Lo que pasa que resolver cada congruencia por separado básicamente es tantear, si no tanteas e igualas todas las ecuaciones vas a obtener una diofantica, cuando la resuelvas va ser esa ecuacion equivalente a todas, por lo que no sirve de mucho, a lo que me refiero en tantear es tomar todas las soluciones menores al modulo que indica el teorema chino en cada ecuacion, luego tomar la solución en comun
No entiendo. Pero es culpa mía, que seguro que he sido confuso en algunos sitios al explicarme (y, además, pues me he podido despistar en alguna cuenta, notación o algo).
Interpreto lo que dices como una pregunta respecto de algo que e
xpliqué y no ha quedado claro.
(por dentro, me entiendo de maravilla, pero una cosa es lo que yo veo mi cabeza, lo que se ve en la “foto de Aliexpress”, y otra la que llega al destinatario).
...
Lo que yo digo es el teorema chino; pero con una notación más moderna, aunque no tanto como la actual, porque este teorema es de antes de Cristo.
Esto, por ejemplo
\( x\equiv2(3) \)
\( x\equiv\,1(5) \)
\( x\equiv2\,(4) \)
Se puede escribir así
*\( x\equiv(3x+2)\equiv(5x+1)\equiv(4x+2) \)
por tanto, también así
\( x\equiv(3x+2)+(5x+1)+(4x+2) \) (porque sería “tres veces” x, digamos)
o también así
\( x\equiv\dfrac{x-2}{3}+\dfrac{x-1}{5}+\dfrac{x-2}{4} \)
donde multiplicando en cruz, también así
\( x\equiv20*\dfrac{x-2}{60}+12*\dfrac{x-1}{60}+15*\dfrac{x-2}{60} \)
y despejando, así
\( 20*(x-2)+12*(x-1)+15*(x-2)\equiv k \) con k=60x.
La primera congruencia, la del primer sumando, tiene que ser la congruencia de partida \( x\equiv2(3) \), porque en principio, no hemos cambiado nada, debería ser \( x\equiv\dfrac{x-2}{3} \).
Pero cuando nos llevamos “al otro lado” el múltiplo común del denominador y queda
\( 20*(x-2)+12*(x-1)+15*(x-2)\equiv k \)
aunque cada sumando sigue siendo congruente con “x”, es otra “x” la de los paréntesis (
si se considera individualmente) tiene otra equivalencia respecto de las anteriores; ya dije por ahí que se hacían las congruencias particulares pero para la misma “x”; me refería a esto, a que hay que “reponer” las equis para que sean las mismas.
Entonces, por ejemplo, en el primer sumando, tenemos \( x\equiv20*(x-2) \). Esta “x” del paréntesis ha cambiado, porque si dividimos la expresión por 3 con la "x" de la ecuación completa, con todos los sumandos, ya no deja resto
dos cero (en general) como antes, debido a que se ha despejado el denominador y se ha aislado un sumando. Así que, cambiamos (x-2) por una letra: \( x\equiv20*a \);porque al hacerlas individualmente no es lo mismo que cuando se suman los tres sumandos.
Y eso, ahora sí, es lo mismo que \( x\equiv\dfrac{x-2}{3} \) (x resto 2 módulo 3) porque consideramos \( x\equiv20*a\equiv2(3) \) y resolvemos esa ecuación diofántica para hallar un valor de “a”. Después, lo mismo para la congruencia asociada a la fracción de cada sumando... es decir, cada una por separado debido a que tenemos que modificar (x-r) en cada uno cambiándolo por una letra asociada a un valor adecuado respecto de la ecuación individual.
En el ejemplo lo ves hallando las soluciones
\( 20*(x-2)+12*(x-1)+15*(x-2)\equiv0(mod\,60) \).
Pero en
\( 12*(x-1)\equiv0(mod\,60) \)
el valor de la variable de la expresión anterior no tiene por qué funcionar equivalentemente módulo 60. Y lo mismo con las otras ecuaciones, cada una será de su padre y de su madre; hay que "reponer" o "unificar" las variables; y por eso se hacen las diofánticas independientemente, por separado.
...
Tantear sería esto
\( \dfrac{x-2}{3}+\dfrac{x-1}{5}+\dfrac{x-2}{4}=k \)
“A ver, en la primera fracción busco algún múltiplo de 3 y le sumo 2; por ejemplo, 9+2=11. Ahora purebo 11 en la segunda, 11-1 es 10, y también funciona. Pero en la tercera 11-2=9... y 4 no divide a 9. A buscar otor valor para x a ver si hay más suerte...”
Pero esto ya es el teorema conchinchino, más que el chino.
Saludos.
