he guiado de este video:
El caso es que no me da el mismo resultado que en el Libro de Burden, el resultado da
\( 0,6947898+ 0.5281226x -0.1406141x^2 \) esto es lo que debería dar
No sé dónde puede estar el error
Eso del vídeo está mal: esa aproximación a la que se refieren no se conoce como aproximación por mínimos cuadrados sino como proyección (o aproximación si se quiere) en un espacio de Hilbert, en este caso el espacio es \( L^2[-1,1] \) y la proyección se hace sobre un subespacio de polinomios. No tiene una cosa que ver con la otra, son cosas diferentes, aunque es cierto que, si tomamos puntos arbitrarios de la función dada, en el caso límite (es decir, cuando el número de puntos tiende a infinito) la aproximación por mínimos cuadrados converge a la aproximación correspondiente en \( L^2 \).
El método es el siguiente: a partir de una base ortonormal \( B \) del subespacio sobre el que se proyecta, la proyección ortogonal de \( f\in L^2[-1,1] \) viene dada por \( \sum_{e_k\in B}\langle f, e_k\rangle e_k \), donde \( \langle \,\cdot\, ,\,\cdot\, \rangle \) es el producto interior en \( L^2[-1,1] \), que suele ser de la forma \( \langle f,g \rangle:= C \int_{[-1,1]}f\cdot \bar g \,d \lambda \) para alguna constante \( C>0 \), que suele ser o bien \( 1 \) o bien la longitud o medida del conjunto sobre el que se integra (ahí \( d\lambda \) es la medida de Lebesgue, que para funciones continuas equivale lo anterior a una integral de Riemann).
La dificultad aquí es hallar una base ortonormal del subespacio sobre el cual se quiere hacer la proyección. Por ejemplo si queremos proyectar sobre el espacio de polinomios de grado igual o menor a tres, llamémoslo \( P_3[x] \), entonces una base de tal subespacio viene dada por \( B:=\{1,x,x^2,x^3\} \), quedaría por tanto ortonormalizar tal base utilizando el procedimiento de Gram-Schmidt y luego aplicar lo dicho anteriormente.
