Por último, el ejemplo de Masacroso no lo he entendido en absoluto. ¿Qué es una grilla?
Un sinónimo de grilla es cuadrícula, en este caso se refiere a una colección de puntos en un patrón regular por todo el espacio.
¿Y por qué estamos considerando biyecciones? No sé qué papel juega \( O_p \) en esta demostración, no me han definido nada de eso en clase...
En este caso la biyección es una forma de etiquetar puntos, a cada punto de la cuadrícula se le asigna un número a través del cual se va a construir un abierto \( O_p \). Cada \( O_p \) tiene un volumen conocido y entre todos cubren a \( \{a_1\}\times \mathbb{R}^{n-1} \). Es parecido a lo que ha hecho
Luis Fuentes, pero su construcción es más sencilla.
Nosotros no podemos saber lo que habéis dado o no en clase, o con que estrategia o camino se ha hecho. Por eso hemos tratado de dar soluciones lo más elementales posible asumiendo un mínimo de teoría. Pero vamos, mi respuesta es totalmente elemental, sabes lo que he hecho en cada paso (sabes lo que es una biyección entre dos conjuntos, lo que es un intervalo abierto en \( \mathbb{R}^n \) y como hallar su volumen), lo que quizá no sepas es por qué hago lo que hago en cada paso, y seguramente al no estar muy acostumbrado a leer demostraciones algún detalle se te ha pasado por alto (como que el volumen de cada \( O_p \) depende del valor de \( \varphi (p) \), es para eso para lo que usamos la biyección, para asignar un valor específico a cada \( O_p \)).
Entiendo la frustración de leer alguna demostración y no entenderla a la primera, suele ser por falta de costumbre o rodaje (o porque la demostración esté mal, aunque no creo sea éste el caso), a veces hay que tomarse más tiempo para procesar una demostración hasta entenderla. A día de hoy me pasa todavía con alguna, pero por experiencia sé que si no he entendido algo es que he pasado por alto algún detalle, así que no me frustro y releo con más detenimiento hasta llegar a comprenderla.
Cuando uno se expone a un determinado tipo de argumentación por primera vez se requiere de más esfuerzo para entender esa forma de argumentar. Cuando uno ya conoce muchas formas de argumentar entonces cada vez va resultando más fácil leer las demostraciones.
Pregunta algo si quieres aclarar alguna cosa. Una cosa que no he mostrado en mi respuesta es por qué \( \{a_1\}\times \mathbb{R}^{n-1}\subset \bigcup_{p\in G}O_p \), para ver eso sería suficiente con ver que para cada \( q\in\{a_1\}\times \mathbb{R}^{n-1} \) existe un \( p\in G \) tal que \( q\in O_p \), por ejemplo si \( q=(a_1,q_2,\ldots ,q_n) \) tenemos que \( q_k\in(\lfloor q_k \rfloor-1,\lfloor q_k \rfloor+1) \) para cada \( k\in\{2,\ldots,n\} \), donde \( \lfloor \,\cdot\, \rfloor \) es la
función piso. Por tanto si tomamos \( p=(a_1,\lfloor q_2 \rfloor,\ldots ,\lfloor q_n \rfloor) \) tenemos que \( q\in O_p \), como queríamos demostrar.
