[JCB]

Hola a tod@s.

A partir del tema https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=124494.0, me he montado la siguiente película: supongamos un disco en posición horizontal y con una ranura en dirección radial. El disco gira a velocidad angular constante \( \omega \) respecto de su eje fijo (vertical). Soltamos una partícula de masa \( m \), dentro de la ranura y muy cerca del eje de rotación. Se trata de determinar la velocidad relativa de desplazamiento por dentro de la ranura de esta partícula, en función de la distancia al eje de rotación. Haciendo algunas simplificaciones, llego a que \( v=\sqrt{\omega^2r^2-2\mu gr} \)

A pesar del disgusto de algún físico ortodoxo, reconozco que he tenido que recurrir a la fuerza centrífuga (ficticia). Tampoco tengo en cuenta el efecto del rozamiento en las paredes de la ranura sobre la partícula (únicamente considero rozamiento en la base de la ranura).

El desarrollo es el siguiente:

A una distancia \( r \) del centro del eje de rotación, aplico \( \sum{F}=ma \) a la partícula,

\( -F_r+F_c=ma \)

\( -\mu mg+m\omega^2r=ma \)

\( a=\omega^2r-\mu g \) (1)

También se cumple \( a=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{dv}{dr}\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{dv}{dr}v \)

\( adr=vdv \) (2). Sustituyendo (1) en (2),

\( (\omega^2r-\mu g)dr=vdv \). Integrando entre \( 0 \) y \( r \), y entre \( 0 \) y \( v \),

\( v^2=\omega^2r^2-2\mu gr \),

\( v=\sqrt{\omega^2r^2-2\mu gr} \)

A ver si alguien comenta y confirma, o desmiente, el resultado.

Saludos cordiales,
JCB.

[feriva]

Hola a tod@s.

A partir del tema https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=124494.0, me he montado la siguiente película: supongamos un disco en posición horizontal y con una ranura en dirección radial. El disco gira a velocidad angular constante \( \omega \) respecto de su eje fijo (vertical). Soltamos una partícula de masa \( m \), dentro de la ranura y muy cerca del eje de rotación. Se trata de determinar la velocidad relativa de desplazamiento por dentro de la ranura de esta partícula, en función de la distancia al eje de rotación. Haciendo algunas simplificaciones, llego a que \( v=\sqrt{\omega^2r^2-2\mu gr} \)

A pesar del disgusto de algún físico ortodoxo, reconozco que he tenido que recurrir a la fuerza centrífuga (ficticia). Tampoco tengo en cuenta el efecto del rozamiento en las paredes de la ranura sobre la partícula (únicamente considero rozamiento en la base de la ranura).

El desarrollo es el siguiente:

A una distancia \( r \) del centro del eje de rotación, aplico \( \sum{F}=ma \) a la partícula,

\( -F_r+F_c=ma \)

\( -\mu mg+m\omega^2r=ma \)

\( a=\omega^2r-\mu g \) (1)

También se cumple \( a=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{dv}{dr}\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{dv}{dr}v \)

\( adr=vdv \) (2). Sustituyendo (1) en (2),

\( (\omega^2r-\mu g)dr=vdv \). Integrando entre \( 0 \) y \( r \), y entre \( 0 \) y \( v \),

\( v^2=\omega^2r^2-2\mu gr \),

\( v=\sqrt{\omega^2r^2-2\mu gr} \)

A ver si alguien comenta y confirma, o desmiente, el resultado.

Saludos cordiales,
JCB.

Sé poco, yo no soy físico como tú (supongo que lo eres, por los problemas que resuelves en el foro) tan sólo comento lo que observo. Y lo cierto es que si uno se fija, por ejemplo, en un lanzador de martillo, éste (el martillo) al ser soltado sale hacia fuera y en dirección radial, no tangencial y tampoco hacia dentro (porque la bola mataría a alguien del público o bien al lanzador en otro caso). Será ficticia, pero es la que se verifica experimentalmente.

Viendo más vídeos, parece que hay dos componentes, tangencial y radial.

Saludos.

[JCB]

Hola a tod@s.

En primer lugar, gracias por comentar, feriva. No soy físico, simplemente soy un ingeniero aficionado a la Física.

La situación que tú describes, aunque tiene que ver con la situación que he planteado, no es la misma. Fíjate, que yo planteo determinar la velocidad relativa de desplazamiento respecto de la ranura de un disco en rotación, de una partícula que se deposita cerca del eje de rotación. Esto es, se parte de la base de que la partícula solo puede desplazarse en la dirección de la ranura, ya que está constreñida por esta última.

En tu ejemplo, la velocidad absoluta de la partícula sería la de abandono del disco, pero este ya es otro ejercicio (podrías llegar a plantearlo en un tema aparte y específico, si así lo consideras oportuno).

Gracias otra vez y saludos cordiales,
JCB.

[feriva]

Hola a tod@s.

En primer lugar, gracias por comentar, feriva. No soy físico, simplemente soy un ingeniero aficionado a la Física.

La situación que tú describes, aunque tiene que ver con la situación que he planteado, no es la misma. Fíjate, que yo planteo determinar la velocidad relativa de desplazamiento respecto de la ranura de un disco en rotación, de una partícula que se deposita cerca del eje de rotación. Esto es, se parte de la base de que la partícula solo puede desplazarse en la dirección de la ranura, ya que está constreñida por esta última.

