Y a partir de lo que te han dicho ahí ya lo tienes. Porque \( pq={\displaystyle (\frac{x}{y}})^{2} \) implica que \( {\displaystyle (\frac{x}{y}})^{2} \) es entero (pues es producto de enteros) y es un cuadrado; pero entonces \( p=q \), contradicción.
Ah, perdona, que lo que hay que demostrar es que es irracional, no había leído bien.
Saludos
Hola
No entiendo porqué te disculpas. El razonamiento '....contradicción' es impecable si es cierta la afirmación '\( {\displaystyle (\frac{x}{y}})^{2} \) es entero (pues es producto de enteros) y es un cuadrado; pero entonces \( p=q \), contradicción..
El problema es que en tu razonamiento no se usa que \( p,q \) sean primos. ¿Sería cierto que \( \sqrt[ ]{pq} \) es irracional para cualquier par de enteros?. \( \sqrt[ ]{2.32} \) no es irracional.
Saludos
Bueno, lo dice el enunciado, es condición del enunciado que son primos distintos y cuento con ello, de ahí que afirme que es contradicción.
Creo que la demostración no es completa, porque con eso lo que demuestro es que \( {\displaystyle (\frac{x}{y}})^{2} \) es un entero pero no un cuadrado de enteros, no un cuadrado perfecto (que es lo que yo había entendido mal, porque se me ha ido el santo al cielo). Sí que puede ser, y de hecho lo es, un irracional al cuadrado que da un entero; pero no lo he demostrado, no he demostrado que no pueda ser racional, aunque sea fácil de ver:
Se puede ver de esta manera también:
Si fuera racional, podríamos considerar una fracción equivalente e irreducible tal que \( \dfrac{x^{2}}{y^{2}}=\dfrac{a}{b} \); donde, como es irreducible, a,b no tienen factores primos en común. Entonces
\( pq=\dfrac{a}{b}\Rightarrow \)
\( pqb=a \), donde “a” es múltiplo de “p” y de “b”
Pero si “a” es múltiplo de “b”, ambos números tienen que tener un factor común “k” distinto de 1; y eso implica que podamos simplificar la fracción a/b dividiendo numerador y denominador por “k”, lo cual es absurdo, porque la fracción es irreducible. No existe tal fracción y, por tanto, es un número irracional (demostración similar a la que se lleva a cabo para probar que raíz de 2 es irracional).
Ahora que lo veo, b podría ser 1 y “a” un entero; hace falta entonces explicar un poco más.
\( x^{2}=ay^{2} \)
donde “a” se ve obligado a ser un cuadrado, \( a= c^2 \). En ese caso \( \dfrac{x^{2}}{y^{2}}=c^{2} \), pero ya hemos visto que no puede ser un cuadrado perfecto.Muchas gracias, Ancape, me has ayudado a arregrarlo y analizarlo mejor.
Saludos.
