[AveFenix]

Sea f : [0, 1] → [0, 1] una función continua en su dominio. Demostrar que existe x en [0,1] (habia puesto (0,1) sorry , era cerrado) tal que f(x) = x.


Como se resuelve ? gracias!

[geómetracat]

Pista: considera \( g(x)=f(x)-x \) y aplica Bolzano.

[Juan Pablo Sancho]

Sea f : [0, 1] → [0, 1] una función continua en su dominio. Demostrar que existe x en \( \color{red}[0,1]\color{black}  \)  tal que f(x) = x.


Como se resuelve ? gracias!

Con el enunciado original toma \( f(x) = x^2 \) para encontrar un contraejemplo.

[ancape]

Sea f : [0, 1] → [0, 1] una función continua en su dominio. Demostrar que existe x en (0,1)  tal que f(x) = x.


Como se resuelve ? gracias!

Hola

Mira el siguiente enlace https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_punto_fijo_de_Brouwer

Saludos

[AveFenix]

Pista: considera \( g(x)=f(x)-x \) y aplica Bolzano.

Eso habia pensado, pero bolzano no debe ser f(a).f(b)<0? no se como aplicarlo dado el caso gracias

ya que f(a) puede ser >0 y f(b)>0 



g(x) es continua por ser resta de funciones continuas, pero tengo ese dilema de arriba

[Carlos Ivorra]

Pista: considera \( g(x)=f(x)-x \) y aplica Bolzano.

Eso habia pensado, pero bolzano no debe ser f(a).f(b)<0? no se como aplicarlo dado el caso gracias

ya que f(a) puede ser >0 y f(b)>0

Si \( f(0) = 0 \) o \( f(1) = 1 \) ya lo tienes. Y si no, ¿qué signo tiene \( f(0)-0 \)? ¿Y qué signo tiene \( f(1)-1 \)?

[AveFenix]

Ok , entonces si f(0)= o f(1)=1 se cumple pues claro, la recta y=x corta en esos extremos por asi decirlo.

pero sigo sin ver lo del signo xDD, es decir el teorema de bolzano la hipotesis dice f(a).f(b)<0

pero puede ocurrir que f(0)=1 y f(1)=1/2 por decir algo y ambos son positivos, y donde esta el f(0).f(1)<0  ?

gracias , jaja debe ser fácil pero no lo veo xD  agradezco la ayuda

[Carlos Ivorra]

Ok , entonces si f(0)= o f(1)=1 se cumple pues claro, la recta y=x corta en esos extremos por asi decirlo.

pero sigo sin ver lo del signo xDD, es decir el teorema de bolzano la hipotesis dice f(a).f(b)<0

pero puede ocurrir que f(0)=1 y f(1)=1/2 por decir algo y ambos son positivos, y donde esta el f(0).f(1)<0  ?

gracias , jaja debe ser fácil pero no lo veo xD  agradezco la ayuda

Es que geómetracat no te ha sugerido que apliques el teorema de Bolzano a la función f, sino a la función g(x) = f(x)-x.

Con los valores que has puesto de ejemplo, \( g(0) = 1-0 = 1>0 \) y \( g(1) = 1/2-1 = -1/2<0 \), luego \( g(0)g(1)<0 \).

[AveFenix]

Entonces si f(0)≠0 o ≠ 1 y f(1)≠0 o ≠ 1 entonces g(0).g(1)<0 

entonces existe un c en (0,1) / g(c)=0 .

por lo tanto existe un (o varios) x en [0,1] / f(x)= x

estaría bien ahí?

[Carlos Ivorra]

Entonces si f(0)≠0 o ≠ 1 y f(1)≠0 o ≠ 1 entonces g(0).g(1)<0 

entonces existe un c en (0,1) / g(c)=0 .

por lo tanto existe un (o varios) x en [0,1] / f(x)= x

estaría bien ahí?

¿Pero sabes por qué \( g(0)\cdot g(1)<0 \)? ¿Puedes razonar cuál es el signo de \( g(0) = f(0)-0 \)? ¿Y el de \( g(1) = f(1)-1 \)?  Ten en cuenta que \( f \) toma valores en \( [0, 1] \).

¿Y sabes por qué al aplicar el teorema de Bolzano a \( g \) existe un \( x \) que cumple \( f(x) = x \)?

¿Qué información te da \( g(c) = 0 \)?