[ani_pascual]

Exactamente. Otra forma de analizarlo sería así: como tanto \( \lfloor x \rfloor  \) como \( \lfloor 2x \rfloor  \) son enteros entonces si \( \lfloor x \rfloor \lfloor 2x \rfloor =1 \) entonces \( \lfloor x \rfloor=\lfloor 2x \rfloor  \) y \( \lfloor x \rfloor \in\{-1,1\} \). Si \( \lfloor x \rfloor =1 \) entonces \( x\in[1,2) \), pero entonces \( 2x\in[2,4) \) y por tanto \( \lfloor 2x \rfloor \geqslant 2 \), por lo que no hay solución en este caso. Pero si fuese \( \lfloor x \rfloor= -1 \) entonces \( x\in[-1,0) \) y \( 2x\in[-2,0) \), por tanto si tomamos \( 2x\in[-1,0) \) entonces \( x\in [-1/2,0) \) y tenemos que \( \lfloor x \rfloor \lfloor 2x \rfloor =1 \).

Saludos

[ancape]

PD: Así, teniendo en cuenta lo dicho por Masacroso, la solución de la ecuación
\( \textcolor{red}{\lfloor x \rfloor \lfloor 2x\rfloor =1} \) sería, si no me equivoco, el intervalo \( \textcolor{red}{\left[-\dfrac{1}{2},0\right[} \) es decir, aquellos números reales tales que su parte entera es \( \textcolor{red}{\lfloor x\rfloor =-1} \) y su parte fraccional es \( \textcolor{red}{\{x\}\geq \frac{1}{2}} \)

Hola
Hay algo que no me cuadra, si tomo x=-0.8 tendré \( {\lfloor x\rfloor =-1} \) \( {\lfloor 2x\rfloor =-2} \), siendo \( {\{x\}\geq \frac{1}{2}} \)
y por tanto \( {\lfloor x \rfloor \lfloor 2x\rfloor =2} \).

Que yo recuerde, la parte entera de un número negativo se hacía de la siguiente forma: Dado el número negativo \( a \) se busca el único intervalo de \( \mathbb{} \) de la forma [k,k+1) k<0 que contenga a\( a \). Entonces la parte entera de \( a \) es k. O sea, \( {\lfloor 2x\rfloor =-2} \).

En una respuesta anterior puse que la ecuación \( {\lfloor x \rfloor \lfloor 2x\rfloor =1} \) no tiene solución tanto si x es positivo como negativo. Sigo pensando lo mismo.

Saludos

[ani_pascual]

Hola
Hay algo que no me cuadra, si tomo x=-0.8 tendré \( {\lfloor x\rfloor =-1} \) \( {\lfloor 2x\rfloor =-2} \), siendo \( {\{x\}\geq \frac{1}{2}} \)

Como escribió Masacroso \( x=\lfloor x\rfloor +\{x\} \) y en el caso que propones es \( \{-0,8 \}= 0,2<\dfrac{1}{2} \) pues
\( -0,8=-1+0,2 \)
Saludos

PD: Haz la prueba, toma cualquier número \( x\in \left[-\dfrac{1}{2},0\right[ \) y comprueba que se verifica \( \lfloor x\rfloor \lfloor 2x\rfloor =1 \)
Por ejemplo, \( -0,3\in \left[-\dfrac{1}{2},0\right[ \Longrightarrow \lfloor -0,3\rfloor =-1, \lfloor 2(-0,3)\rfloor =-1 \) donde \( \{-0,3\}=0,7\geq\dfrac{1}{2} \)

[ancape]

Como escribió Masacroso \( x=\lfloor x\rfloor +\{x\} \) y en el caso que propones es \( \{-0,8 \}= 0,2<\dfrac{1}{2} \) pues
\( -0,8=-1+0,2 \)

Gracias. Creía que \( \{x\} \) se obtenía simplemente como el número que aparece después de la coma, esto es, cambiando por cero la parte entera.

Saludos

[feriva]

No lo he analizado mucho, corrígeme si me equivoco, pero me da la impresión de que has usado que
\( \lfloor 2x \rfloor=2\lfloor x\rfloor \)

Sí, tienes razón, no me di cuenta. El 2, al multiplicar, puede aumentar la mantisa y con ello hacer que la parte entera gane una unidad, y no lo he tuve en cuenta.

Muchas gracias, ani-pascual.