[adrifrigi]

Hola buenas.
Tengo la duda de como operar con la funcion suelo, solucionando una ecuacion como por ejemplo esta:
\( \lfloor x \rfloor \lfloor 2x \rfloor = 1 \)


Muchas gracias.
Un saludo.

[Masacroso]

Hola buenas.
Tengo la duda de como operar con la funcion suelo, solucionando una ecuacion como por ejemplo esta:
\( \lfloor x \rfloor \lfloor 2x \rfloor = 1 \)


Muchas gracias.
Un saludo.

La función piso está muy relacionada con la función parte fraccional que se define como \( \{x\}:=x-\lfloor x \rfloor \). Entonces en tu ejemplo puedes escribir lo siguiente

\( \displaystyle{
\lfloor 2x \rfloor =\lfloor 2(\lfloor x \rfloor +\{x\}) \rfloor =2\lfloor x \rfloor +\lfloor 2\{x\} \rfloor =\begin{cases}
2\lfloor x \rfloor ,&\text{ si }\{x\}<1/2\\
2\lfloor x \rfloor +1,&\text{ otra cosa }
\end{cases}
} \)

En lo anterior en la segunda igualdad he usado la propiedad de que si \( n\in \mathbb{Z} \) entonces \( \lfloor n+r \rfloor =n+\lfloor r \rfloor  \). Por tanto, teniendo en cuenta lo anterior, tienes la identidad

\( \displaystyle{
\lfloor x \rfloor \lfloor 2x \rfloor =\begin{cases}
2\lfloor x \rfloor^2,&\text{ si }\{x\}<1/2\\
2\lfloor x \rfloor^2+\lfloor x \rfloor ,&\text{ otra cosa }
\end{cases}
} \)

[feriva]

Hola buenas.
Tengo la duda de como operar con la funcion suelo, solucionando una ecuacion como por ejemplo esta:
\( \lfloor x \rfloor \lfloor 2x \rfloor = 1 \)


Muchas gracias.
Un saludo.

Esto no está bien general; el 2, al multiplicar, puede aumentar en una unidad la mantisa y hay que tenerlo en cuenta. Lo que sigue a continuación sólo vale para números con una mantisa menor o igual que 0,49.

Es muy sencilla.

Intutivamente:

Si el número es positivo se refiere a la parte entera; por ejemplo: \( \lfloor3,4\rfloor=3 \)

Si el número es negativo, se toma el valor absoluto y se redondea al entero mayor \( \lfloor -3,4\rfloor=-4 \).

Esto es porque en realidad \( -4 \) es menor que \( -3,4 \) del mismo modo que \( 3 \) es menor que \( 3,4 \). En definitiva se redondea al antero menor.

Entonces, si tienes

(o me he equivocado o el ejemplo está elegido por ti al azar, porque no salen enteros)

\( \lfloor x\rfloor\lfloor2x\rfloor=1 \)

puedes hacer \( x=a+\dfrac{1}{b} \) con b>0, donde 1/b es la mantisa o parte decimal.

Si x es mayor que cero:

\( \lfloor x\rfloor\lfloor2x\rfloor= \)

\( \lfloor a\rfloor\lfloor2a\rfloor=2a^{2}=1 \).

Y entonces a es \( a=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \)

Si x menor que cero será

(corregido)

\( -(a+1)2(-(a+1))=1 \)

\( 2(a+1)^{2}= \)

\( 2(a^{2}+2a+1)= \)

\( 2a^{2}+4a+2=1\Rightarrow \)

\( 2a^{2}+4a+1=0\Rightarrow \)

\( a=\dfrac{-4-\sqrt{16-4\cdot2\cdot1}}{2}= \)

\( a=-2-\sqrt{8}= \)

\( a=-2-2\sqrt{2}= \)

\( a=-2(1+\sqrt{2})= \)

(si no me he equivocado, que es de noche y tengo sueño).

Saludos.

[adrifrigi]

Hola buenas.
Tengo la duda de como operar con la funcion suelo, solucionando una ecuacion como por ejemplo esta:
\( \lfloor x \rfloor \lfloor 2x \rfloor = 1 \)


Muchas gracias.
Un saludo.

Es muy sencilla.

Intutivamente:

Si el número es positivo se refiere a la parte entera; por ejemplo: \( \lfloor3,4\rfloor=3 \)

Si el número es negativo, se toma el valor absoluto y se redondea al entero mayor \( \lfloor -3,4\rfloor=-4 \).

Esto es porque en realidad \( -4 \) es menor que \( -3,4 \) del mismo modo que \( 3 \) es menor que \( 3,4 \). En definitiva se redondea al antero menor.

Entonces, si tienes

(o me he equivocado o el ejemplo está elegido por ti al azar, porque no salen enteros)

\( \lfloor x\rfloor\lfloor2x\rfloor=1 \)

puedes hacer \( x=a+\dfrac{1}{b} \) con b>0, donde 1/b es la mantisa o parte decimal.

