[Nub]

Hola

Demostrar que \( \sqrt[ ]{pq} \) es irracional para cualquier \( p,q \) primos distintos.

Como toda demostración de raíz que es irracional suponer que es racional
\( \sqrt[ ]{pq}=\displaystyle\frac{x}{y} \) elevo al cuadrado ambos lados
\( pq=\displaystyle\frac{x^2}{y^2} \)
\( pqy^2=x^2 \)
Y acá tengo algo medio parecido a los ejercicios que estaba haciendo, tengo que \( p|x^2 \) p es primo entonces \( p|x \) luego
\( pq(y_1^{2\alpha}*...*y_r^{2\alpha_r})=(p^{2\alpha}*x_2^{2\alpha_2}*...*x_j^{2\alpha_j}) \)
Del lado izquierdo p aparece una cantidad impar de veces, del lado derecho aparece una cantidad par de veces, absurdo, entonces es irracional

Las dudas: ¿Hice bien la demostracion? ¿De que sirve que sean p,q primos distintos? osea que sean primos me sirvió para usar una propiedad y llegar que \( p|x \) pero que sean distintos no lo use para nada

[delmar]

Hola

Respecto a tu segunda interrogante en caso \( p=q \) se tiene \( \sqrt[ ]{pq}=\sqrt[ ]{pp}=p\in{Q} \) en consecuencia la raíz sería racional. Respecto a la primera interrogante tu respuesta no la entiendo bien en el lado derecho aparece \( p^{2 \alpha}  \)¿?, puedes utilizar qué si un entero, es el cuadrado de un entero entonces es el producto de factores primos, todos  elevados a un exponente par; obviamente se usaría para \( x^2 \) y en lado izquierdo para todas las suposiciones aparecería un factor primo elevado a un exponente impar, absurdo.


Saludos

[Carlos Ivorra]

Del lado izquierdo p aparece una cantidad impar de veces, del lado derecho aparece una cantidad par de veces, absurdo, entonces es irracional

¿De que sirve que sean p,q primos distintos? osea que sean primos me sirvió para usar una propiedad y llegar que \( p|x \) pero que sean distintos no lo use para nada

Si fuera \( p = q \), entonces en el lado izquierdo \( p \) estaría DOS veces, es decir, una cantidad par de veces, y no podrías concluir nada.

[ancape]

Demostrar que \( \sqrt[ ]{pq} \) es irracional para cualquier \( p,q \) primos distintos.
......

¿De que sirve que sean p,q primos distintos? osea que sean primos me sirvió para usar una propiedad y llegar que \( p|x \) pero que sean distintos no lo use para nada

Hola
Si fuese \( p=q \) entonces \( pq=p^2 \) y \( \sqrt[ ]{pq}=p \) que no es irracional pues es primo y por tanto  entero.

Saludos

[Nub]

a la primera interrogante tu respuesta no la entiendo bien en el lado derecho aparece \( p^{2 \alpha}  \)¿?

\( p^{2 \alpha}  \) pues p pertenece a la descomposicion en factores primos de x ya que p|x, y al estar elevado al cuadrado queda \( p^{2 \alpha}  \)

[ani_pascual]

Hola

Demostrar que \( \sqrt[ ]{pq} \) es irracional para cualquier \( p,q \) primos distintos.

Como toda demostración de raíz que es irracional suponer que es racional
\( \sqrt[ ]{pq}=\displaystyle\frac{x}{y} \) elevo al cuadrado ambos lados
\( pq=\displaystyle\frac{x^2}{y^2} \)
\( pqy^2=x^2 \)
Y acá tengo algo medio parecido a los ejercicios que estaba haciendo, tengo que \( p|x^2 \) p es primo entonces \( p|x \) luego
\( pq(y_1^{2\alpha}*...*y_r^{2\alpha_r})=(p^{2\alpha}*x_2^{2\alpha_2}*...*x_j^{2\alpha_j}) \)
Del lado izquierdo p aparece una cantidad impar de veces, del lado derecho aparece una cantidad par de veces, absurdo, entonces es irracional

Las dudas: ¿Hice bien la demostracion? ¿De que sirve que sean p,q primos distintos? osea que sean primos me sirvió para usar una propiedad y llegar que \( p|x \) pero que sean distintos no lo use para nada

Hola:
Igual que has deducido que \( p|x \) se puede deducir que \( q|x \). Por tanto se tiene que \( pqy^2=x^2=p^2q^2m^2 \) con \( m\in\mathbb{Z} \). Así pues, \( y^2=pqm^2\Longrightarrow \left\{\begin{array}{l}p|y^2\\q|y^2\end{array}\right.\Longrightarrow\left\{\begin{array}{l}p|y\\q|y\end{array}\right.  \) pero se supone que \( mcd(x,y)=1 \)
La condición de que \( p,q \) sean primos distintos supongo que es porque si \( p=q \) entonces \( \sqrt{pq}=p\in\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q} \).
Acabo de ver que esta última observación ya la había hecho ancape
Saludos

[Carlos Ivorra]

Respecto a tu segunda interrogante en caso \( p=q \) se tiene \( \sqrt[ ]{pq}=\sqrt[ ]{pp}=p\in{Q} \) en consecuencia la raíz sería racional.

