Hola, tengo que demostrar lo siguente: \( mcd(a,b)*mcm(a,b)=a*b \) y bueno, la demostración que tenia en el libro era bastante rara pues usaba desigualdades (cosa que nunca use desigualdades para demostrar algo de divisiblidad y prefiero no usar 
) La cosa es que tengo que demostrar esto, a partir de básicamente la teoria que tengo del mcd, del mcm solo conozco la definición intuitiva nada mas, tampoco creo que deba usar el TFA, pero en fin, busque en Internet y encontré esta demostración, es demasiada buena para ser cierta
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En Español
Lo que no entiendo es la parte en rojo, lo anterior sale de decir que \( c=mcd(a,b) \), luego \( c|a \) y \( c|b \) entonces \( a=ca^* \),\( b=cb^* \) con \( mcd(a^*,b^*)=1 \). Luego sea \( m=mcm(a,b) \) entonces \( m \) es multiplo de \( a \) y de \( b \) al mismo tiempo, \( m=ak \), \( m=bk' \) aca hace un rato estaba pensando que podia deducir que \( m=ab*q \) y seguir la idea de la prueba de la imagen pero es falso, por ejemplo \( 12=3*4 \) y \( 12=6*2 \) luego \( 12\neq 3*6q' \)
En fin, la parte en rojo es lo que no se de donde sale, tal vez es un resultado que no deberia usar y tendre que conformarme con la prueba con desigualdad Gracias
A esta explicación le falta al final un detalle muy importante que explico en mi respuesta siguiente (gracias a que Nub se ha dado cuenta).Yo te lo explico con palabras y después eliges la demostración formal que quieras de las que te han dado (o la formalizas tú a tu gusto).
Dados dos números \( a \) y \( b \), su producto \( ab \) es múltiplo de ambos, múltiplo común.
Spoiler
Esto es así por definición, no hace falta pensar ni en factores; si \( 2*3=6 \) el 6 es múltiplo de ambos porque está en la tabla de multiplicar del 2 y también en la del 3, así de simple.
Entonces, si escribimos a,b en función de su MCD(a,b)=d,
\( a=xd \)
\( b=yd \)
se tiene que
\( ab=xyd^{2} \)
es múltiplo común.
Se trata de buscar, si lo hubiera, el múltiplo común más pequeño.
Veamos que dividiendo entre “d” podemos asociar así
\( \dfrac{xyd^{2}}{d}=(xd)y=ay \)
Spoiler
con lo que \( \dfrac{xyd^{2}}{d}=ay \) está en la “tabla de multiplicar” de “a”, es múltiplo de “a”
o así
\( \dfrac{xyd^{2}}{d}=(yd)x=bx \).
Luego \( \dfrac{xyd^{2}}{d}=\dfrac{ab}{d}=xyd \) sigue siendo múltiplo común de “a” y “b”.
Como “d” es el MCD, no puede ser otro, no puede ser más pequeño.
Por otra parte, si dividimos a “x” por un número, el producto “xy/k” sólo seguirá siendo múltiplo de x si ese factor que le hemos quitado está en “y”; pero eso es imposible, porque son coprimos, puesto que todos los factores comunes están en “d”; es decir, x,y son coprimos entre ellos y también con “d”. Luego no sería múltiplo de x, con lo que no podría ser múltiplo de xd=a, no podemos dividirlo por nada.
Y análogamente pasa lo mismo con “y”.
Luego \( \dfrac{xyd^{2}}{d}=\dfrac{ab}{d}=xyd \) es el múltiplo común más pequeño posible, el mcm (a,b).
Por tanto, \( \dfrac{ab}{d}=mcm(ab) \), de donde despejando \( ab=d\cdot mcm(ab) \).
Añado un comentario crítico:Spoiler
En la demostración de la imagen, prácticamente, se está dando por hecho que el alumno domina el concepto de antemano. Y así es lógico que no entendieras qué demuestra lo que subraya en rojo; porque es que no lo detalla nada. Lo primero sí, es el concepto de múltiplo; “ab” es múltiplo de a “a” y de “b” (lo define diciendo que “a=cx” y “b=cy” dividen a “ab”, pero implica lo mismo, es lo mismo dicho de otra manera). Ahí no hay más que decir.
Pero después afirma “por tanto, mcm(ab)=cxy, dado que x e y son coprimos”. Decir esto quizá sea “insuficiente”, porque aunque es bastante obvio, para que sea el mínimo no sólo tienen que ser coprimos entre ellos, sino también con “c”. Por otro lado, no estaría de más el detalle de añadir lo que decía; si “k” es un factor de “x” y dividimos a “xy” por k, como ni “y” ni “c” tienen ese factor al ser coprimos los tres, “xy/k” no es múltiplo de “x”; (o sea, no podemos escribir xy/k como una suma de enteros así xy+xy..., ésta es la idea de múltiplo). Y eso implica que tampoco es múltiplo de “a” (dado que un múltiplo de “a” será una suma de enteros así a+a...= xc+xc...=x[c+c...] y se ve obligado a ser múltiplo de “x”). Luego ya no puede ser múltiplo común de “a” y “b”; y en consecuencia no podemos dividir xyd por nada si pretendemos que el resultado sea múltiplo de “a” y “b”.
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Todo esto que he dicho con palabras tiene que asumirlo el lector como trivial (por supuestamente sabido de antemano) lo cual no es tan trivial, ni mucho menos, si no se tiene costumbre. La definición de mcm que se da en los libros es un tanto abstracta, una receta: “se toman los primos comunes y no comunes elevados a la mayor potencia”. Claro, con esta definición y si no te dejan usar el TFA... ¿quién sabe lo que es un múltiplo común y cuándo es el más pequeño? Pues lo sabe el que se para a razonarlo despacio, y los estudiantes no tienen tiempo para irse parando en todo, porque, si lo hacen, no pueden estudiarse el temario completo para un examen.
Saludos.
