[Rogeort]

Hola muy buenas a todos, soy nuevo en esto del análisis y he empezado por estudiar la definición del límite epsilon-delta, estoy teniendo dificultades con el siguiente problema y agradecería mucho su ayuda para resolverlo

En el libro Calculo de una variable de James Stewart, en el ejercicio 2.6 problema 11 plantea el siguiente límite en el que después de graficarla llegas a la conclusion de que es cero.

\( \displaystyle\lim_{x \to\infty}{\displaystyle\frac{x^2}{2^x}}=0 \)

he estado tratando de llegar al mismo resultado mediante el análisis, pero me he quedado atascado, mi razonamiento fue el siguiente:

Principalmente ambos tanto el numerador como el denominador tienden a infinito, por lo que introduje una tercer variable \( t \) y defino

\( 2^x = t \)

entonces puedo expresar \( x \) en términos de \( t \) como:

\( \log_2 2^x = \log_2 t  \)

\( x = \log_2 t \)    --> utilizo esta expresión en lugar de \( x \)

\( \displaystyle\frac{(\log_2 t )^2}{2^{\log_2 t}} = \displaystyle\frac{(\log_2 t )^2}{t} \longrightarrow{} \displaystyle\lim_{x \to\infty}{\displaystyle\frac{(\log_2 t )^2}{t}}  \)

Al mirar la expresion y a juzgar por el denominador el limite tenderia a cero, pero el numerado tenderia al infinito. A partir de aqui no se como seguir o si este procedimiento realmente sea correcto. Además me sería muy util si pudieran apoyarme en la demostracion del límite usando la definición

Agradezco de antemano cualquier ayuda que puedan brindarme. Gracias por su tiempo y consideracion

[delmar]

Hola Rogeort

Bienvenido al foro

Estoy con poco tiempo;pero observa que \( f(x)=\displaystyle\frac{x^2}{2^x}>0 \) y se puede demostrar que a partir de cierto valor f(x) es estrictamente decreciente, en ese caso el límite existe y será su extremo inferior el cual  puede ser cero, la idea es demostrar que el cero es el extremo inferior.

Saludos

[ani_pascual]

Hola muy buenas a todos, soy nuevo en esto del análisis y he empezado por estudiar la definición del límite epsilon-delta
...
Además me sería muy util si pudieran apoyarme en la demostracion del límite usando la definición

En efecto, tanto \( x^2 \) como
\( 2^x \) son "infinitos", es decir, funciones que tienden a infinito conforme \( x\to{+}\infty \).
Pero como \( 2^x \) es un "infinito" de mayor "orden", pues crece más rápido que \( x^2 \) , resulta que el cociente \( \dfrac{x^2}{2^x} \) tiende a cero.
La definición,  en este caso, dice
\(  \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)}=L \Longleftrightarrow
\forall \varepsilon>0\\ \exists\,K\in\mathbb{R}\,|\,\forall\,x>K\Longrightarrow\\ |f(x)-L|<\varepsilon \) Como \( x\to{+}\infty \), tomaremos \( x>0 \)
Así, para valores "grandes" de \( x \) es \( x^3<2^x \)
Por tanto, \( \dfrac{1}{2^x}<\dfrac{1}{x^3} \)
de donde
\( \dfrac{x^2}{2^x}<\dfrac{x^2}{x^3}=\dfrac{1}{x} \)
Dado entonces un
\( \varepsilon>0 \) basta con elegir un
\(  K>\dfrac{1}{\varepsilon} \) y se cumple que \( \forall\,x>K  \) es
\(  |f(x)|=\dfrac{x^2}{2^x}<\varepsilon \)
Saludos

[ancape]

.....
Así, para valores "grandes" de \( x \) es \( x^3<2^x \)
.....

Hola

¿No habría que demostrar esto?. ¿Qué significa valores grandes?

Saludos

[ani_pascual]

.....
Así, para valores "grandes" de \( x \) es \( x^3<2^x \)
.....

Hola

¿No habría que demostrar esto?. ¿Qué significa valores grandes?