Si x es mayor que cero:

\( \lfloor x\rfloor\lfloor2x\rfloor= \)

\( \lfloor a\rfloor\lfloor2a\rfloor=2a^{2}=1 \).

Y entonces a es \( a=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \)

Si x menor que cero será

(corregido)

\( -(a+1)2(-(a+1))=1 \)

\( 2(a+1)^{2}= \)

\( 2(a^{2}+2a+1)= \)

\( 2a^{2}+4a+2=1\Rightarrow \)

\( 2a^{2}+4a+1=0\Rightarrow \)

\( a=\dfrac{-4-\sqrt{16-4\cdot2\cdot1}}{2}= \)

\( a=-2-\sqrt{8}= \)

\( a=-2-2\sqrt{2}= \)

\( a=-2(1+\sqrt{2})= \)

(si no me he equivocado, que es de noche y tengo sueño).

Saludos.

Muchas gracias ya lo voy entendiendo, pero me gustaria saber a que te refieres exactamente con \( a \) y \( b \). Y como se si la \( x \) va a ser mayor o menor que 0.

Un saludo.

[feriva]

Muchas gracias ya lo voy entendiendo, pero me gustaria saber a que te refieres exactamente con \( a \) y \( b \). Y como se si la \( x \) va a ser mayor o menor que 0.

Un saludo.

Perdóname, que si se escribe 1/b entonces “b” no siempre tiene por qué ser entero.

Entonces pon mejor b/c, con c>b para que sea menor 1.

Con esa corrección tienes:

Por ejemplo, si \( 5,7 \), entonces es \( 5,7=5+0,7=5+\dfrac{7}{10} \) (corregido, que había puesto la parte entera y sólo quería poner el número)

Pero da igual como lo escribas, es un número menor que 1 que no se usa, porque la función suelo va a dar 5 si es positiva y si es negativa -(5+1).

Por otra parte, el número podría ser entero de por sí, podríamos tener \( \lfloor5\rfloor=5 \) ó \( \lfloor-5\rfloor=-5 \). En este caso no cambia nada, es el mismo entero, la mantisa cero no aumenta en 1 en este caso (en los negativos no aumenta).

Saludos.

[ancape]

........

puedes hacer \( x=a+\dfrac{1}{b} \) con b>0, donde 1/b es la mantisa o parte decimal.

Si x es mayor que cero:
........

Y entonces a es \( a=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \)

Perdona feriva, pero hay algo que no entiendo.
En la expresión 'puedes hacer \( x=a+\dfrac{1}{b} \) con b>0, donde 1/b es la mantisa o parte decimal.
parece que debe entenderse \( a \) entero y \( 1/b \) la parte decimal de x. Eso hace que 1/b que es racional deseche las partes decimales no racionales. Eso se podría evitar con poniendo x=a+b con \( a \) entero y \( b \) con parte entera cero. Lo que pasa es que luego se obtiene \( a=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \) que no es entero.

Saludos

[feriva]

........

puedes hacer \( x=a+\dfrac{1}{b} \) con b>0, donde 1/b es la mantisa o parte decimal.

Si x es mayor que cero:
........

Y entonces a es \( a=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \)

Perdona feriva, pero hay algo que no entiendo.
En la expresión 'puedes hacer \( x=a+\dfrac{1}{b} \) con b>0, donde 1/b es la mantisa o parte decimal.
parece que debe entenderse \( a \) entero y \( 1/b \) la parte decimal de x. Eso hace que 1/b que es racional deseche las partes decimales no racionales. Eso se podría evitar con poniendo x=a+b con \( a \) entero y \( b \) con parte entera cero. Lo que pasa es que luego se obtiene \( a=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \) que no es entero.

Saludos

Sí, estoy de acuerdo, es más cómodo poner 0<b<1 ó b=0 en otro caso para representar la parte decimal en vez de una fracción. Pero escribiendo sobre la marcha puse eso.

Muchas gracias, Ancape.

Saludos.

[ancape]

puedes hacer \( x=a+\dfrac{1}{b} \) con b>0, donde 1/b es la mantisa o parte decimal.

Si x es mayor que cero:

...... entonces a es \( a=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \)

Si x menor que cero será

\( a=-2(1+\sqrt{2})= \)

Una ecuación en la que aparecen partes enteras, no siempre ha de tener solución, por ejemplo \( x^2=-1 \) no tiene solución real y nadie se escandaliza por eso. Si ponemos \( x=a+b \) con \( a \) entero y \( b\in{(0,1)} \) según tus cuentas (que creo están bien hechas) \( a=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \) si x>0 o \( a=-2(1+\sqrt{2})= \)si x<0. En cualquier caso, \( a \) no saldría entero en contra de la hipótesis. La ecuación \( ⌊x⌋⌊2x⌋=1 \) no tiene solución.