En tu ejemplo, la velocidad absoluta de la partícula sería la de abandono del disco, pero este ya es otro ejercicio (podrías llegar a plantearlo en un tema aparte y específico, si así lo consideras oportuno).

Gracias otra vez y saludos cordiales,
JCB.

Era sólo un comentario relacionado, no creo que haga falta.

Muchas gracias a ti.

Saludos.

[Richard R Richard]

A una distancia \( r \) del centro del eje de rotación, aplico \( \sum{F}=ma \) a la partícula,

\( -F_r+F_c=ma \)

Hola JCB, no creo que este bien, la aceleración a que sufre la canica o masa $$m$$ en la ranura está compuesta por una fuerza tangencial debido a la rotación o impulsión de la rueda ( la normal),entonces si no hubiese rozamiento, seguirá una trayectoria espiral, ya que la fuerza de impulsión cambia de direccion con el tiempo.
Pero en este modelo con fricción entonces la salida por el extremo exterior a la ranura se ralentiza por la fricción perpendicular a la fuerza de impulsión.
Si  no hay aceleracion angular, es decir velocidad angular constante, tienes que encontrar un radio de un equilibrio maximo entre la fuerza de fricción mayor  a la fuerza centrípeta , la bola viajará así en trayectoria circular, pero si la centripeta supera al fricción no habrá forma de contenerla dentro de la ranura y terminará saliendo por el extremo exterior con la velocidad tangencial de la rueda , mas la velocidad radial que alcanzó hasta llegar al extremo.
No es fácil calcular esto porque la aceleración no es constante con el tiempo  a la vez no es fácil integrar el trabajo que recibe la masa en el interior de la ranura ya que cambia la normal con el radio, y la fricción depende de la normal.
Bueno, decirte  que no me sale nad potable,  sino sabes que ya lo hubiese posteado.


En el molino, la impulsión inicial que vence al rozamiento es la fuerza peso de los granos en el centro y la rodadura ,  hasta que entran en la ranura.


Saludos

[Richard R Richard]

 Aver si metiendonos con un Sistema de referencia no inercial sacamos algo.


Supongamos que si bien la ranura rota nosotros la consideramos estática, en ese mundo la gravedad no nos molesta o la suponemos perpendicular a las fuerzas que nos interesan.


Ahora si podemos hablar de una fuerza impulsora radial centrifuga ,de una resistencia al avance dada por la fricción, y de fuerza de Coriolis


la aceleración resultante en direccion es justamente como la planteas. $$\sum F_{rad}=ma_r=F_{cen}-F_{roz}$$


con $$F_{cen} =m\omega^2r$$
 
$$F_{roz}=\mu m\sqrt{g^2+a_{cor}^2}$$


$$ F_{cor}= a_{cor}m=2m (|\vec v\times \vec \omega|)=2m\omega^2 r$$

solo queda hacer un planteamiento energético donde el trabajo recibido por la masa es igual a su energía cinetica

$$W=\displaystyle{\int\limits_{r_{int}}^{r_{ext}} \left [m\omega^2r-\mu m\sqrt{g^2+(2\omega^2 r)^2} \right] dr=\dfrac12 m v_{rad}^2}$$

volver a un SR inercial y ver que la velocidad de salida es

$$V_{sal}=\sqrt{\omega^2r^2+v_{rad}^2}$$

Esta sería mi propuesta quizá me pase algo por alto, o no haya encarado bien el tema Coriolis, hace añares que no practico con SRnIs

Saludos

[JCB]

Hola a tod@s.

Gracias Richard por comentar.

En el ejercicio (incluso en el título del tema) he escrito que se trata de determinar la velocidad relativa de la partícula respecto de la ranura, es decir, como si la ranura no se moviese.

Si ahora se quiere determinar la velocidad respecto de un sistema de referencia fijo, entiendo que es la velocidad relativa (cuyo módulo he calculado, y tiene la dirección de la ranura), más la velocidad de arrastre, que tiene módulo \( \omega r \) y dirección perpendicular a la velocidad relativa. Luego, la velocidad (en módulo) respecto de un sistema fijo es \( v=\sqrt{\omega^2 r^2+\omega^2 r^2-2\mu gr}=\sqrt{2\omega^2 r^2-2\mu gr}=\sqrt{2}\sqrt{\omega^2 r^2-\mu gr} \).

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Hola a tod@s.

Gracias Richard por comentar.

En el ejercicio (incluso en el título del tema) he escrito que se trata de determinar la velocidad relativa de la partícula respecto de la ranura, es decir, como si la ranura no se moviese.

Si ahora se quiere determinar la velocidad respecto de un sistema de referencia fijo, entiendo que es la velocidad relativa (cuyo módulo he calculado, y tiene la dirección de la ranura), más la velocidad de arrastre, que tiene módulo \( \omega r \) y dirección perpendicular a la velocidad relativa. Luego, la velocidad (en módulo) respecto de un sistema fijo es \( v=\sqrt{\omega^2 r^2+\omega^2 r^2-2\mu gr}=\sqrt{2\omega^2 r^2-2\mu gr}=\sqrt{2}\sqrt{\omega^2 r^2-\mu gr} \).

Saludos cordiales,
JCB.

Le he estado dando vueltas al asunto y creo que coincidimos, solo que en mi fórmula incluye el movimiento del grano inicial, y tu al hacerlo relativo a la piedra  lo tomas despreciable al radio inicial  y te sale mas sencilla la fórmula.


Saludos