[ancape]

Hola

Mi aportación es probabilística pero creo, aún no lo he demostrado, que el razonamiento principal y es que el cuadrado de un número grande contiene todas las cifras del 0 al 9 es correcto.

Un argumento probabilístico no tiene sentido alguno en este contexto.

La probabilidad de que un número de \( 1000 \) cifras tenga todas ellas iguales a \( 1 \), es \( \dfrac{1}{10^{1000}-10^{999}} \) casi cero; pero obviamente existe un número de mil cifras con todas ellas iguales a uno.

No es cierto que el cuadrado de un número grande contiene a todas las cifras del 0 al 9. Basta coger potencias pares de \( 10 \), como ejemplo trivial, pero se pueden buscar muchos otros.`

Como he dicho en mi comentario, es un argumento probabilístico, no una demostración al uso en matemáticas por eso escribo "aún no lo he demostrado". Dices que no es cierto que el cuadrado de un número grande contenga todas las cifras del 0 al 9 y es evidentemente así. Lo que ocurre es que los contraejemplos que demuestran esto, lo hacen con números muy escogidos como los que propones. El razonamiento que he seguido es:

Si demuestro que un número que contiene 5 cifras con el numero 2, 7 cifras son el numero 3,....... y es cuadrado perfecto debe contener todas las cifras del 0 al 9 he resuelto el problema. Hay \( 10^{43} \) números con 43 cifras y sólo \( 5^{43} \) que no tengan entre sus cifras \( 0,1,4,5,6 \). La probabilidad de que sea falso lo que dije antes es muy baja. ¡¡ Merece la pena tratar de probarlo !!

Tampoco están bien calculadas las probabilidades.

La cantidad de números de \( 43 \) cifras en las que no están \( 1,4,5,6 \) es \( 6^{43} \).

Ahí estás incluyendo los números de menos de \( 43 \) cifras porque permites que el cero ocupe los lugares iniciales del número.

La cantidad de números de \( 43 \) cifras es \( 10^{43} \)

Ahí lo mismo; incluyes números de menos de \( 43 \) cifras.

así la probabilidad de que exista un número de \( 43 \) cifras cuadrado perfecto es \( \displaystyle\frac{1}{4^{43}} \) o sea, casi 0.

Y en todo caso eso no estaría bien ni con los cálculos que pusiste antes. No se porque pones un \( 1 \) en el numerador. Ni tampoco porque escoges ese denominador.

Efectivamente los cálculos no están bien hechos pues no me merecía la pena perder el tiempo precisando cuando mi objetivo era perseguir una posible demostración de un hecho y estimar si tal hecho era bastante probable o no.

P.D. Es interesante está página relacionada:

https://www.asahi-net.or.jp/~KC2H-MSM/mathland/math02/three00.htm

Gracias por la información. La he visto por encima y tiene muy buena pinta. La estudiaré para ver si puedo sacar algo de ahí.

Saludos

PD
Posiblemente este no sea el hilo en el que debatir sobre hacer matemáticas como base para diseñar ingenios reales, (en ese caso una buena aproximación es suficiente o una probabilidad de desastre muy pequeña bastaría), o hacer matemáticas como satisfacción personal en cuyo caso solo los resultados imbatibles se tendrán en cuenta.

[iiaaannn]

Hola, he hablado con mi profesor de matemáticas y me ha dicho que en principio el problema esta hecho para que SI exista tal numero. Y en el csao de que no, es ir probando para encontrar contradicciones, por ejemplo, con el 9 sabemos que el numero es un cuadrado perfecto porque el numero de 43 cifras, la suma de estas es 270, y 270 = 0 mod 9 y 270 = 0 mod 3. Hasta aquí tenemos vigentes todas las posibilidades, ahora la idea es ir armando el numero desde atras para que sea 0 mod n y 0 mod n^2 , y en el momento que haya una contradiccion se demuestra que ya no es cuadrado, me he explicado?

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, he hablado con mi profesor de matemáticas y me ha dicho que en principio el problema esta hecho para que SI exista tal numero. Y en el csao de que no, es ir probando para encontrar contradicciones, por ejemplo, con el 9 sabemos que el numero es un cuadrado perfecto porque el numero de 43 cifras, la suma de estas es 270, y 270 = 0 mod 9 y 270 = 0 mod 3. Hasta aquí tenemos vigentes todas las posibilidades, ahora la idea es ir armando el numero desde atras para que sea 0 mod n y 0 mod n^2 , y en el momento que haya una contradiccion se demuestra que ya no es cuadrado, me he explicado?

Pero no dice nada nuevo.

El problema es que esa contradicción no aparece, y las posibilidades para las últimas cifras del cuadrado se van multiplicando, todas compatibles con las cifras que tenemos.

Por otro lado si el problema está pensado para que la respuesta sea SI, la única forma sería dar tal cuadrado; no parece viable esto sin una descomunal cantidad de cálculos. A mi me sigue pareciendo de que es un enunciado puesto a la ligera.

La pregunta que deberías de hacerles es si ellos conocen la solución. Entiendo que no te la den de buenas a primeras para que te pelees con el problema.

El enlace que puse es significativo. El buscar cuadrados que contengan sólo ciertas cifras está resuelto por fuerza bruta.

Saludos.

P.D. No quiero desviar la atención del hilo, pero:

Si demuestro que un número que contiene 5 cifras con el numero 2, 7 cifras son el numero 3,....... y es cuadrado perfecto debe contener todas las cifras del 0 al 9 he resuelto el problema. Hay \( 10^{43} \) números con 43 cifras y sólo \( 5^{43} \) que no tengan entre sus cifras \( 0,1,4,5,6 \). La probabilidad de que sea falso lo que dije antes es muy baja. ¡¡ Merece la pena tratar de probarlo !!

No, en este contexto, no tiene ningún sentido considerar el argumento probabilístico como indicio de nada.

[iiaaannn]

Hola

Hola, he hablado con mi profesor de matemáticas y me ha dicho que en principio el problema esta hecho para que SI exista tal numero. Y en el csao de que no, es ir probando para encontrar contradicciones, por ejemplo, con el 9 sabemos que el numero es un cuadrado perfecto porque el numero de 43 cifras, la suma de estas es 270, y 270 = 0 mod 9 y 270 = 0 mod 3. Hasta aquí tenemos vigentes todas las posibilidades, ahora la idea es ir armando el numero desde atras para que sea 0 mod n y 0 mod n^2 , y en el momento que haya una contradiccion se demuestra que ya no es cuadrado, me he explicado?

Pero no dice nada nuevo.

El problema es que esa contradicción no aparece, y las posibilidades para las últimas cifras del cuadrado se van multiplicando, todas compatibles con las cifras que tenemos.

Por otro lado si el problema está pensado para que la respuesta sea SI, la única forma sería dar tal cuadrado; no parece viable esto sin una descomunal cantidad de cálculos. A mi me sigue pareciendo de que es un enunciado puesto a la ligera.

La pregunta que deberías de hacerles es si ellos conocen la solución. Entiendo que no te la den de buenas a primeras para que te pelees con el problema.

El enlace que puse es significativo. El buscar cuadrados que contengan sólo ciertas cifras está resuelto por fuerza bruta.

Saludos.

P.D. No quiero desviar la atención del hilo, pero:

Si demuestro que un número que contiene 5 cifras con el numero 2, 7 cifras son el numero 3,....... y es cuadrado perfecto debe contener todas las cifras del 0 al 9 he resuelto el problema. Hay \( 10^{43} \) números con 43 cifras y sólo \( 5^{43} \) que no tengan entre sus cifras \( 0,1,4,5,6 \). La probabilidad de que sea falso lo que dije antes es muy baja. ¡¡ Merece la pena tratar de probarlo !!

