Hola
Luis una última pregunta respecto a este tema, ¿cómo sé si las aproximaciones son compatibles con la fórmula de error?
Comprobando si:
\( |\text{valor aproximado}-\text{valor real}|\leq \text{error estimado} \)
Y respecto a la integral b) si en realidad se debe calcular la integral de \( 0 \) hasta \( 10 \) de \( 1/x \) entonces no tiene solución por ninguno de los dos métodos?
Sería bueno que más allá de las cuentas no pierdas de vista el significado de lo que estás haciendo.
Los métodos que estás estudiando son métodos para aproximar el valor de unas ciertas integrales definidas.
Si consideras la integral:
\( \displaystyle\int_{0}^{10}\dfrac{1}{x}dx \)
puedes comprobar que no converge; es una integral de una función no acotada que no existe (o si prefieres el resultado es infinito), dado que:
\( \displaystyle\lim_{a \to 0^+}{}\displaystyle\int_{a}^{10}\dfrac{1}{x}dx=+\infty \)
Entonces cualquier método que te de un valor concreto aproximado para esa integral estaría fallando, en el sentido de que pretendería aproximar una integral cuyo valor es infinito.
No obstante un podría intentar aplicarlos.
Ahora, el primer método (Trapecio):
\( \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx=\dfrac{h}{2}(f(b)\color{red}+\color{black}f(a))-\underbrace{\dfrac{\color{blue}h^3\color{black}}{12}f''(t)}_{error} \)
NO puedes usarlo, porque en este caso \( a=0 \) y \( f(a)=f(0)=1/0 \) que NO existe.
Sin embargo Newton Cotes abierto para \( n=3 \) SI puedes aplicarlo:
Con Newton Cotes abierto para \( n=3 \) tienes:
\( \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx\approx \dfrac{5h}{24}(11f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+11f(x_3)) \)
con error \( \dfrac{95}{144}h^5\cdot f''''(t) \) con \( t\in (a,b) \), donde:
\( h=\dfrac{b-a}{5},\quad x_i=a+(i+1)\cdot h \)
En tu caso tendrías \( h=(10-0)/5=2 \) y:
\( x_0=2,\quad x_1=4,\quad x_2=6,\quad x_3=8 \).
Saludos.
