Hola.
Teorema Chino del resto: sean \( m_1,...,m_k \) coprimos dos a dos y \( a_1,...,a_k\in{\mathbb{Z}} \) entonces el sist
\( \begin{cases} x\equiv{a_1}(m_1) \\ ... \\ x\equiv{a_k}(m_k) \end{cases} \)
tiene solucion unica modulo \( m_1...m_k \)
Mi pregunta es si puedo poner:
\( m_1,...,m_k \) coprimos dos a dos y \( a_1,...,a_k\in{\mathbb{Z}} \)
\( \begin{cases} x\equiv{a_1}(m_1) \\ ... \\ x\equiv{a_k}(m_k) \end{cases} \) \( \Leftrightarrow{x\equiv{a_0(m_1...m_k)}} \)
Pregunto esto porque si quitamos que sean primos, el directo por teorema chino no podemos afirmar nada, pero el reciproco si, lo que no le veo mucho sentido, pues hice un ejemplo y al resolver el sistema me da una solución modulo distinto
Por ejempo \( x\equiv{1}(24)\Rightarrow{}\begin{cases} x\equiv{1}(4) \\ x\equiv{1}(6) \end{cases} \) y si resuelvo este sistema me da una solucion modulo 12, por lo que no me sirvio para nada, es mas lo veo bastante raro hacer esto.
Es mas viendo esto me parece que el teorema chino es un directo y no una equivalencia
Hola, Nub, te explico un poco a mi modo, empezando por el principio, por si te resultara útil.
Una manera de sumar fracciones es multiplicando en aspa o cruz, y esto se puede hacer con más de dos fracciones (supongo que se seguirá enseñando esto en los colegios y que hoy en día también lo sabe todo el mundo) pongo un ejemplo visual:
\( \dfrac{3}{{\color{blue}4}}+\dfrac{1}{{\color{brown}5}}+\dfrac{1}{{\color{green}2}} \)
\( \dfrac{3*{\color{brown}5}*{\color{green}2}+\:1*{\color{blue}4}*{\color{green}2\:}+1*{\color{blue}4}*{\color{brown}5}}{{\color{blue}4}*{\color{brown}5}*{\color{green}2}} \).
En el denominador tenemos un múltiplo común de los módulos, pero no es el mcm, porque “sobra” el 2.
Ahora escribamos unas equivalencias cualesquiera con esos módulos y los números de ahí, 3,1,1, para ir identificando las cosas antes de seguir:
\( 3\equiv-1({\color{blue}4}) \)
\( 1\equiv6\,({\color{brown}5}) \)
\( 1\equiv7\,({\color{green}2}) \).
A partir de esto, consideramos restar las equivalencias en la suma anterior:
Así, cada fracción dará un entero, como ves y, por tanto, la suma de las tres será otro entero que llamo “y”.
Luego podemos escribir
\( \dfrac{3+1}{{\color{blue}4}}+\dfrac{1-6}{{\color{brown}5}}+\dfrac{1-7}{{\color{green}2}}=y \)
Y a partir de aquí multiplicar los denominadores como antes.
En cualquier caso, tendremos esta igualdad entre enteros,
\( 10(3+1)+8(1-6)+20(1-7)=4*5*2*y \).
Obviamente, si dividimos entre 2 a ambos lados, a la derecha queda el mcm de las fracciones, que es 20, lo que igualmente va a servir para reducir las congruencias; pero va a cambiar los módulos y los números, por lo que, más tarde (al resolver una ecuación) tendremos que “recambiarlos” por unos equivalentes a los de origen.
Dicho esto, podemos plantear la misma idea con una incógnita x; por ejemplo:
\( x\equiv5({\color{blue}4}) \)
\( x\equiv6\,({\color{brown}5}) \)
\( x\equiv7\,({\color{green}2}) \).
Y de ahí la suma de fracciones sería
\( \dfrac{x-5}{{\color{blue}4}}+\dfrac{x-6}{{\color{brown}5}}+\dfrac{x-7}{{\color{green}2}}=y \)
donde cada fracción es un entero.
En este caso, por los módulos, hay una congruencia de sobra (equivalente) porque podemos multiplicar la ecuación por 2 y las fracciones seguirán siendo enteras a la vez que 2y también lo será:
\( \dfrac{x-5}{2}+\dfrac{2x-12}{5}+x-7=2y \).
Se tiene entonces que x-7 será un entero independientemente del valor entero de x que sea, por lo que despejando también tendremos otro entero
\( \dfrac{x-5}{2}+\dfrac{2x-12}{5}=2y-x+7=k \).
(*
bueno, haciendo esto, al final habrá que poner k en función de y. No es lo usual )
Y de aquí \( \dfrac{x-5}{2}+\dfrac{2x-12}{5}=k \), multiplicando en cruz y tal, te sale una ecuación diofántica de variables x,k (y observamos que los módulos que nos han quedado, al reducir con el mcm, son coprimos, 2,5, tiene solución).
Hasta aquí está casi completa lo que es la idea del teorema chino; pero falta un poco.
Esa ecuación, en general, puede ser larga y tener números más grandes; entonces, como cada fracción es un entero, lo cómodo es resolver la ecuación diofántica de cada fracción (para un mismo x). Y eso es el teorema chino; ahora falta la cuestión operativa.
Esas fracciones suponen las congruencias
\( x\equiv{\color{red}5}(mod\,2) \)
\( 2x\equiv12)\,(mod\,5) \)
pero en origen, antes de sumar y usar el mcm, teníamos el sistema
\( x\equiv5({\color{blue}4}) \)
\( x\equiv6\,({\color{brown}5}) \)
\( x\equiv7\,({\color{green}2}) \).
Así que, en general, tendremos que transformarlas para que “x” sea la misma “x” en todas según el sistema original.
De este modo, tomando la de módulo 2, por ejemplo, haríamos
\( x\equiv{\color{red}5}a\equiv7(mod\,2) \).
*(No sé si me habré liado en las cuentas porque mientras lo hacia ha habido interrupciones, seguro que algo habrá mal por ahí. Pero, pase lo que pase, fíjate que la idea se ve a partir de la suma de fracciones multiplicando en cruz, de forma que se obtiene a través de eso un módulo común y unas equivalencias transformadas; por lo que esas equivalencia hay que “reponerlas” al resolver fracción por fracción; si se resuelve la ecuación grande, no fracción por fracción, no hace falta “reponer" nada, pero eso no es el teorema chino, o no exactamente, no es lo que te van a pedir en los ejercicios).
Saludos.