Saludos

Hola, sí habría que demostrarlo; no se me ocurre ahora cómo. Haciendo el cálculo se ve que \( 10^3<2^{10} \) y para valores mayores que diez va aumentando la diferencia. ¿Cómo lo demostrarías? ¿Quizás viendo que la función diferencia solo tiene dos raíces? No sé. Gracias con antelación

[Juan Pablo Sancho]

El ejercicio te propone:
11.Conjeture el valor del límite:
\( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2}{2^x}  \)
Evaluando la función \( f(x) = x^2/2^x  \) para \( x = 0,1,2,3,4,6,7,8,9,10,20,50,100 \).
Después utilice una gráfica de \( f \) para respaldar su conjetura.

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Esto es una catátrofe no hace mucho se vio en el foro que es una aberración:


Pongo este hilo:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=119295.0

[ancape]

Hola

No entiendo porqué tanto en este hilo como en https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=119295.0 que cita Juan Pablo Sancho, no se hace uso, ni siquiera se menciona, de la regla de L´Hôpital. Aplicando dos veces ésta, tendríamos:
\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{x^2}{2^x}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{2x}{2^x ln (2)}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{2}{2^x ln^2 (2)}}=0 \)

Cuando yo estudiaba secundaria, el profesor decía que no se puede aplicar L'Hôpital para hallar límites porque no se ha demostrado y no siempre es cierto. Luego vi que tal afirmación dejaba mucho que desear y que tal vez la única pega para aplicar tal regla, esté en el uso de derivadas que es un concepto posterior al de  límite, pero que no hay inconveniente si utilizamos esta regla como herramienta del arsenal de que disponemos si se ha estudiado bastante matemática.

Un saludo

[feriva]

Hola

No entiendo porqué tanto en este hilo como en https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=119295.0 que cita Juan Pablo Sancho, no se hace uso, ni siquiera se menciona, de la regla de L´Hôpital. Aplicando dos veces ésta, tendríamos:
\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{x^2}{2^x}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{2x}{2^x ln (2)}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{2}{2^x ln^2 (2)}}=0 \)

Cuando yo estudiaba secundaria, el profesor decía que no se puede aplicar L'Hôpital para hallar límites porque no se ha demostrado y no siempre es cierto. Luego vi que tal afirmación dejaba mucho que desear y que tal vez la única pega para aplicar tal regla, esté en el uso de derivadas que es un concepto posterior al de  límite, pero que no hay inconveniente si utilizamos esta regla como herramienta del arsenal de que disponemos si se ha estudiado bastante matemática.

Un saludo

Pues vaya profesor.

Lo que puede ocurrir es esto, por ejemplo:

\( \cancel { {\color{red}lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{1-sen(x)}{x}} } \)

\( lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x-sen(x)}{x} \)

aplicando L'Hopital

\( lim_{x\rightarrow\infty}1-cos(x) \)

y no existe el límite porque al tender x a infinito el signo no queda definido.

Cuando esta pasa no se puede saber cuál es, no quiere decir que no exista siempre. Eso es todo lo “peligroso” que puede ocurrir. La regla dice que “Si existe el límite del cociente de las derivadas...”; pone esa condición.

[ani_pascual]

Hola

Hola:
No tengo objeciones al uso de la regla de L'Hôpital, tampoco al uso de las equivalencias de infinitos e infinitésimos en el cálculo de límites; de hecho, en este caso, creo que bastaría con argumentar que \( O(2^x)>O(x^2) \) para decir que
\( \displaystyle\lim_{x\to{+}\infty}\dfrac{x^2}{2^x}=0 \)
pero Rogeort pedía ayuda para calcular el límite usando la definición, por eso he intentado usar lo del \( \varepsilon \) y la \( K \)
Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Pero es tal cual en esa parte del libro aún no se dieron derivadas, no se puede utilizar L'Hôpital, es que el problema viene dado en que les des valores y conjetures un límite o que veas una gráfica y conjetrures un límite.

Segun esta forma de pensar \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{(1+10^{-100})^x}{(x+3)^{200}} = 0 \).

Por la siguiente gráfica: