Hola,
Estoy intentando hacer el siguiente ejercicio:
Demuestra que si \( I \subset \Bbb R^{N} \) es un intervalo degenerado, entonces \( I \) es nulo.
Me gustaría que me echaseis una mano porque me encuentro bastante atascado. Lo único que tengo es que si \( I \) intervalo en \( \Bbb R^{N} \), entonces \( I = I_1 \times I_2 \times ... \times I_N \), donde \( \forall i \in \{1,...,N\} \), \( I_i \) es un intervalo en \( R \) de extremos \( a_i, b_i \). Ahora bien, si es degenerado existe algún \( i_0 \in \Bbb N \) tal que \( I_{i_0} = [a_{i_0}, a_{i_0} ] \), así \( |I| = 0 \).
Lo que pasa es que, sin tener ninguna información sobre los demás \( I_i \), ¿cómo puedo definir una sucesión de intervalos abiertos y acotados que recubra a todo \( I \) y que la suma de sus medidas sea menor que epsilon? (dado un epsilon arbitrario). Porque podría tener que alguno de los intervalos que conforman \( I \) fuera no acotado, ¿no?
Probablemente me esté liando más que lo que realmente sea el ejercicio, pero de momento no veo nada claro
No creo que te estés liando más de la cuenta, y tu pregunta es acertada: si uno de los \( I_k \) no está acotado, por ejemplo es de la forma \( [a_k,\infty ) \), entonces tiene algo más de tarea definir una sucesión de abiertos que recubran a \( I \) y cuya medida tienda a cero. No sé cómo te habrán enseñado a hallar las medidas de los abiertos que recubren pero lo más elemental sería recubrir tu intervalo con un número contable de intervalos abiertos.
Una manera sería la siguiente, sin pérdida de generalidad podemos suponer que si \( I:=\prod_{k=1}^n I_k \), con \( I_k\subset \mathbb{R} \) un intervalo cualquiera, entonces \( I_1=\{a_1\} \). Entonces una idea sencilla es, para una grilla regular de \( \mathbb{R}^{n-1} \), definir para cada punto un intervalo abierto que cubra una parte de \( \{a_1\}\times \mathbb{R}^{n-1} \) de tal modo que la suma de todos los volúmenes sea arbitrariamente pequeña.
Por ejemplo, como grilla puedes tomar \( G:=\{(a_1,x_2,\ldots,x_n )\in \mathbb{R}^n: \forall k(x_k\in \mathbb{Z})\} \) y para cada \( p\in G \) definir \( O_p:=(a_1-\epsilon 2^{-n-\varphi (p)},a_1 +\epsilon 2^{-n-\varphi (p)})\times \prod_{k=2}^n (x_k-1,x_k+1) \) donde \( \varphi :G\to \mathbb{N}\setminus \{0\} \) es una biyección cualquiera, entonces si \( \lambda (O_p) \) es el volumen de cada \( O_p \) tienes que \( \lambda (O_p)=\epsilon 2^{-n+1-\varphi (p)}\cdot 2^{n-1}=\epsilon 2^{-\varphi (p)} \) y por tanto
\( \displaystyle{
\sum_{p\in G}\lambda (O_p)=\sum_{k\in \mathbb{N}\setminus \{0\}}\epsilon 2^{-k}=\epsilon
} \)
de donde se concluye lo que queríamos demostrar, es decir que \( \lambda (I)=0 \). Espero te haya quedado claro el ejemplo, si no pregunta de nuevo.
Añadido: ups, mientras escribía se me adelantaron
Luis Fuentes y
ani_pascual.
