[imaginaryboy]

Hola

Tengo la siguiente inquietud, no logro comprender el por qué (\( [0,1), \leq{} \)) es isomorfo a  (\( [2,4), \leq{} \)) (ambos con el orden usual de los reales).

Tengo entendido que algo básico para que sean isomorfos es que ambos posets tengan la misma cardinalidad, pero sino me equivoco el primer conjunto es más pequeño en ese sentido, ¿no?.

Saludos

[Masacroso]

Hola

Tengo la siguiente inquietud, no logro comprender el por qué (\( [0,1), \leq{} \)) es isomorfo a  (\( [2,4), \leq{} \)) (ambos con el orden usual de los reales).

Yo tengo entendido que algo básico para que sean isomorfos es que ambos posets tengan la misma cardinalidad, pero sino me equivoco el primer conjunto es más pequeño en ese sentido, ¿no?.

Saludos

Ambos tienen la misma cardinalidad ya que la función \( g:[0,1)\to [2,4),\, x\mapsto 2x+2 \) es una biyección entre ambos conjuntos. Que sean isomorfos como conjuntos ordenados significa que existe una biyección \( f:[0,1) \to [2,4) \) que preserve las relaciones de orden en ambos conjuntos. En este caso eso es equivalente a que \( f \) sea una función estrictamente creciente, como la función \( g \) anterior.

[imaginaryboy]

Muchas gracias, toca profundizar.

Saludos

[imaginaryboy]

Otra pregunta, ¿cómo dedujiste que la función está dada por \( g:[0,1)\to [2,4),\, x\mapsto 2x+2 \)?

[manooooh]

Hola

Otra pregunta, ¿cómo dedujiste que la función está dada por \( g:[0,1)\to [2,4),\, x\mapsto 2x+2 \)?

Considera los extremos inferiores como un punto del plano, lo mismo con los superiores. Tienes \( A=(0,2) \) y \( B=(1,4) \). Luego puedes hallar la recta que une dichos puntos utilizando, por ejemplo, la fórmula de la recta que pasa por 2 puntos:

\[ y-y_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}(x-x_1). \]

Saludos

[imaginaryboy]

Buenisima manooooh.
Gracias 
Saludos

[Masacroso]

Otra pregunta, ¿cómo dedujiste que la función está dada por \( g:[0,1)\to [2,4),\, x\mapsto 2x+2 \)?

Hay incontables isomorfismos entre \( [0,2) \) y \( [2,4) \), no sólo la función \( g \) anterior. Pero puse \( g \) como ejemplo porque es una función muy sencilla.

[imaginaryboy]

Claro, entonces si tengo por ejemplo \( [0,1)\cup{[2,3)} \) para demostrar que es isomorfismo a \( [2,3) \) (con el orden heredado de los reales)
una forma de hallar esos incontables isomorfismo seria por ejemplo hacer una composición de funciones, ¿verdad?
Es decir basandome en la idea de manooooh:
\( y-y_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}(x-x_1) \)

puedo mandar el primer pedazo de la unión, es decir [0,1) a [0,1) y esto es \( f(x)=id  \) (la función identidad).
entonces mando la otra parte [1,3) a [2,3), con \( g(x)=\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{3}{2} \)
entonces si f y g son iso entonces la composición \( f\circ{g} \) es iso.
luego \( h(x)=f(g(x)) \)

De modo de que yo podría haber partido el intervalo unión en más pedazos o haber tomando al revés de lo que hice por ejemplo, ¿no?

[Masacroso]

Claro, entonces si tengo por ejemplo \( [0,1)\cup{[2,3)} \) para demostrar que es isomorfismo a \( [2,3) \) (con el orden heredado de los reales)
una forma de hallar esos incontables isomorfismo seria por ejemplo hacer una composición de funciones, ¿verdad?

No sería suficiente, ya que la inmensa mayoría de funciones no tienen una expresión algebraica que las defina. A lo más que puedes llegar es a caracterizarlos de alguna manera. En este caso se puede demostrar que \( f:[0,1)\to [0,2) \) es un isomorfismo si y solo si \( f \) es sobreyectivo y estrictamente creciente.

Es decir basandome en la idea de manooooh:
\( y-y_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}(x-x_1) \)

puedo mandar el primer pedazo de la unión, es decir [0,1) a [0,1) y esto es \( f(x)=id  \) (la función identidad).
entonces mando la otra parte [1,3) a [2,3), con \( g(x)=\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{3}{2} \)
entonces si f y g son iso entonces la composición \( f\circ{g} \) es iso.
luego \( h(x)=f(g(x)) \)

De modo de que yo podría haber partido el intervalo unión en más pedazos o haber tomando al revés de lo que hice por ejemplo, ¿no?

La composición de isomorfismos define siempre un isomorfismo, en cualquier categoría. Pero no entiendo bien eso de que quieres mandar \( [1,3) \) a \( [2,3) \) ya que en el caso que nos ocupa \( [1,3) \) no forma parte de \( [0,1) \). Es decir, no sé qué espacios quieres poner en relación con isomorfismos.

[imaginaryboy]

Es cierto lo que dijiste la mayoría de funciones no tienen una expresión algebraica que las defina.

solo quise probar que\(  [0,1)\cup{[2,3)} \) es isomorfo  a [2,3)

y que tratando la unión como si fuesen 'casos' podía encontrar el isomorfismo \(  [0,1)\cup{[2,3)} \) con [2,3).
De modo que yo tendría dos casos (0,1] y el otro pedazo de la unión. O también podría incluso partir más esa unión para conseguir algo equivalente a \(  [0,1)\cup{[2,3)} \) y así tendría más funciones (Esto se me había ocurrido para probar que es isomorfismo).