Lo que no entiendo es la parte en rojo, lo anterior sale de decir que \( c=mcd(a,b) \), luego \( c|a \) y \( c|b \) entonces \( a=ca^* \),\( b=cb^* \) con \( mcd(a^*,b^*)=1 \). Luego sea \( m=mcm(a,b) \) entonces \( m \) es multiplo de \( a \) y de \( b \) al mismo tiempo.
Como \( m \) es múltiplo de \( a= cx \), tienes que \( x\mid (m/c) \) e igualmente \( y\mid (m/c) \). Y ahora puedes usar este hecho:
Si \( x \) e \( y \) dividen a un mismo número \( m' \) y son primos entre sí, necesariamente \( xy\mid m' \).
Aceptando esto y aplicándolo a \( m' = m/c \), tienes que \( xy\mid m/c \), luego \( cxy\mid m \).
La otra desigualdad se debe a que, como \( cxy \) es múltiplo de \( a, b \), tiene que ser \( m\mid cxy \), luego \( m = cxy \).
¿Conoces el resultado en azul, o sabes demostrarlo?
Hola Carlos en cuanto a la demostración perfecto, lo que me es raro es usar fracciones, nunca las uso (para estas cosas) pues aveces no podemos asegurar que al hacer la división esta sea entero, en este caso no importa pues \( d|m \) ahora por curiosidad se podria de alguna forma no usarlas?, se que puedo llegar a que \( xy|m \) y tenemos que \( d|m \) no se si existe alguna propiedad para con estas dos cosas llegar a \( xyc|m \) por ejemplo si fuera al revés (Se que no nos sirve, solo es para mostrar la propiedad) \( m|xy \) y \( m|d \) luego \( m|(xy)x_o +dy_0 \), luego \( x_0=d \) y \( y_0=0 \) \( m|xyd \)
Pues sólo tienes que dar nombre a la fracción:
Como \( a = cx\mid m \), tienes que \( m = cxu \) y llamamos \( m' =xu \). Así tienes que \( m = c m' \) con \( x\mid m' \), y también puedes llegar a que \( m = c m'' \) con \( y\mid m'' \), peo entonces \( cm' = cm'' \), luego \( m' = m'' \) y lo que tienes es que \( x, y \) dividen a \( m' \).
Naturalmente, si he usado la fracción es porque estaba claro que el cociente era entero.