Si fuese \( p=q \) entonces \( pq=p^2 \) y \( \sqrt[ ]{pq}=p \) que no es irracional pues es primo y por tanto  entero.

La condición de que \( p,q \) sean primos distintos supongo que es porque si \( p=q \) entonces \( \sqrt{pq}=p\in\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q} \).

Pero lo que Nub preguntaba es dónde usaba \( p\neq q \) en su demostración. Si realmente no se usara en ninguna parte, su demostración tendría que estar mal, porque la condición es obviamente necesaria por lo que decís. Y la respuesta es que lo usa al afirmar que \( p \) aparece un número impar de veces en el miembro izquierdo de su igualdad. Nub hace bien en comprobar que usa realmente todas las hipótesis del problema (obviamente necesarias), porque si no, podría asegurar que hay algo mal en su demostración.

[ani_pascual]

Pero lo que Nub preguntaba es dónde usaba \( p\neq q \) en su demostración. Si realmente no se usara en ninguna parte, su demostración tendría que estar mal, porque la condición es obviamente necesaria por lo que decís. Y la respuesta es que lo usa al afirmar que \( p \) aparece un número impar de veces en el miembro izquierdo de su igualdad. Nub hace bien en comprobar que usa realmente todas las hipótesis del problema (obviamente necesarias), porque si no, podría asegurar que hay algo mal en su demostración.

El ejercico pide  Demostrar que \( \sqrt{pq} \) es irracional para cualquier \( p,q  \) primos distintos
Obviamente no puede pedir demostrar que la propiedad es cierta  \( \forall\,p,q \) primos cualesquiera, porque eso es falso, ya que como se ha comentado si \( p=q \) entonces no se cumple. Es decir, de partida ya se usa el hecho de que son primos distintos y no es necesario usarlo luego en el proceso de la demostración, pues basta ver en el razonamiento por reducción al absurdo, que \( x,y \), a priori primos entre sí, tendrían factores primos comunes. Así lo veo. Saludos

[Nub]

Hola

Demostrar que \( \sqrt[ ]{pq} \) es irracional para cualquier \( p,q \) primos distintos.

Como toda demostración de raíz que es irracional suponer que es racional
\( \sqrt[ ]{pq}=\displaystyle\frac{x}{y} \) elevo al cuadrado ambos lados
\( pq=\displaystyle\frac{x^2}{y^2} \)
\( pqy^2=x^2 \)
Y acá tengo algo medio parecido a los ejercicios que estaba haciendo, tengo que \( p|x^2 \) p es primo entonces \( p|x \) luego
\( pq(y_1^{2\alpha}*...*y_r^{2\alpha_r})=(p^{2\alpha}*x_2^{2\alpha_2}*...*x_j^{2\alpha_j}) \)
Del lado izquierdo p aparece una cantidad impar de veces, del lado derecho aparece una cantidad par de veces, absurdo, entonces es irracional

Las dudas: ¿Hice bien la demostracion? ¿De que sirve que sean p,q primos distintos? osea que sean primos me sirvió para usar una propiedad y llegar que \( p|x \) pero que sean distintos no lo use para nada

Hola:
Igual que has deducido que \( p|x \) se puede deducir que \( q|x \). Por tanto se tiene que \( pqy^2=x^2=p^2q^2m^2 \) con \( m\in\mathbb{Z} \). Así pues, \( y^2=pqm^2\Longrightarrow \left\{\begin{array}{l}p|y^2\\q|y^2\end{array}\right.\Longrightarrow\left\{\begin{array}{l}p|y\\q|y\end{array}\right.  \) pero se supone que \( mcd(x,y)=1 \)
La condición de que \( p,q \) sean primos distintos supongo que es porque si \( p=q \) entonces \( \sqrt{pq}=p\in\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q} \).
Acabo de ver que esta última observación ya la había hecho ancape
Saludos

No entiendo la necesidad de hacerlo lo de \( q|x \), y si lo hago también quedaría del lado izquierdo impar por propiedad de potencias. Osea hacerlo simultáneamente, porque si elegía \( q \) era lo mismo

[Carlos Ivorra]

El ejercico pide  Demostrar que \( \sqrt{pq} \) es irracional para cualquier \( p,q  \) primos distintos
Obviamente no puede pedir demostrar que la propiedad es cierta  \( \forall\,p,q \) primos cualesquiera, porque eso es falso, ya que como se ha comentado si \( p=q \) entonces no se cumple. Es decir, de partida ya se usa el hecho de que son primos distintos y no es necesario usarlo luego en el proceso de la demostración, pues basta ver en el razonamiento por reducción al absurdo, que \( x,y \), a priori primos entre sí, tendrían factores primos comunes. Así lo veo. Saludos

Lo que te he puesto en rojo es falso. Si una demostración no usara ese hecho explícitamente, estaría mal, porque estaría demostrando que el resultado es cierto incluso si \( p = q \), lo cual es imposible. Por eso es importante, cuando está claro que una hipótesis es necesaria, comprobar que se usa realmente en la demostración, porque es imposible no usarla (si la demostración está bien) y por eso era muy pertinente la pregunta de Nub que, al margen de lo que pide el ejercicio, preguntaba dónde usaba esa hipótesis en su argumento, y lo usa donde he indicado. Si no lo usara en ningún sitio, su demostración estaría mal seguro.