No, en este contexto, no tiene ningún sentido considerar el argumento probabilístico como indicio de nada.

ya le pregunté y no sabia como se hacia, que lo tenia resuelto en una hoja y no la tenia, pero todo apunta a que si se puede por lo que me dices.
Entonces diría que si tiene solución, aunque sea bastante complicado justificarla.

[Luis Fuentes]

Hola

Ya le pregunté y no sabia como se hacia, que lo tenia resuelto en una hoja y no la tenia, pero todo apunta a que si se puede por lo que me dices.

A ver si va a pasar como con el Teorema de Fermat: "He encontrado una demostración maravillosa para este teorema pero este margen es demasiado estrecho para contenerla". 

Entonces diría que si tiene solución, aunque sea bastante complicado justificarla.

Si bueno; teóricamente solución tiene; porque al final son una cantidad finita de comprobaciones las que habría que hacer. Otra cosa es que sea finita, pero descomunal.

Sigo escéptico ante el asunto...

Saludos.

[vmanalb]

Tengo que formar un numero de 43 cifras con las siguientes cifras:
5 cifras son el numero 2
7 cifras son el numero 3
10 cifras son el numero 7
20 cifras son el numero 8
1 cifra es el numero 9

Tengo que formar un numero y decir si se puede formar o no un cuadrado perfecto, la cosa está en el procedimiento de por que se puede o por que no

esto me recuerda a quien tiene el pez.

el ultimo es un numero cuadrado perfecto de uno menor a 10.
el segundo ya sabemos lo que se lleva si es por descartes,

el ultimo es cuadrado perfecto mas lo que nos llevamos,

el segundo sabemos que es 1º*2º)^2 solo la ultima cifra y podremos descartar algo seguro.

no es preciso que el problema no tenga solucion

hay problemas a los que les faltan datos pero representan un conjunto de inecuaciones con posibilidades, y un dato estupido como el de cuadrado perfecto te las limita.

lo siento pero ,,, soy dislexico y asi de cabeza no doy mas

recomiendo una tabla de posibilidades por digito, es decir,

de los que quedan, cual puede ser.

el 1º será el más fácil despues habran muchas posibilidades y muchos calculos, es posible que la suma de calculos sea restriccion suficiente para limitar posibilidades y entre que sabes lo que te llebas y tienes ya parte de las incognitas de la ecuacion.
pues al final es un sistema de 43 exuaciones

propongo 43 tablas con 5^5 posibilidades,
creo se descarta el 9 por lo que son tablas de 16

que se pueden representar en exadecimal


a ver ultimo 9

luego X1=(3*x1)^2=algo que acaba en los numeros dados. apuntas

vale, me la juego con el patron pero sera algo asi se deduce de hacer una multiplicacion por pasos poniendo a los digitos X1 X2 X0 X3 ... X43

X2=(3*x2)(x1*x3)^2
X3=(3*x3)(x1*x4)^2(x2*x3)
...
X43=(3*x43)(x1*x43)^1(x42*x2)(x41*x3)...X22^2


ya que lo tienes en el papel acerte ??

[Richard R Richard]

Lo que tu dices lo hice con los últimos 7 dígitos  y no halle una manera de filtrar resultados por el contrario, siguen apareciendo  más candidatos con las mismas últimas cifras finales, nada concluyente. Pero difícil para un tema de olimpiada,  yo lo hice por algoritmo,  a mano es inviable en los tiempos dados.

[RDC]

Hola, he hablado con mi profesor de matemáticas y me ha dicho que en principio el problema esta hecho para que SI exista tal numero. Y en el csao de que no, es ir probando para encontrar contradicciones, por ejemplo, con el 9 sabemos que el numero es un cuadrado perfecto porque el numero de 43 cifras, la suma de estas es 270, y 270 = 0 mod 9 y 270 = 0 mod 3. Hasta aquí tenemos vigentes todas las posibilidades, ahora la idea es ir armando el numero desde atras para que sea 0 mod n y 0 mod n^2 , y en el momento que haya una contradiccion se demuestra que ya no es cuadrado, me he explicado?

