Hola
Aproxime las siguientes integrales
\( \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(senx^2)dx \)
\( \displaystyle\int_{0}^{10}\frac{1}{x}dx \)
mediante las formulas (i) regla del trapecio para n = 1 (ii) fórmula abierta de Newton-Cotes para n = 3. ¿Son las exactitudes de las aproximaciones compatibles con las fórmulas del error? ¿Cuál de las formulas da la mejor aproximación?.
¿Qué has intentado?
Por ejemplo la regla del trapecio es:
\( \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx=\dfrac{h}{2}(f(b)\color{red}+\color{black}f(a))-\underbrace{\dfrac{\color{blue}h^3\color{black}}{12}f''(t)}_{error} \) con \( h=b-a \) y \( t\in (a,b) \)
La primera integral creo que querías poner:
\( \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(sen(x))^2dx \)
Se puede calcular exactamente y ver que da \( exacto=\pi/4 \).
Spoiler
Basta notar que \( sin^2(x)=\dfrac{1-cos(2x)}{2} \)
Por otra por la fórmula del trapecio la aproximación es (\( f(x)=sin^2(x) \)):
\( approx=\dfrac{\pi/2-0}{2}(sin^2(\pi/2)\color{red}+\color{black}sin^2(0))=\dfrac{\pi}{4} \)
Para el error que estima la fórmula del trapecio tenemos que \( f''(x)=2cos(2x) \) y una cota del error sería:
\( |error|=\left|\dfrac{\color{blue}(\pi/2-0)^3\color{black}}{12}\cdot 2\cdot cos(2t)\right|\leq \color{blue}\dfrac{\pi^3}{48}\color{black} \)
El error exacto en este caso es:
\( |approx-exacto|=|\pi/2-\pi/2|=0 \)
que obviamente entra entro de la cota anterior.
Ya tienes un ejemplo; intenta el resto.
Saludos.
P.D. Creo que la segunda integral debería de ser:
\( \displaystyle\int_{1}^{10}\dfrac{1}{x}dx \)
Con los límites que has puesto no converge.
CORREGIDOCORREGIDO 2 (gracias ani_pascual)