Saludos

[ani_pascual]

Hola buenas.
Tengo la duda de como operar con la funcion suelo, solucionando una ecuacion como por ejemplo esta:
\( \lfloor x \rfloor \lfloor 2x \rfloor = 1 \)


Muchas gracias.
Un saludo.

Es muy sencilla.

Intutivamente:

Si el número es positivo se refiere a la parte entera; por ejemplo: \( \lfloor3,4\rfloor=3 \)

Si el número es negativo, se toma el valor absoluto y se redondea al entero mayor \( \lfloor -3,4\rfloor=-4 \).

Esto es porque en realidad \( -4 \) es menor que \( -3,4 \) del mismo modo que \( 3 \) es menor que \( 3,4 \). En definitiva se redondea al antero menor.

Entonces, si tienes

(o me he equivocado o el ejemplo está elegido por ti al azar, porque no salen enteros)

\( \lfloor x\rfloor\lfloor2x\rfloor=1 \)

puedes hacer \( x=a+\dfrac{1}{b} \) con b>0, donde 1/b es la mantisa o parte decimal.

Si x es mayor que cero:

\( \lfloor x\rfloor\lfloor2x\rfloor= \)

\( \lfloor a\rfloor\lfloor2a\rfloor=2a^{2}=1 \).

Y entonces a es \( a=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \)

Si x menor que cero será

(corregido)

\( -(a+1)2(-(a+1))=1 \)

\( 2(a+1)^{2}= \)

\( 2(a^{2}+2a+1)= \)

\( 2a^{2}+4a+2=1\Rightarrow \)

\( 2a^{2}+4a+1=0\Rightarrow \)

\( a=\dfrac{-4-\sqrt{16-4\cdot2\cdot1}}{2}= \)

\( a=-2-\sqrt{8}= \)

\( a=-2-2\sqrt{2}= \)

\( a=-2(1+\sqrt{2})= \)

(si no me he equivocado, que es de noche y tengo sueño).

Saludos.

Muchas gracias ya lo voy entendiendo, pero me gustaria saber a que te refieres exactamente con \( a \) y \( b \). Y como se si la \( x \) va a ser mayor o menor que 0.

Un saludo.

No lo he analizado mucho, corrígeme si me equivoco, pero me da la impresión de que has usado que
\( \lfloor 2x \rfloor=2\lfloor x\rfloor \)
Sin embargo, tomando, por ejemplo, \(  x=1,9 \) entonces
\( a=1, b=0,9 \) y se tiene \( \lfloor 2x\rfloor =3\neq 2=2\lfloor x\rfloor  \)
¿O algo se me escapa?
Saludos
PD: Así, teniendo en cuenta lo dicho por Masacroso, la solución de la ecuación
\( \textcolor{red}{\lfloor x \rfloor \lfloor 2x\rfloor =1} \) sería, si no me equivoco, el intervalo \( \textcolor{red}{\left[-\dfrac{1}{2},0\right[} \) es decir, aquellos números reales tales que su parte entera es \( \textcolor{red}{\lfloor x\rfloor =-1} \) y su parte fraccional es \( \textcolor{red}{\{x\}\geq \frac{1}{2}} \)

[Masacroso]

PD: Así, teniendo en cuenta lo dicho por Masacroso, la solución de la ecuación
\( \textcolor{red}{\lfloor x \rfloor \lfloor 2x\rfloor =1} \) sería, si no me equivoco, el intervalo \( \textcolor{red}{\left[-\dfrac{1}{2},0\right[} \) es decir, aquellos números reales tales que su parte entera es \( \textcolor{red}{\lfloor x\rfloor =-1} \) y su parte fraccional es \( \textcolor{red}{\{x\}\geq \frac{1}{2}} \)

Exactamente. Otra forma de analizarlo sería así: como tanto \( \lfloor x \rfloor  \) como \( \lfloor 2x \rfloor  \) son enteros entonces si \( \lfloor x \rfloor \lfloor 2x \rfloor =1 \) entonces \( \lfloor x \rfloor=\lfloor 2x \rfloor  \) y \( \lfloor x \rfloor \in\{-1,1\} \). Si \( \lfloor x \rfloor =1 \) entonces \( x\in[1,2) \), pero entonces \( 2x\in[2,4) \) y por tanto \( \lfloor 2x \rfloor \geqslant 2 \), por lo que no hay solución en este caso. Pero si fuese \( \lfloor x \rfloor= -1 \) entonces \( x\in[-1,0) \) y \( 2x\in[-2,0) \), por tanto si tomamos \( 2x\in[-1,0) \) entonces \( x\in [-1/2,0) \) y tenemos que \( \lfloor x \rfloor \lfloor 2x \rfloor =1 \).