Tu profesor te dice que sí existiría tal número, pero que si no existe encuentres la contradicción que hace que no exista. Joder, como te ha toreado jajaja

Como se ha dicho si existe debe ser el cuadrado de un múltiplo de 3. Este número que elevado al cuadrado da el número que buscamos debe terminar en 3 o 7. HAcemos una lista, $$A$$

$$A=\left\{{3,27, 33,57,63,87,93, ...}\right\}$$

Vemos que:

$$3^2=9=9·1$$
$$27^2=729=9·9^2$$
$$33^2=1089=9·11^2$$
$$57^2=3249=9·19^2$$
$$63^2=3969=9·21^2$$
$$87^2=7569=9·29^2$$
$$93^2=8649=9·31^2$$
$$117^2=13689=9·39^2$$
$$123^2=15129=9·41^2$$
$$147^2=21609=9·49^2$$
$$153^2=23409=9·51^2$$
$$177^2=31329=9·59^2$$
$$183^2=33489=9·61^2$$
...

a) Vemos como las 2 últimas cifras, a partir del $$153^2$$ vuelven a repetirse hacia atrás

b) Vemos la serie que sigue. Lo podemos representar como dos series alternadas:
1º=  $$9·(1,11,21,31,41,51,...)$$
2º= $$9·(9,19,29,39,49,59,...)$$

c) Por el punto a, vemos como sólo es posible que se de la serie que nos dice si ésta termina en $$...89$$ o bien, en $$...29$$. Los demás casos es imposible porque involucra números que no pueden estar $$(4,6,0)$$.

d) Por el punto c) anterior podemos optimizar la serie para ceñirnos a los valores que nos interesan:

Aplicamos esta fórmula: $$9(x+10^2n)^2$$ donde $$n$$ es un natural cualquiera y $$x=\left\{{9,11,39,41,61,89,91}\right\}$$

Con un excel me sale sin matarme mucho que $$9(6.441^2)=373.378.329$$ iría en la línea. Pero es el 5º cuadrado que no contiene $$(0,1,4,5,6)$$, y luego podemos seguir hasta $$9(28.809^2)=7.469.626.329$$ para observar que no vemos más. Habría que tirar de computador para ir más allá

Spoiler

A ver sí no será este número:

788 27737 88387 37723 78388 88882 83878 22888 83789

[cerrar]

[Luis Fuentes]

Hola

A ver sí no será este número:

788 27737 88387 37723 78388 88882 83878 22888 83789

Ese número no es un cuadrado perfecto.

Saludos.

[Richard R Richard]

Ese número no es un cuadrado perfecto.

Yo también lo había comprobado, con wolfram, no lo publiqué porque estoy a horas de tener una lista de mas de 1000000 de números de 21 cifras, que al cuadrado tenga 43 cifras entre las cuales por lo menos las 21 cifras finales se comportan de acuerdo a la distribución de números, luego me queda ver caso por caso, cuales si los hay ,cumplen los 22 primeros con el resto de la distribución, si uno lo cumple será el número buscado.
Es el 7mo programa que hago, cada vez que veo una regla para descartar mas casos, voy a foja cero, y filtro los que no darán resultado positivo, aun así estoy revisando 781380 números de 20 cifras cuyo cuadrado puede tener al menos 20 cifras que son 2,3,7 y 8 y el último número un 9... que son la semilla para probar los de 21 cifras que si podrán darnos el resultado.
Del tiempo estimado en semanas de pc encendido, pase a menos de 2 dias, por aqui es feriado fin de semana extra largo, y aproveche el tiempo para correrlo, si no se corta la luz , les aviso de mi progreso.


Creo que está más que claro que no es un problema para olimpiadas, a lápiz y papel... yo no le encuentro ninguna lógica de resolución que no sea la fuerza bruta, y algo de ingenio para descartar candidatos al fracaso, previo a que se produzcan y evitar horas de máquina innecesarias.