Es cierto lo que dijiste la mayoría de funciones no tienen una expresión algebraica que las defina.
solo quise probar que\( [0,1)\cup{[2,3)} \) es isomorfo a [2,3)
y que tratando la unión como si fuesen 'casos' podía encontrar el isomorfismo \( [0,1)\cup{[2,3)} \) con [2,3).
De modo que yo tendría dos casos (0,1] y el otro pedazo de la unión. O también podría incluso partir más esa unión para conseguir algo equivalente a \( [0,1)\cup{[2,3)} \) y así tendría más funciones (Esto se me había ocurrido para probar que es isomorfismo).
Claro, puedes escribir \( [2,3)=[2,a)\cup [a,3) \) para algún \( a\in(2,3) \), y luego tomar isomorfismos de orden \( f_1:[0,1)\to [2,a) \) y \( f_2:[2,3)\to [a,3) \). Entonces es fácil de ver que la función \( f:[0,1)\cup [2,3)\to [2,3) \) dada por
\( \displaystyle{
f(x):=\begin{cases}
f_1(x),&\text{ si } x\in[0,1)\\
f_2(x),&\text{ otra cosa }
\end{cases}
} \)
es un isomorfismo de orden. Para verlo es suficiente con demostrar que si \( x_1\in [0,1) \) y \( x_2\in [2,a) \) entonces \( f(x_1)< f(x_2) \), y que si \( y_1\in [2,a) \) y \( y_2\in [a,3) \) entonces \( f^{-1}(y_1)<f^{-1}(y_2) \), lo cual se sigue trivialmente de la definición de \( f \), \( f_1 \) y \( f_2 \).
